第4章 第七节 正弦定理和余弦定理（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第七节 正弦定理和余弦定理 明确目标 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2=________________; b2=________________; c2=________________ =_____==2R b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 续表 变形 cos A=_________; cos B=_________; cos C=_________ (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=___________________; (3)==2R 2.三角形解的判断   A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高). (2)S=absin C=_________=_________.  (3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径). acsin B bcsin A 解题结论拓展 (1)大边对大角,大角对大边,如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. (2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (3)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔ (4)有关三角形内角的三角函数关系式: ①sin(A+B)=sin C; ②cos(A+B)=-cos C; ③tan(A+B)=-tan C; ④sin=cos; ⑤cos=sin. (5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　　) (2)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.(　　) (3)在△ABC中,已知a,b,A,则三角形有唯一解.(　　) (4)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　) √ × × × 2.(苏教必修②P114T7)在△ABC中,若=1,则A=(　　) A.150° B.120° C.90° D.60° √ 3.(人A必修②P44T2改编)在△ABC中, AB=5, AC=3, BC=7,则∠BAC= (　　) A. B. C. D. 解析:在△ABC中,设AB=c=5, AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC===-.因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=,故选C. √ 4.(人A必修②P48T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c=　　　　.  解析:由题意得B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得=,得c=+. + 5.(人A必修②P55引用“阅读与思考”:海伦和秦九韶)若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c),则该三角形的面积S=,这就是著名的“海伦—秦九韶公式”.若△ABC的三边长分别为5,6,7,则该三角形的面积为　 　.  解析:∵p=(a+b+c)=×(5+6+7)=9, ∴S△ABC= ==6. 6 课堂·题点精研 02 [例1] (1)在△ABC中，sin(B-A)=，2a2+c2=2b2，则sin C=(　　) A. B. C. D.1 √ 题点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 解析：a2+c2-b2=2accos B，b2+c2-a2=2bccos A，两式相减，得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2，∴2acos B-2bcos A=-c.由正弦定理，得2sin Acos B-2sin Bcos A=-2sin(B-A)=-sin C，∴sin C=.故选C. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则 (1)b2+c2-a2=bc⇒A=;(2)b2+c2-a2=bc⇒A=; (3)b2+c2-a2=bc⇒A=;(4)b2+c2+bc=a2⇒A=; (5)b2+c2+bc=a2⇒A=;(6)b2+c2+bc=a2⇒A=. 谨记结论 (2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. √ 解析:法一　由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以 sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+ sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C =,故选C. 法二　由正弦定理得sin2B=sin Asin C,由B=,可得sin Asin C=,则sin A+sin C=sin A+≥2×=,当且仅当sin A=,即sin A =时等号成立,即sin A+sin C的最小值为,由于=,= ,=均小于,而>,可排除A、B、D,故选C. 本题法二对条件化简,得到了两角之间的联系,利用基本不等式确定了待求式的范围,估算获得正确选项,避免了复杂的转化运算. 微技法 (1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,则要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;如果以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (2)掌握并识记一些常见的三角函数值, 如cos=sin=,sin=cos=等,可以提升解题速度. 思维建模 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于(　　) A.2 B.3 C. D. 解析:由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B. 又sin A≠0,sin B≠0,所以cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=. 即时训练 √ 2.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-bcsin A +c2=a2. (1)求角A的大小; 解:由余弦定理可知b2-2bccos A+c2=a2, 所以bcsin A=2bccos A⇒tan A=. 因为A∈(0,π),所以A=. (2)若b=2,c=3,求a和sin 2B的值. 解:由余弦定理可得b2-2bccos A+c2=a2=4-6+9=7,所以a=. 再根据正弦定理可知asin B=bsin A=⇒sin B=. 因为c>b⇒C>B,故cos B==, 所以sin 2B=2sin Bcos B=, 即a=,sin 2B=. 拓展与建模 三角形中的射影定理 设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C +ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A. 注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C, ccos B,故名射影定理. 证明:如图,在△ABC中, AD⊥BC,则bcos C=CD,ccos B=BD, 故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B. 同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A. [示例]　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C+3ccos B =5asin A,且A为锐角,则当取最小值时,的值为　　　　.  