第4章 第九节 解三角形的应用举例（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第九节 解三角形的应用举例 明确目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线_____的角叫做仰角,目标视线在水平视线_____的角叫做俯角(如图1). 上方 下方 (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等. (3)方位角:指从正北方向___________转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图2). (4)坡度:坡面与水平面夹角的度数. 顺时针 典题细发掘 1.(人A必修②P51T2改编)如图所示,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000米后到达S处,又测得山顶的仰角∠DSB=75°,则山高BC为 (　　) A.1 000米 B.1 000米 C.500(+1)米 D.500(+)米 √ 解析:∵∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,∴∠ASB=180°-15°-30°=135°.在△ABS 中,AB===1 000,∴BC=ABsin 45°=1 000 ×=1 000米. 2.(北师大必修②P115例2改编)如图是古希腊数学家特埃特图斯(约前417—前369)用来构造无理数,,,…的图形,此图形中∠BAD的余弦值是(　　) A. B. C. D. √ 解析:在△ABC中,∠ACB=45°,在△BCD中,∠DCB=90°+45° =135°,∴BD2=1+1+2×1×1×=2+,在△BAD中,cos∠BAD= =. 3.(苏教必修②P95T2改编)牵牛星和织女星分别距离地球约17光年和26光年,从地球上观测这两颗星的张角为34°,则牵牛星与织女星之间的距离约为　　　　光年.(精确到0.01光年)  解析:设两颗星之间的距离为x光年,由余弦定理得x2=172+262-2 ×17×26×cos 34°=289+676-2×17×26×0.829 0≈232.164,解得x≈15.24,所以牵牛星与织女星之间的距离约为15.24光年. 15.24 课堂·题点精研 02 [例1]　如图,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 (　　) A.20海里 B.10海里 C.20(1+)海里 D.10(1+)海里 √ 题点一　测量距离问题 解析:在△ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60° =30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得=, AC===10(+1).在△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°, 所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20.在△ABC中,由余弦定理得AB===10海里. 求解距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 思维建模 1.某湖中有一小岛C,沿湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路A处测得小岛在南偏西的方向上,汽车行驶2公里到达B处后,又测得小岛在南偏西的方向上,如图所示,则小岛到公路的距离为(　　) A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 即时训练 √ 解析:由题图易知∠CAB=,∠CBA=π-=,∠ACB=π--=,AB=2公里.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC=×sin=sin,所以点C到直线AB的距离为BC·sin=sin·cos=sin=公里. 2.如图,设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,需计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点,利用测角仪从P点测得的M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到M,N点的视角(即∠MPN)为45°,则M,N之间的距离为　 　　米.  50 解析:由题意得MM1=100米,NN1=50米, ∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,∠MPN=45°. 在Rt△MM1P中,MP=2MM1=200米. 在Rt△NN1P中,NP=NN1=50米. 在△MNP中,由余弦定理得MN2=MP2+NP2-2MP·NPcos∠MPN =2002+(50)2-2×200×50×=25 000,故MN=50 米. [例2]　如图,已知AA1为某建筑物的高,BB1,CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高,A1,B1,C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上,A,B,C分别为该建筑物、甲、乙的顶点,经测量得A1B1=80米, CC1=86米,∠C1A1B1=48.60°,∠A1C1B1=30°,在C点测得B点 的仰角为33.69°,在B点测得A点的仰角为51.34°,则该建筑 物的高AA1约为(参考数据:tan 33.69°≈0.667,tan 51.34°≈ 1.250,sin 48.60°≈0.750) (　　) A.268米 B.265米 C.266米 D.267米 √ 题点二　测量高度问题 解析:如图,分别过B,C作BF⊥AA1,CD⊥BB1,垂足分别为F,D,过D作DE⊥AA1,垂足为E.根据题意易得∠ABF=51.34°,∠BCD=33.69°.在△A1B1C1中,由正弦定理得B1C1==≈=120,在Rt△BDC中,DC=B1C1=120,则BD=120tan 33.69° ≈120×0.667=80.04.在Rt△AFB中,BF=A1B1=80,则AF=80tan 51.34°≈80×1.250=100,所以AA1=CC1+BD+AF≈86+80.04+100≈266米. 求解高度问题的3个注意事项 (1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它们是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 思维建模 3.