第3章 第二节 导数与函数的单调性（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第二节 导数与函数的单调性 明确目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a，b)内可导，f'(x)是f(x)的导函数，则 f'(x)>0 f(x)在(a，b)内__________ f'(x)<0 f(x)在(a，b)内__________ f'(x)=0 f(x)在(a，b)内为常数函数 单调递增 单调递减 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的__________； 第2步，求出导数f'(x)的_______； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 3.充分、必要条件与导数及函数单调性的关系 (1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件. (2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件. (3)若f'(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件. [微点提醒] (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则当x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则当x∈(a，b)时，f'(x)≤ 0恒成立. (2)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.(　　) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0.(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.(　　) (4)函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞，+∞).(　　) × × √ √ 2.(人A选必修②P86例2改编)[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列判断正确的是 (　　) A.在区间(-2，1)内f(x)单调递增 B.在区间(2，3)内f(x)单调递减 C.在区间(4，5)内f(x)单调递增 D.在区间(3，5)内f(x)单调递减 √ √ 3.(人A选必修②P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0，π)内 (　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析:∵当x∈(0，π)时，f'(x)=-sin x-1<0，∴f(x)在(0，π)内单调递减. √ 4.(人A选必修②P97T2(4)改编)函数f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为　　　　　　　　 　.  解析:令f'(x)=3x2+2x-1>0，解得x>或x<-1，所以f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为(-∞，-1)和. (-∞，-1)， 课堂·题点精研 02 考法(一)　求不含参函数的单调区间 [例1]　若函数f(x)=2ln x+x+，求 f(x)的单调区间. 解:由函数f(x)=2ln x+x+，可得其定义域为(0，+∞)，且f'(x)=+1-==，x>0，令f'(x)=0，可得x=1， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)在(0，1)内单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增.综上，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞). 题点一　函数的单调性 求函数的单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域； (2)求导数 f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间； (5)不能漏掉求函数的定义域；函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 思维建模 考法(二)　讨论含参函数的单调性 [例2]　已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x，讨论f(x)的单调性. 解:由题意得f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=+2ax+(2a+1)=. 当a≥0时，2ax+1>0，x+1>0， ∴f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a<0时，令f'(x)=0，解得x=-，∴当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0.∴f(x)在内单调递增， 在上单调递减.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在内单调递增，在上单调递减. 解计算大题时，分类讨论后的综述千万不能漏写，否则容易丢失1分的步骤分. 特别提醒 判断含参函数单调性的策略 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点: (1)最高次项系数是否为0； (2)导函数是否有零点； (3)导函数两零点的大小关系； (4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等. 思维建模 1.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为 (　　) A.(-∞，1) B.(0，1) C.(1，+∞) D.(-1，1) 解析:易知f(x)的定义域是(0，+∞)， (易错提醒:求单调区间忽视定义域) 且f'(x)=-1=，令f'(x)>0，得0<x<1， 故f(x)的单调递增区间为(0，1). 即时训练 √ 2.讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性. 解:由题意知f(x)的定义域为R，f'(x)=3x2-2x+a， 令f'(x)=0，Δ=(-2)2-4×3×a=4(1-3a). ①当a≥时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增； ②当a<时，令f'(x)=0，即3x2-2x+a=0， 解得x1=，x2=， 令f'(x)>0，得x<x1或x>x2；令f'(x)<0，得x1<x<x2，所以f(x)在(-∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，+∞)上单调递增.综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a<时，f(x)在，上单调递增，在内单调递减. 考法(一)　比较大小或解不等式 [例3] (1)设a=，b=，c=，则(　　) A.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b √ 题点二　函数单调性的应用 解析:构造函数f(x)=(x>0)，可得f'(x)=，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减.a===f(4)，b==f(e)，c==f(3e2)，由e<4<3e2，故f(e)>f(4)>f(3e2)，即b>a>c. (2)已知函数f(x)=x3+2x-sin x，若f(2a2)+f(a-1)≤0，则实数a的取值范围为 (　　) A.∪[1，+∞) B. C.(-∞，-1]∪ D. √ 解析:函数f(x)=x3+2x-sin x的定义域为R，f(-x)=(-x)3+2(-x)-sin(-x) =-f(x)，故函数f(x)是奇函数.又f'(x)=3x2+2-cos x>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，f(2a2)+f(a-1)≤0⇔f(2a2)≤-f(a-1)，即f(2a2)≤f(-a +1)，于是2a2≤-a+1，即2a2+a-1≤0，解得-1≤a≤，所以实数a的取值范围为.