解题观摩:由3bcos C+3ccos B=5asin A及射影定理得3a=5asin A,可得 而A是锐角,所以cos A=,则由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A= 所以==-≥-=, 此时a2=b2,即a=b,所以=. ①处还可以这样解,由正弦定理得3sin Bcos C+3sin Ccos B= 5sin2A,即3sin(B+C)=5sin2A,则由sin(B+C)=sin A>0可得sin A=; ②处,由题设中的结构形式联想利用余弦定理化简变形; ③处,借助基本不等式求最值,注意写出等式成立的条件. 习得方略 [例2]　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,C=,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 √ 题点二　判断三角形的形状 解析:法一　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A, 所以由余弦定理得a·=b·,整理得a=b.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. 法二　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A,由正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,所以sin(A-B)=0,因为-<A-B<,所以A-B=0,即A=B.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. 三角形形状的判别 (1)cos A=cos B⇔A=B⇒△ABC为等腰三角形; (2)sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B=⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形; (3)sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形; 谨记结论 (4)(a2-b2)(a2+b2-c2)=0⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形;a=b且a2+b2=c2⇒△ABC为等腰直角三角形; (5)a2+b2=c2⇔△ABC是以C为直角的直角三角形; a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2⇔△ABC是锐角三角形; a2+b2<c2⇔△ABC是以C为钝角的钝角三角形. 1.判断三角形形状的途径 (1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系. (2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.解题注意点 无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制. 思维建模 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,cos A= cos C,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 快审准解:利用正弦定理将边化角,即可求出A,再由cos A=cos C求出C,即可得解. 即时训练 √ 解析:因为3b=2asin B,所以由正弦定理可得3sin B=2sin Asin B. 因为0°<B<180°,所以sin B≠0,所以sin A=,又0°<A<180°,所以A=60°或120°.又因为cos A=cos C,所以A=C=60°,故△ABC为等边三角形,故选C. 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 快审准解:由正弦定理、余弦定理化角为边,化简已知等式可得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,即可判断△ABC的形状. √ 解析:由正弦定理、余弦定理及a2cos Asin B=b2cos Bsin A,得a2··b=b2··a,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即a4-b4+c2(b2-a2)=0,则(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. [例3]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab. (1)求B; 解:因为a2+b2-c2=ab,所以由余弦定理有cos C===,因为C∈(0,π),所以C=.因为sin C=cos B=,所以cos B=.因为B∈(0,π),所以B=. 题点三　三角形的面积问题 (2)若△ABC的面积为3+,求c. 解:法一　由(1)知B=,C=,所以A=π--=,sin A=sin=sin =×+×=,由正弦定理有==, 从而a=·c=c,b=·c=c. 所以S△ABC=absin C=·c·c·=c2=3+,解得c=2. 法二　由(1)知B=,C=.如图,作出△ABC,过A作BC边上的垂线,垂足为D,则BD=,AD=CD=.因为△ABC的面积为3+, 所以××=3+,解得c=2. 与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 思维建模 5.在锐角△ABC中,已知asin A=csin C+(b-c)sin B. (1)求角A; 解:因为asin A=csin C+(b-c)sin B, 所以由正弦定理的边角互化可得a2=c2+b2-bc, 即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A===, 且△ABC为锐角三角形,所以A=. 即时训练 (2)若a=7,c=8,求△ABC的面积. 解:因为a=7,c=8,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 即49=b2+64-8b,解得b=3或b=5. 因为△ABC为锐角三角形,当b=3时, 边c最大,所以角C为最大角, 而cos C===-<0, 此时角C为钝角,与△ABC为锐角三角形矛盾,故b≠3;当b=5时,边c最大,所以角C为最大角,而cos C===>0,此时角C为锐角,所以b=5符合条件.所以S△ABC=bcsin A=×5×8×=10. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.在△ABC中,A=,C=,b=,则a=(　　) A.1 B. C. D.2 解析:由题意可得B=π-A-C=,由正弦定理=可得a= ==2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= (　　) A. B. C.6 D.5 解析:因为sin A=6sin B,所以由正弦定理得a=6b.又a+2b=8,所以a=6,b=1.因为C=60°,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=62+12-2×6×1×=31,解得c=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足b-a=2bsin2,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 　　　B.等边三角形 C.直角三角形或等腰三角形 　　　D.等腰直角三角形 解析:由题知,b-a=2bsin2,所以=sin2=,所以b-a=b-bcos C,得a=bcos C,所以a=b·,得a2+c2=b2.所以△ABC的形状为直角三角形,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 4.(2025年1月·八省高考适应性演练)在△ABC中,BC=8,AC=10, cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　) A.6 B.8 C.24 D.48 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析:设AB=x,根据余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,已知BC=8,AC=10,cos∠BAC=,代入可得82=102+x2-2×10×x×,即x2-12x+36=0,解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S=×6×8=24. 