第3章 第五节 第2课时 导数与函数的零点（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第2课时　导数与函数的零点 目录 01.题点一　判断或讨论零点个数 02.题点二　由零点存在情况求参数 03.课时跟踪检测 2 [例1]　已知函数 f(x)=ax-ln x-2. (1)当a=1时，求函数 f(x)的极值； 解:当a=1时，f(x)=x-ln x-2(x>0)，f'(x)=1-=(x>0)， 令f'(x)>0，则x>1；令f'(x)<0，则0<x<1， 故函数 f(x)的单调递增区间是(1，+∞)，单调递减区间为(0，1). 当x=1时，函数取得极小值 f(1)=1-ln 1-2=-1，无极大值. 题点一　判断或讨论零点个数 (2)讨论函数 f(x)的零点个数. 解:令f(x)=ax-ln x-2=0，因为x>0，所以a=，令g(x)=，则g'(x)=， 令g'(x)>0，则0<x<；令g'(x)<0，则x>， 故g(x)在上单调递增，在上单调递减，从而g(x)max=g=e， 因此当a>e时，直线y=a与y=g(x)的图象没有交点； 当a=e或a≤0时，直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点；当0<a<e时，直线y=a与y=g(x)的图象有2个交点. 综上，当a>e时，函数f(x)没有零点；当a=e或a≤0时，函数f(x)有1个零点；当0<a<e时，函数f(x)有2个零点. 利用导数确定函数零点的常用方法 (1)图象法:根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画草图时注意有时候需要使用极限)； (2)利用函数零点存在定理:先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 思维建模 1.(2025·苏州开学考试)已知函数f(x)=sin x+ex-4x， e为自然对数的底数，函数g(x)=x3-ax+3. (1)若f(x)在(0，1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值； 解: f'(x)=cos x+ex-4，则f'(0)=cos 0+e0-4=-2，所以切线方程为y= -2x+1.又g'(x)=3x2-a，设直线y=-2x+1与y=g(x)图象的切点为(x0，y0)， 则解得故实数a的值为5. 即时训练 (2)求f(x)在(-π，+∞)上的零点个数. 解: f'(x)=cos x+ex-4，当-π<x≤0时，cos x≤1，ex≤1，f'(x)<0，所以函数f(x)单调递减，所以f(x)≥f(0)=1，此时函数f(x)无零点； 当x>0时，设h(x)=cos x+ex-4， 则h'(x)=-sin x+ex>0，即f'(x)单调递增， f'(0)=-2<0，f'(2)=cos 2+e2-4>0， 因此f'(x)在(0，+∞)即在(0，2)上有唯一零点， 记零点为m，即f'(m)=0， ( f'(x)的零点不可求，也猜不出来，故虚设零点) 在(0，m)上，f'(x)<0，f(x)单调递减， 在(m，+∞)上，f'(x)>0，f(x)单调递增. 又f(0)=1>0，f(1)=sin 1+e-4<0，f(2)=sin 2+e2-8>0，f(π)=eπ-4π>0， 所以f(x)在(0，1)上有一个零点，在(1，2)上有一个零点.综上所述，f(x)在(-π，+∞)上有2个零点. [例2]　(2024·邵阳三模)已知函数f(x)=-x3+x2+1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； 解:由f(x)=-x3+x2+1，得f'(x)=-x2+2x， 令f'(x)>0，得-x2+2x>0，解得0<x<2. 所以f(x)的单调递增区间为(0，2). 题点二　由零点存在情况求参数 (2)若函数g(x)=f (x)-k(k∈R)有且仅有三个零点，求k的取值范围. 解:令f'(x)=0，解得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示. x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数g(x)=f(x)-k有且仅有三个零点， 得方程 f(x)=k(k∈R)有且仅有三个不等的实数根， 所以函数y=f(x)的图象与直线y=k有且仅有三个交点. 显然，当x→-∞时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→-∞. 所以由上表可知，f(x)的极小值为f(0)=1，f(x)的极大值为f(2)=，故k的取值范围为. 利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优先分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 思维建模 2.若函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有 2个零点，求a的取值范围. 解:由f(x)=0，得x2-2x+1-a=.令g(x)=， 则函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点等价于函数y=x2-2x+1-a与y=g(x)的图象有2个交点，g'(x)=，令g'(x)>0，得x<1，令g'(x)<0，得x>1，所以g(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=. 即时训练 作出函数y=x2-2x+1-a=(x-1)2-a与y=g(x)的图象，如图所示， 数形结合可得-a<，解得a>-，故a的取值范围为. 课时跟踪检测 03 1.(15分)设 f'(x)是函数f(x)的导函数，f″(x)是函数f'(x)的导函数，若方程 f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f (x0))为曲线y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=mx3+nx2-9x-13的图象的对称中心为(-1，-2). 1 2 3 4 (1)求实数m，n的值；(5分) 解:因为f(x)=mx3+nx2-9x-13，所以 f'(x)=3mx2+2nx-9， 所以f ″(x)=6mx+2n=2(3mx+n). 