第4章 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 明确目标 1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,= tan α. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式. 3.能利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.同角三角函数的基本关系 平方关系 sin2α+cos2α=___ 商数关系 tan α=_______ 1 2.诱导公式 角 2kπ+α(k∈) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α _____ -sin α sin α cos α _____ 余弦 cos α -cos α cos α _____ _____ -sin α 正切 tan α tan α ______ _____ — — 记忆 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 -sin α -tan α -cos α -tan α sin α cos α 解题结论拓展 同角三角函数基本关系式的几种变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α. (3)sin2α==;cos2α==. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.(　　) (2)存在角α, β有sin2α+cos2β=1.(　　) (3)若sin x=a,则cos x的值一定有两个.(　　) (4)若α为第二象限角,则sin=cos α.(　　) (5)对任意角α,sin=sin α都不成立.(　　) × √ × √ × 2.(人A必修①P184T1改编)已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α=(　　) A. B.- C.- D. √ 3.(人A必修①P195T5)已知sin=,那么cos α=(　　) A.- B.- C. D. 解析:因为sin=-cos α=,所以cos α=-. √ 4.(北师大必修②P149例5改编)已知tan α=3,则=　　.  解析:∵tan α=3,∴===2. 2 5.(苏教必修①P225T13改编)设α是第三象限角,且tan α=2,则=　　　　.  解析:因为==cos α,又tan α=2,α是第三象限角,所以cos α=-. - 课堂·题点精研 02 考法(一)　知一求二 [例1]　(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  解析:由且θ∈,解得故sin θ-cos θ=-. 题点一　同角三角函数基本关系 - 考法(二)　sin α,cos α的齐次式问题 [例2]　已知=,则sin2α-2sin αcos α+3cos2α=　　　　.  解析:由=可得tan α=-3,sin2α-2sin αcos α+3cos2α ====. 考法(三)　“sin α±cos α,sin αcos α”之间关系的应用 [例3]　(多选)设α∈(0,π),sin α+cos α=,则下列等式正确的是(　　) A.sin αcos α=- B.sin α-cos α= C.tan α= D.cos2α-sin2α=- √ √ 解析:因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α +cos2α=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-, 故A错误;又α∈(0,π),sin α>0,所以cos α<0, 则α∈,则tan α<0 ,所以sin α-cos α= ==,故B正确,C错误;cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确. (1)注意公式的逆用及变形用: 1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α, sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. 谨记结论 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. (2)当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. (3)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解. 思维建模 1.已知tan α=-,且α为第二象限角,则cos α=(　　) A.- B. C.- D. 解析:因为tan α=-,所以sin α=-cos α,又sin2α+cos2α=1,所以+cos2α=1,所以cos2α=.又α为第二象限角,所以cos α=-. 即时训练 √ 2.已知tan α=-,α∈,则sin α-2cos α=(　　) A. B. C.1 D.- 快审准解:根据同角三角函数的基本关系及角的取值范围,求出 sin α和cos α的值,代入计算可得结果. √ 解析:因为α∈,所以sin α>0,cos α<0, 又⇒ 所以sin α-2cos α=+=.故选A. [例4] (1)若sin=,则cos=(　　) A. B.- C.- D. 解析:由sin=,得cos =cos =cos =-sin=-. √ 题点二　诱导公式 (2)化简等于(　　) A.-sin θ B.sin θ C.cos θ D.-cos θ 解析:原式===-sin θ. √ 1.诱导公式应用的步骤 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0~2π内的角的三角函数 锐角三角函数. 2.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 思维建模 3.应用技巧 常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等. 3.已知cos=,则sin=(　　) A. B. C.- D.- 解析:sin=sin=cos=. 即时训练 √ 4.化简:=　　　　.  解析:= ===-sin α. -sin α [例5]　已知= . (1)求tan x的值; 快审准解:利用诱导公式化简,再由同角三角函数的基本关系将弦化切,即可得解. 解:因为=, 所以=,所以=,解得tan x=2. 题点三　基本关系与诱导公式的综合应用 (2)若sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+3n的值. 快审准解:利用根与系数的关系得到从而得到m2+3n=1+5sin xcos x,再由同角三角函数的基本关系求出sin xcos x,即可得解. 解:因为sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根, 所以所以m2+3n=(sin x+cos x)2+3sin xcos x =1+5sin xcos x.又sin xcos x====, 所以m2+3n=1+5×=3. 利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路 (1)分析结构特点,寻求条件及所求之间的关系,尤其是角之间的关系; (2)选择恰当的公式,利用公式灵活变形; (3)化简求值. 思维建模 5.已知α为第二象限角, f(α)=. (1)化简f(α); 解: f(α)===-cos α. 即时训练 (2)若sin α=,求f(α)的值. 解:若sin α=,α为第二象限角, 所以f(α)=-cos α==. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.sin 1 050°的值为(　　) A.- B. C.- D. 解析:sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=sin(-30°)=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2025·西安模拟)已知sin2(π-θ)=cos,0<|θ|<,则θ等于(　　) A.- B.- C. D. 解析:由题意知sin2θ=sin θ,所以sin θ=或sin θ=0.又因为0<|θ|<,所以θ=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 3.(2024·成都二模)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin=(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为角α的终边位于第二象限且sin α=,则cos α= -=-,所以sin=cos α=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 4.已知cos=-,则sin=(　　) A. B. C.- D.- 解析:sin=sin=-sin=-cos=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 5.在△ABC中,sin Acos A=-,则cos A-sin A=(　　) A.- B.- C. D.± √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:∵在△ABC中,sin Acos A=-,∴A为钝角,∴cos A-sin A<0, ∴cos A-sin A=- =- =-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 6.(2025·长沙模拟)若α为锐角,且=+cos α,则cos α=(　　) A. B. C. D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:因为=+cos α, 所以== sin α+cos α+1=+cos α, 所以sin α=.因为α为锐角,所以cos α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 7.已知角α的始边与x轴非负半轴重合,P(-2,3)是角α终边上一点,则+的值为(　　) A.- B. C. D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:　+=+=-=--.根据三角函数定义sin α=,cos α=-,所以原式= --=-+=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 8.已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=(　　) A. B.- C. D.- 快审准解:先根据sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x,以及同角三角函数的关系和角的范围求出sin xcos x,再根据sin x-cos x= -即可求解. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:∵sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=, ∴sin2xcos2x=.又x∈, ∴sin x<0,cos x>0,即sin xcos x=-, ∴sin x-cos x=- =-=-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 9.已知α是第四象限角,α终边与单位圆O交于点P(x0,y0),若2cos-1=0,则x0=(　　) A.- B.- C. D. 快审准解:利用任意角三角函数定义结合余弦函数的性质求解即可. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:根据任意角三角函数定义知x0=cos α,由2cos-1=0,得cos=,所以2α+=2kπ±(k∈Z), 所以α=kπ+(k∈Z)或α=kπ-(k∈Z). 又α是第四象限角,所以α=2nπ-(n∈Z), 所以cos α=cos=(n∈Z),即x0=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 10.若α, β∈,sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β=(　　) A.- B.- C.- D.- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 解析:因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两根, 所以sin α+sin β=-<0,sin αsin β=-<0,且α,β∈,则cos α >0,cos β>0,可得cos αcos β== = ==,所以tan αtan β===-. 13 二、多选题 11.下列化简正确的是(　　) A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α C.=tan α D.=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 √ 13 √ 解析:tan(π+1)=tan 1,故A正确;==cos α,故B正确;==-tan α,故C不正确; ==-1,故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 12.在△ABC中,下列结论正确的是 (　　) A.sin(A+B)=sin C B.sin=cos C.tan(A+B)=-tan C D.cos(A+B)=cos C 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 √ 13 √ √ 解析:在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;sin=sin=cos,B正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 13.若角α的终边落在第三象限,则+=　　　　.  解析:由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=+=+=-1-2=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 -3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 14.已知tan θ=-3,则=　　.  解析:∵tan θ=-3,∴= ==tan θ+=-+=-1. 13 -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 15.已知cos(75°+α)=,则cos(105°-α)+sin(15°-α)=　　　　.  解析:因为(105°-α)+(75°+α)=180°,(15°-α)+(α+75°)=90°,所以cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-,sin(15°-α) =sin[90°-(α+75°)]=cos(75°+α)=. 所以cos(105°-α)+sin(15°-α)=-+=0. 13 0 $$