故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=1,C=,△ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆的半径为(　　) A.4 B.2 C.5 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析:因为b=1,C=,△ABC的面积S=2,所以S=a×1×sin=2,解得a=4.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(4)2+12-2×4×1×=25,解得c=5(舍负),所以结合正弦定理可知,△ABC的外接圆的半径为=,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 6.(2024·秦皇岛三模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=a,则(　　) A.△ABC为直角三角形 B.△ABC为锐角三角形 C.△ABC为钝角三角形 D.△ABC的形状无法确定 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析:由b=a,可得sin B=sin A,则sin 2C=sin(π-3C) =sin 3C=sin 2Ccos C+cos 2Csin C,∵C∈(0,π), ∴sin C≠0,∴2cos C=2cos2C+(2cos2C-1), 即4cos2C-2cos C-=0,由B=2C>C,故C只能为锐角, 可得cos C=.因为0<C<,所以C=,B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 7.(2024·福州三模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若面积S=,则tan=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 快审准解:先利用余弦定理的变形a2+b2-c2=2abcos C,结合三角形的面积公式S=absin C,可把条件转化为4cos C+4=3sin C,再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin C≠0,可求得sin C,cos C,tan C,利用倍角公式计算即可得出结果 . 解析:因为S=absin C,所以absin C==. 又由c2=a2+b2-2abcos C⇒a2+b2-c2=2abcos C, 所以absin C=⇒4cos C+4=3sin C. 所以4cos C=3sin C-4⇒(4cos C)2=(3sin C-4)2⇒16cos2C=9sin2C-24sin C+16⇒16(1-sin2C)=9sin2C-24sin C+16, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 所以25sin2C-24sin C=0.又因为在△ABC中,sin C≠0, 所以sin C=.又因为4cos C=3sin C-4,解得cos C=-, 所以tan C=-,C为钝角,tan C= =-,结合为锐角,解得tan=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 二、多选题 8.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c且a=3,b=,c=,则下列结论正确的是(　　) A.△ABC是锐角三角形 　B.B= C.△ABC的面积为 　D.AB的中线长为 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析:对于A,由题意可知a边最大,所以A为△ABC的最大内角,易知cos A===-<0,因此角A为钝角,即A错误;对于B,易知cos B===.又B∈(0,π),可得B=,即B正确;对于C,由S=acsin B=×3××=,可得△ABC的面积为,即C正确;对于D,设AB的中线为CD,易知CD2=a2+-2a×cos B=9+-3=,可得CD=,即D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 9.在△ABC中,AB=2,AC=+1,BC=,∠BAC的平分线交BC于D,则(　　) A.△ABC是钝角三角形 　　B.∠BAC= C.AD=2 　　D.BD=- 解析:由题意可知AC边长最大,即B是最大角, 由余弦定理知cos B===×-×=cos=cos>0,则B=<,△ABC是锐角三角形,故A错误; √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ √ 由余弦定理知cos∠BAC==,则∠BAC=,故B正确; 由上可知C=,如图所示,由AD平分∠BAC,可知∠BDA=π--=,即AD=AB=2,故C正确;作EB⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,易得△EBC,△DFC均为等腰直角三角形,且DF=AD=1, AF=, 所以CF=1⇒CD=,BD=-,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 三、填空题 10.(2024·成都三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=2ac且sin C=2sin A,则cos A的值为　　.  解析:因为sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a.又因为b2=2ac,可得b2=4a2,所以b=2a,由余弦定理得cos A===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 11.(2024·南昌二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B=2bcos A,则tan A=　　.  解析:由asin B=2bcos A知cos A==>0,故tan A存在. 再由正弦定理=,即可得到tan A=====2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 2 四、解答题 12.(13分)(2025·益阳一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C-ccos A-c=0. (1)求A;(3分) 解:由正弦定理得a=2Rsin A,c=2Rsin C. 又asin C-ccos A-c=0,∴sin Asin C-sin Ccos A-sin C=0. ∵C∈(0,π),∴sin C≠0,∴sin A-cos A-1=0, ∴2sin=1.∵A∈(0,π),∴A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)若a=4,△ABC的面积为2,求b+c的值.(10分) 解:∵△ABC的面积为2,∴2=bcsin A=bcsin=bc,∴bc=8. ∵a=4,A=,由a2=b2+c2-2bccos A得16=b2+c2-2bc×, 即(b+c)2=16+3bc=40,∴b+c=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 13.(13分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A.(3分) 解:∵sin A+cos A=2, ∴2=2,即sin=1, ∵A+∈,∴A+=,∴A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.(10分) 解:由正弦定理得sin Bsin C=sin Csin 2B, ∴sin Bsin C=2sin Csin Bcos B. ∵sin B≠0,sin C≠0,∴=2cos B,∴cos B=. ∵B∈,∴B=,∴C=.∵==,∴= = , ∴b=2,c=+,∴△ABC的周长为2++3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 $$