第4章 第八节 第1课时 解三角形中的“三线”问题（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第八节 解三角形中的综合问题 第1课时　解三角形中的“三线”问题 目录 01.题点一　三角形的高线 02.题点二　三角形的中线 04.课时跟踪检测 03.题点三　三角形的角平分线 3 [例1]　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且向量m=(a,b), n=(-cos A,sin B)满足m ∥ n. (1)求A; 解:因为m ∥ n,所以asin B+bcos A=0, 由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0. 因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以tan A=-.又A∈(0,π),所以A=. 题点一　三角形的高线 (2)若a=,b=3,求BC边上的高h. 解:因为a=,b=3,A=,所以a2=b2+c2-2bccos A, 即()2=32+c2-2×3c×, 化简得c2+3c-4=0,解得c=1或c=-4(舍去). 由△ABC的面积S=bcsin A,及S=ah, 得×3×1×=×h,解得h=. 高线问题的处理策略 如图,在△ABC中,AD⊥BC. (1)等面积法:AD·BC=AB·AC·sin ∠BAC. (2)AD=AB·sin B=AC·sin C. (3)a=ccos B+bcos C. 思维建模 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(1+cos C)=csin B. (1)求角C的大小; 解:因为b(1+cos C)=csin B,所以由正弦定理可得sin B(1+cos C) =sin Csin B.又因为B∈(0,π),则sin B≠0, 所以1+cos C=sin C.整理得2sin=1,即sin=. 因为C∈(0,π),所以C-∈,所以C-=,所以C=. 即时训练 (2)若c=2,b-a=4,求AC边上的高. 解:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,且c=2,有40=a2+b2-ab, 又b-a=4,即b=4+a, 所以上式可化为a2+4a-24=0,解得a=-2+2或a=-2-2(舍去), 所以AC边上的高为asin C=(-2+2)×=-+. [例2]　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=5,c= 3,b=acos C-. (1)求角A; 方法引入:法一:由b=acos C-及正弦定理得sin B=sin Acos C -sin C,再由sin B=sin Acos C+cos Asin C,得cos A=-,可求角A; 法二:已知条件结合余弦定理求出a2,再由余弦定理求得cos A =-,可求角A. 题点二　三角形的中线 解:法一　因为b=acos C-,由正弦定理得sin B=sin Acos C-sin C. 又sin B=sin Acos C+cos Asin C,得cos Asin C=-sin C. 在△ABC中,sin C≠0,所以cos A=-.又因为在△ABC中,所以A=. 法二　因为b=acos C-,b=5,c=3,由余弦定理得5=a·-, 解得a2=49,所以cos A===-.又因为在△ABC中,所以A=. (2)若D是BC中点,求AD的长度. 方法引入:法一:利用向量数量积求; 法二:由∠ADB+∠ADC=π,有cos ∠ADB=-cos ∠ADC,利用余弦定理求AD的长度. 解:法一　在△ABC中,D是BC中点, 所以=+,= +·+ =×9+×3×5×+×25=, =,即AD的长为. 法二　由(1)法二,知a=7,又D是BC中点,BD=CD=,在△ABD中,由余弦定理有cos ∠ADB=,在△ACD中,由余弦定理有cos ∠ADC= .因为∠ADB+∠ADC=π,所以cos ∠ADB=-cos ∠ADC, 即=-, 解得AD=,即AD的长为. 中线问题的处理策略 如图①,在△ABC中, AD为BC的中线,已知AB,AC及∠BAC,求中线AD的长. (1)倍长中线:如图②,构造全等,再用余弦定理即可; 思维建模 (2)向量法:=(+),平方即可; (3)余弦定理:邻补角余弦值为相反数,即cos∠ADB+cos∠ADC=0. 补充:若将条件“AD为BC的中线”换为“=λ”,则可以考虑方法(2)或方法(3). 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2ccos C+acos B +bcos A=0. (1)求角C的大小; 快审准解:根据正弦定理边化角,再结合两角和的正弦公式、诱导公式,可得cos C=-,从而可求解. 解:由正弦定理得2sin Ccos C+sin Acos B+sin Bcos A=0, 即2sin Ccos C+sin(A+B)=2sin Ccos C+sin C=0. 因为sin C≠0,所以cos C=-.因为0<C<π,所以C=. 即时训练 (2)若c=3,AB边上的中线CD=1,求△ABC的周长. 快审准解:根据余弦定理可得9=a2+b2+ab,再根据中线向量公式可得4=a2+b2-ab,从而求得ab=,a2+b2=. 解:已知c=3,CD=1,在△ABC中,由余弦定理得9=a2+b2+ab　①, 由CD为△ABC的中线,得2=+, 两边平方得4=a2+b2-ab　②,联立①②得ab=,a2+b2=, 所以△ABC的周长为a+b+c=+3=+3. [例3]　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B(ccos B+ bcos C)+a=0. (1)求角B的大小; 解:由cos B(ccos B+bcos C)+a=0和正弦定理,可得cos B(sin Ccos B +cos Csin B)+sin A=0,因为sin Ccos B+cos Csin B=sin(B+C)=sin A,代入可得sin A=0.