第4章 第八节 第2课时 解三角形中的最值、范围问题（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第2课时　解三角形中的最值、范围问题 目录 01.方法一　利用基本不等式求最值、范围 02.方法二　利用三角函数的性质求最值、范围 03.课时跟踪检测 2 [例1]　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且+=+. (1)求证:a+c=3b; 证明:∵+=+, ∴+=+, 整理得sin A+sin C=3(sin Acos C+cos Asin C)=3sin B, 由正弦定理得a+c=3b. 方法一　利用基本不等式求最值、范围 (2)若b=4,且D是边AC的中点,求BD的最小值. 解:∵b=4,且D是边AC的中点,∴AD=CD=2, 由余弦定理得,=-,则2BD2=a2+c2-8. ∵b=4,∴a+c=3b=12,由a2+c2≥2ac,得a2+c2≥=72, 当且仅当a=c=6时,等号成立.∴2BD2=a2+c2-8≥64,∴BD≥4, 故BD的最小值为4. 利用基本不等式解决三角形最值问题的策略 在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的和、两边的积等代数式,这就为基本不等式的应用提供了条件.因此在解决最值或范围问题时,应注意基本不等式的合理运用. 思维建模 1.(2025·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-a2=2acsin B. (1)求A; 解:因为b2+c2-a2=2acsin B,由余弦定理可得 cos A===,由正弦定理知=, 所以sin A==cos A.又因为A∈(0,π),所以A=. 即时训练 (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 解:因为a=2且A=,所以由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A, 即b2+c2-4=bc.又因为b2+c2-4=bc≥2bc-4, 当且仅当b=c时,等号成立, 即2bc-4≤bc,解得bc≤4+2,所以△ABC的面积S=bcsin A= bc≤1+,即△ABC面积的最大值为1+. [例2]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=btan A,且B为钝角. (1)求B-A; 解:因为a=btan A,由正弦定理得==,又sin A≠0, 故sin B=cos A=sin,由于在△ABC中,B为钝角,所以B+-A=π或B=-A(舍去),所以B-A=. 方法二　利用三角函数的性质求最值、范围 (2)求sin A-cos B+sin C的取值范围. 解:由于C=π-(A+B)=π-=-2A,0<C<,所以A∈, 故sin A-cos B+sin C=sin A-cos+sin=2sin A+cos 2A =2sin A+1-2sin2A=-2+,由于A∈,所以0<sin A<, 故1<-2+≤,故sin A-cos B+sin C的取值范围为. 借助三角函数性质解决三角形中最值或范围问题的策略 解决三角形问题时,通过正弦定理与余弦定理,将问题转化为某一内角的三角函数,然后借助三角恒等变换,求出三角函数的最值或值域,解决相关的最值或范围问题. 思维建模 2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a2-b2=(a-c)c. (1)求角B; 解:由a2-b2=(a-c)c,即b2=a2+c2-ac, ∵b2=a2+c2-2accos B,∴cos B=. 又B∈(0,π),∴B=. 即时训练 (2)若b=,求△ABC周长的最大值. 解:由= =可得,a=2sin A,c=2sin C, △ABC的周长l=a+b+c=2sin A+2sin C+, ∵A+C=,∴l=2sin A+2sin+=3sin A+cos A+ =2sin+.∵0<A<,∴l的最大值为3. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 1 2 3 4 1.(15分)(2024·宝山二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C. (1)求角B的大小;(5分) 解:由正弦定理得a2+c2=b2+ac, 又由余弦定理得cos B===, 因为B是三角形的内角,所以B=. (2)若△ABC的面积为,求a+c的最小值,并判断此时△ABC的形状.(10分) 解:由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=acsin=ac=, 解得ac=4. 因为a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时取等号, 所以a+c的最小值为4,此时△ABC为等边三角形. 1 2 3 4 2.(15分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-c=2ccos B. (1)求证:B=2C;(5分) 快审准解:利用正弦定理以及三角恒等变换可求得sin(B-C)=sin C,再由角的范围可得B=2C. 证明:由a-c=2ccos B,根据正弦定理可得sin A-sin C=2sin Ccos B, 即sin(B+C)-sin C=2sin Ccos B,所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin C =2sin Ccos B,所以sin Bcos C-cos Bsin C=sin C, 即sin(B-C)=sin C,显然B>C.又在锐角△ABC中,故0<B-C<,所以B=2C. 1 2 3 4 (2)若∠ABC的角平分线交AC于D,且a=6,求线段BD长度的取值范围.(10分) 快审准解:由正弦定理可得BD=,再由锐角三角形限定出角的范围,根据三角函数值可得BD长度的取值范围. 1 2 3 4 解:在△BCD中,由正弦定理可得=, 即=,所以BD===. 因为△ABC是锐角三角形,且B=2C,所以 解得<C<,可得<cos C<,所以2<BD<3,所以线段BD长度的取值范围是(2,3). 1 2 3 4 3.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足asin B =bcos. (1)求角A;(5分) 解:由asin B=bcos及正弦定理得 sin Asin B=sin Bcos,故sin Asin B =sin B=sin Bcos A+sin Bsin A, 1 2 3 4 所以sin Asin B=sin Bcos A. 因为B∈(0,π),sin B≠0, 所以sin A-cos A=sin=0. 因为A∈(0,π),所以A=. 1 2 3 4 (2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.(10分) 解:由(1)可知,A=,由余弦定理,得b2+c2-a2=bc.又a=2,所以b2+c2=bc+4. 由基本不等式得b2+c2≥2bc,即bc+4≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立.又(b+c)2=b2+c2+2bc=3bc+4≤16,即0<b+c≤4.又b+c>a=2,所以2<b+c≤4,所以4<a+b+c≤6,即△ABC周长的取值范围是(4,6]. 1 2 3 4 4.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos-cos xcos +sin2x-. (1)若f(α)=,且<α<,求cos 2α;(6分) 解: f(x)=2sin x+sin xcos x-cos2x =sin 2x-cos 2x=2sin, 因为f(α)=,所以2sin=,即sin=. 1 2 3 4 因为<α<,所以0<2α-<, 则cos==, 所以cos 2α=cos =cos×-sin×=×-×=. 1 2 3 4 (2)若△ABC为锐角三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=, c=2,求△ABC面积的取值范围.(9分) 解:由f(B)=,可得f(B)=2sin=,即sin=. 又0<B<,所以-<2B-<,所以B=,则可得<C<,所以tan C>.由正弦定理=及c=2, 1 2 3 4 得a====1+∈(1,4), 所以S△ABC=acsin B=a∈, 即△ABC面积的取值范围为. 1 2 3 4 $$