又因为f(x)的图象的对称中心为(-1，-2)， 所以 即解得 1 2 3 4 (2)求f(x)的零点个数.(10分) 解:由(1)知，f(x)=x3+3x2-9x-13，所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1). 令f'(x)=0，得x=-3或x=1，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: 1 2 3 4 x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 14 单调递减 -18 单调递增 所以f(x)的极大值为f(-3)=14， 极小值为f(1)=-18.又f(-10)=-623<0， f(3)=14>0， 所以f(x)有3个零点. 1 2 3 4 2.(10分)已知函数f(x)=ln x+(a∈R).若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围. 解:f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-=，当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，不可能有两个零点，舍去. 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增， 因为f(x)有两个不同的零点，所以f(x)min=f(a)=ln a+1<0， 解得0<a<. 1 2 3 4 当0<a<时，因为f(e)=1+>0，所以f(x)在(a，e)上存在一个零点； 又当a∈时，f(a2)=2ln a+，令φ(a)=2ln a+，a∈，则φ'(a)=-=<0，所以φ(a)在上单调递减，从而有φ(a) >φ=-2+e>0，即f(a2)=2ln a+>0，所以f(x)在(a2，a)上也存在一个零点.综上，a的取值范围为. 1 2 3 4 3.(15分)(2025·武汉模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2(a∈R). (1)当a=1时，求f(x)的最大值；(6分) 解: f(x)的定义域是(0，+∞)，∵f(x)=ln x-ax2(a∈R)，∴f'(x)=-ax=.当a=1时，令f'(x)==0，解得x=±1. ∵x>0，∴当x∈(0，1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，∴当x=1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)=-. 1 2 3 4 (2)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数.(9分) 解:由f(x)=0，得a=， 令g(x)=，1≤x≤e2，则g'(x)=， 由g'(x)>0，得1<x<， 由g'(x)<0，得<x<e2，g(x)在区间[1，]上单调递增，在区间[，e2]上单调递减. 1 2 3 4 又g(1)=0，g()=，g(e2)=，作函数g(x)的图象如图所示. 综上，当0≤a<或a=时，f(x)在[1，e2]上有一个零点，当≤a<时，f(x)在[1，e2]上有2个零点，当a<0或a>时，f(x)在[1，e2]上没有零点. 1 2 3 4 (1)特值试探法:当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，特殊值的选取应遵循以下原则: ①在含有ln x的函数中，通常选取x=ek，特别地，选取当k=0时，x=1来试探； ②在含有ex的函数中，通常选取x=ln k，特别地，选取当k=1时，x=0来试探.在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决. 1 2 3 4 习得方略 (2)虚设和代换法:当导函数f'(x)的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为x0，接下来通常有两个方向: ①由f'(x0)=0得到一个关于x0的方程，再将这个关于x0的方程的整体或局部代入f(x0)，从而求得f(x0)，然后解决相关的问题； ②根据导函数f'(x)的单调性，得出x0两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解. 1 2 3 4 4.(17分)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2. (1)求函数的单调区间；(3分) 解:由题可得f'(x)=xex-2x=x(ex-2)，令f'(x)=0，解得x=0或x=ln 2， 令f'(x)<0，解得0<x<ln 2；令f'(x)>0，解得x<0或x>ln 2， 所以f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(-∞，0)，(ln 2，+∞). 1 2 3 4 (2)求f(x)的零点个数；(4分) 解:由(1)知f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(-∞，0)，(ln 2，+∞)，由于f(0)=-1<0，则f(x)在(-∞，0)上无零点；由于f(ln 2)=2(ln 2-1)-(ln 2)2<0， 则f(x)在(0，ln 2)上无零点； 由于f(2)=e2-4>0，则f(x)在(ln 2，2)上存在唯一零点. 综上，函数f(x)在R上存在1个零点. 1 2 3 4 (3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，求m的取值范围.(10分) 解:若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，则函数y=f(x)与y=m在区间上有两个交点. 由(1)知，f(x)在(-1，0)内单调递增，内单调递减， f(-1)=--1<0，f(0)=-1<0，f=-->f(-1)， 1 2 3 4 如图所示，函数y=f(x)的图象与y=m在区间上有两个交点，则--≤m<-1，即若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，则m的取值范围为. 1 2 3 4 $$