又0<A<π,所以sin A>0,故cos B=-.又因为0<B<π,所以B=. 题点三　三角形的角平分线 (2)设D是边AC上一点,BD为角平分线且AD=2DC,求cos A的值. 解:如图,因为BD平分∠ABC,且AD=2DC,则==2,即c=2a,在△ABC中,由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B,得b2=a2+4a2+2a2=7a2,则b=a,故cos A====. 角平分线问题的处理策略 在△ABC中,AD平分∠BAC. (1)角平分线定理:=; (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理. 思维建模 3.在△ABC中,A,B,C分别为边a,b,c所对的角,且满足2a+c=2bcos C. (1)求B的大小; 解:∵2a+c=2bcos C,∴2sin A+sin C=2sin Bcos C, 2sin(B+C)+sin C=2sin Bcos C,2cos Bsin C+sin C=0, ∵sin C≠0,∴cos B=-.又B∈(0,π),∴B=. 即时训练 (2)A的角平分线AD交BC边于点D,当c=2,AD= 时,求CD. 解:在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B, 可得BD2+2BD-3=0, 解得BD=1(舍负). ∵AD是角A的平分线, ∴==2. 设CD=m,则AC=2m,在△ABC中,由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 即4m2=4+(1+m)2-2×2×(1+m)×, 整理得3m2-4m-7=0,解得m=(舍负),∴CD=. 数智赋能:电子版随堂训练（一道高考真题，总结“爪形”三角形特点） 根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 04 1 2 3 4 1.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且4S= (b2-a2-c2). (1)求B;(5分) 解:由三角形面积公式及条件可知4S=2acsin B=(b2-a2-c2), 由余弦定理知b2-a2-c2=-2accos B, 所以-cos B=sin B,解得tan B=-. 因为B∈(0,π),所以B=. (2)若a=2,b=2,D为AC边的中点,求BD的长.(10分) 解:结合(1)的结论,根据余弦定理有a2+c2-b2=2accos B ⇒c2+2c-24=0,所以c=4(舍负). 易知2=+,所以4=++2·= 16+4+2×2×4×=12, 故BD=. 1 2 3 4 1 2 3 4 2.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=(a2+c2-b2)sin B. (1)求角B;(5分) 解:在△ABC中,S=acsin B=(a2+c2-b2)sin B, 而0<B<π, 即sin B>0,所以a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cos B==,所以B=. (2)若∠ABC的平分线交AC于点D,a=3,c=4,求BD的长.(10分) 解:在△ABC中,由等面积法得S△ABC=S△BAD+S△BCD, 即BC·BA·sin∠ABC=BA·BD·sin +BC·BD·sin,即×3×4× =×4×BD×+×3×BD×,所以BD=. 1 2 3 4 3.(15分)(2024·青岛三模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(B+C)=2sin2. (1)求角A的大小;(5分) 解:因为A,B,C为△ABC的内角,所以sin(B+C)=sin A. 因为sin2=,所以sin(B+C)=2sin2可化为sin A=(1-cos A),即sin A+cos A=,即sin=.由A+∈,解得A+=,即A=. 1 2 3 4 (2)若b=3,BC边上的高为,求△ABC的周长.(10分) 解:由三角形面积公式得bcsin A=×a,将b=3代入得×3csin=×a, 所以a=c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=c2得c2+4c-12=0, 解得c=2或c=-6(舍去),则a=,所以△ABC的周长为5+. 1 2 3 4 4.(15分)(2024·长沙三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=4. (1)若cos B+2cos A=ccos C,求C的值;(6分) 快审准解:由已知可得acos B+bcos A=2ccos C,边化角,可得 sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,利用三角恒等变换可求C. 解:由题意得2cos B+4cos A=2ccos C,所以acos B+bcos A=2ccos C. 由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C, 即sin(A+B)=2sin Ccos C.又sin(A+B)=sin C,所以sin C=2sin Ccos C. 又sin C≠0,所以cos C=.因为C∈(0,π),所以C=. 1 2 3 4 (2)若D是边AB上的一点,且CD平分∠ACB,cos∠ACB=-,求CD的长.(9分) 快审准解:由已知可得cos=,利用S△ABC=S△ADC+S△BDC,可得CD=,可得解. 1 2 3 4 解:由cos∠ACB=-,得2cos2-1=-,解得cos=. 由S△ABC=S△ADC+S△BDC, 得absin∠ACB=bCDsin+a·CDsin, 即2abcos=(a+b)CD,所以CD===. 1 2 3 4 $$