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”, GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB= (　　) 即时训练 A.+表高 B.-表高 C.+表距 D.-表距 解析:由题意,知△ABH∽△EDH,所以=,所以EH=.① 由题意,知△ABC∽△GFC,所以=,所以GC==.② √ ②-①,得GC-EH==, 所以AB===+DE, 所以AB=+表高.故选A. 4.为测量某塔的高度,在塔旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=50米,则塔的高度OP=　　　　米.  快审准解:设PO=h,在Rt△POA,Rt△POB,Rt△POC分别根据锐角三角函数定义求出OA,OB,OC,最后利用余弦定理进行求解即可. 10 解析:设塔的高度PO=h,在Rt△POA中,OA==h,同理可得OB=h,OC=h,在△OAC中,∠OBA+∠OBC=π,则cos∠OBA=-cos∠OBC, ∴=-,即=-, 解得h=10.所以塔的高度为10米. [例3]　如图,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为　　　.  题点三　测量角度问题 解析:由已知,∠CAB=135°,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=400+1 800+1 200=3 400,则BC=10,所以cos∠ACB==,sin∠ACB=, 所以cos θ=cos(45°+∠ACB)=cos∠ACB-sin∠ACB= ×-×=. 求解角度问题的3 个注意事项 (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题.解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点. 思维建模 5.某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距50 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援,同时把信息通知在A处南偏东30°,且与A处相距25 n mile的C处的乙船,那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东(　　) A.30° B.45° C.90° D.60° 即时训练 √ 解析:如图所示,∠MAC=∠NCA=30°,则∠CAB=60°,由题意可知,AC=25,AB=50.由余弦定理得BC2=(25)2+(50)2-2×25 ×50×cos 60°,解得BC=75,由正弦定理得=,解得∠ACB=90°,所以∠NCB=60°,故选D. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.如图,海面上有相距10 n mile的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为(　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析:由题意得,A=60°,B=75°, AB=10,则C=45°,所以=,所以BC==5,即B,C间的距离为5 n mile. 2.如图,河边有一座塔OP,其高为20 m,河对面岸上有A,B两点与塔底O在同一水平面上,在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得A,B两点形成的视角为150°,则A,B两点之间的距离为 (　　) A.10 m B.10 m C.20 m D.10 m √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析:因为在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,所以在Rt△POA中,∠PAO=45°,可得OA=OP=20 m,在Rt△POB中,∠PBO=30°,可得OB==20 m.在△AOB中,由题意知∠AOB=150°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB =400+1 200-2×20×20×=2 800,所以AB=20 m. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 3.一艘船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是 (　　) A.5海里/小时 B.5海里/小时 C.10海里/小时 D.10海里/小时 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析:如图所示,由题意知∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,可得CD=CA=10,在Rt△ABC中,AB=ACcos 60° =5,所以这艘船的速度为=10(海里/小时).故选C. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 4.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,sin 15°=,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于(　　) A. B. C.-1 D.-1 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析:因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,在△ABC中,由正弦定理可得=,解得BC=50(-),在△BCD中,由正弦定理可得=,解得sin∠BDC=-1,即sin(θ+90°)=-1,所以cos θ=-1. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5.如图,已知某无人机的航线和B,C,D三艘潜艇在同一个铅垂平面内,若某时刻测得C,D相距200米,且在C,D两艘潜艇上测得该无人机所在位置A的仰角分别为75°,30°,且A在B的正上方,则AB= (　　) A.50米 B.50(1+)米 C.100米 D.100(1+)米 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析:sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45° =,在△ACD中,∠DAC=75°-30°=45°,∠ACD=180°-75°=105°,由正弦定理得=,AD===100(+1)米,在Rt△ABD中,AB=AD=50(+1)米. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 二、多选题 6.如图,甲船从A1出发以每小时25海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距5海里.当甲船航行12分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距5海里,下面结论正确的是(　　) 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 A.乙船的行驶速度与甲船相同 B.乙船的行驶速度是15海里/时 C.甲、乙两船相遇时,甲船行驶了小时 D.甲、乙两船不可能相遇 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ √ 解析:如图,连接A1B2.依题意,A1A2=25×=5(海里),而B2A2=5海里,∠A1A2B2=60°,则△A1A2B2是正三角形,所以∠A2A1B2=60°, A1B2=5海里.在△A1B1B2中,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°,A1B1=5海里, 由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2cos 45° = (5)2 + 52-2 × 5 ×5×=25,则有A1+B1=A1,所以∠A1B2B1=90°, 所以∠A1B1B2=45°,所以乙船的行驶速度是=25(海里/时), 故A正确, 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 B不正确.延长B1B2与A1A2交于点O,显然有∠A1B2O=90°,即A1B2⊥ B2,易得OA1=10海里,OB2=5海里,OB1=5(+1)海里,甲船从出发到点O用时t1==(小时),乙船从出发到点O用时t2==(小时),t1<t2,即甲船先到达点O,所以甲、乙两船不可能相遇,故C不正确,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 三、填空题 7.(2024·银川三模)某同学为测量塔的高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=15°,∠BDC=135°, CD=20 m,在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=　　　　m.  1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 20 解析:因为在△BCD中,CD=20 m,∠BDC=135°,∠BCD=15°,所以∠CBD=180°-135°-15°=30°,由正弦定理得=,即=,解得BC=20 m.在Rt△ABC中,∠ACB=60°, 所以AB=BCtan 60°=20 m. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 8.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则sin∠BAC等于　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析:依题意,设乙的速度为x m/s,则甲的速度为x m/s,因为AB= 1 040 m,BC=500 m,所以=,解得AC=1 260 m.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===,所以sin∠BAC===. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 9.如图,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高48丈的标杆BC和DE,两竿相距BD=800步, D,B,H三点共线且在同一水平面上,从点B退行100步到点F,此时A,C,F三点共线 ,从点D退行120步到点G,此时A,E,G三点也共线,则山峰的高度AH=　　　　 步.(古制单位:180丈=300步)  1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 3 280 解析:由题可知BC=DE=48×=80步,BF=100步,DG=120步,BD=800步,在Rt△AHF中,==,在Rt△AHG中,==,所以HF = AH, HG=AH,则HG-HF=800-100+120=820=AH,所以AH=3 280步. 四、解答题 10.(10分)(2024·合肥三模)如图,某人开车在山脚下的水平公路上自A向B行驶,在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°,该车以45 km/h的速度匀速行驶4分钟后,到达B处,此时测得仰角∠PBO=45°,且cos∠AOB=-. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (1)求此山的高OP的值;(4分) 快审准解:设OP=x km,由锐角三角函数表示出AO,BO,再在△AOB中利用余弦定理计算可得. 解:设OP=x km,在Rt△POA中,因为tan∠PAO=,所以AO==x, 同理,在Rt△POB中,BO==x.在△AOB中,由余弦定理得AB2 =AO2 + BO2-2AO·BOcos∠AOB=6x2,因为AB=45×=3,所以9=6x2,解得x=(舍负), 所以此山的高OP的值为 km. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (2)求该车从A到B行驶过程中观测P点仰角正切值的最大值.(6分) 快审准解:设C是线段AB上一动点,连接OC,PC,即可得到点C处观测P点的仰角为∠PCO,且tan∠PCO=,求出OC的最小值,即可得解. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解:由(1)得BO=,AO=,AB=3, 设C是线段AB上一动点,连接OC,PC,如图所示, 则在点C处观测P点的仰角为∠PCO,且tan∠PCO==. 因为cos∠AOB=-,0<∠AOB<π, 所以sin∠AOB==. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 当OC⊥AB时,OC最短,记最小值为d, 由S△AOB=AO·BOsin∠AOB=AB·d, 即×××=×3d,解得d=, 所以tan∠PCO=≤=, 所以该车从A到B行驶过程中观测P点仰角正切值的最大值为. $$