故选D. (1)利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造函数的单调性比较大小或解不等式. (2)求解与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 思维建模 考法(二)　求参数的取值范围 [例4]　已知函数f(x)=x2+2aln x-2x(a∈R). (1)若函数f(x)在区间(1，2)内单调递增，则a的取值范围为___________； 解析:∵f(x)=x2+2aln x-2x，则f'(x)=x+-2， 若函数f(x)在区间(1，2)内单调递增， 等价于对∀x∈(1，2)，f'(x)=x+-2≥0恒成立， 可得x2-2x≥-2a对∀x∈(1，2)恒成立， 构造g(x)=x2-2x，可知g(x)开口向上，对称轴x=1， ∴g(x)>g(1)=-1，故-1≥-2a，解得a≥， 则a的取值范围为. (2)若函数f(x)在区间(1，2)内存在单调递减区间，则a的取值范围为 　　　　；  解析:由(1)可得f'(x)=x+-2，若函数f(x)在区间(1，2)内存在单调递减区间，等价于∃x∈(1，2)，使得f'(x)=x+-2<0成立， 可得∃x∈(1，2)，使得x2-2x<-2a成立，构造φ(x)=x2-2x，可知φ(x)开口向上，对称轴x=1，∴φ(x)>φ(1)=-1，故-1<-2a，解得a<，则a的取值范围为. (3)若函数f(x)在区间(1，2)内不具有单调性，则a的取值范围为 _______. 解析:由(1)可得f'(x)=x+-2，若函数f(x)在区间(1，2)内不具有单调性，等价于∃x∈(1，2)，使得f'(x)=x+-2=0， 可得∃x∈(1，2)，使得x2-2x=-2a成立，构造h(x)=x2-2x，可知h(x)开口向上，对称轴x=1，∴h(x)>h(1)=-1，h(x)<h(2)=0，故-1<-2a<0，解得0<a<，则a的取值范围为. (1)由可导函数f(x)在区间D上单调递增(减)求参数的取值范围问题，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对任意x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子区间，从而可求出参数的取值范围. 思维建模 3.已知函数f(x)=cos x+ex，且a=f(2)，b=f，c=f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:f'(x)=-sin x+ex，当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.因为2>ln 2>ln=，所以f<f(ln 2)<f(2)，即b<c<a. 即时训练 √ 4.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2，则不等式f(2x+4)≥2的解集是 (　　) A.{x|x>-2} B.{x|x≥-2} C.{x|x<-2} D.{x|x≤-2} 解析:由f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0，当且仅当ex=e-x，即x=0时，等号成立，所以f(x)单调递增，而且f(0)=2，由f(2x+4)≥2，得2x+4≥0，解得x≥-2. √ 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为 (　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 快审准解:根据f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，再根据分离参数求最值即可. √ 解析:依题意，f'(x)=aex-≥0在(1，2)恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)=xex，x∈(1，2)，则g'(x)=(x+1)ex>0.所以g(x)在(1，2)单调递增，g(x)>g(1)=e，所以≤e，即a≥=e-1，故选C. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.(2025·武汉模拟)函数f(x)=2x-sin x在(-∞，+∞)上是(　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析:∵f(x)=2x-sin x， ∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞，+∞)上恒成立， ∴f(x)在(-∞，+∞)上是增函数. 2.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (　　) A. B. C. D.(-∞，a) 解析:函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-a，令f'(x)=-a>0，得0<x<，所以f(x)的单调递增区间为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 3.设函数f(x)在定义域内可导， y=f(x)的图象如图所示，则其导函 数y=f'(x)的图象可能是 (　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析:由f(x)的图象可知，f(x)在(-∞，0)上单调递减，故x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，故排除A、C；当x∈(0，+∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f'(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 ①由原函数图象识别导函数图象的依据:若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则 f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)=0. ②由导函数图象识别原函数图象的依据:根据f'(x)>0，则f(x)单调递增，f'(x)<0，则 f(x)单调递减. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 习得方略 4.若函数f(x)=-x2+4x+bln x在(0，+∞)上是减函数，则实数b的取值范围是 (　　) A.[-1，+∞) B.(-∞，-1] C.(-∞，-2] D.[-2，+∞) 解析:∵函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，∴f'(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，∴f'(x)=-2x+4+≤0，即b≤2x2-4x在(0，+∞)上恒成立，∵2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2，∴b≤-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 5.已知函数f(x)=3x-4x-1，则不等式f(x)>0的解集是 (　　) A.(0，2) B.(-∞，0)∪(2，+∞) C.(-1，0) D.(-∞，-1)∪(0，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析:函数f(x)=3x-4x-1的定义域为R，求导得f'(x)=3xln 3-4. 当x<log3时，f'(x)<0，当x>log3时，f'(x)>0，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.又f(0)=f(2)=0，且0∈，2∈，由不等式f(x)>0，得x<0或x>2，所以不等式f(x)>0的解集是(-∞，0)∪(2，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 6.已知函数F(x)=在R上具有单调性，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，-1] C.[-4，-1) D.[-4，-1] √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析:设f(x)=-x3+ax2-a-4，则f(x)在[0，+∞)上单调递减， 因为f'(x)=-x2+2ax，由f'(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，得 若x=0，则0≤0，所以a∈R；若x>0，则-x2+2ax≤0⇒2a≤x，所以a≤0.设g(x)=ax-sin x，则g(x)在(-∞，0)上单调递减. 由g'(x)=a-cos x≤0在(-∞，0)上恒成立，所以a≤cos x，x∈(-∞，0)，所以a≤-1.且-a-4≤0⇒a≥-4.综上可知，-4≤a≤-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 7.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea-2=e4和关于b的方程b(ln b-2)=e3λ-1(a，b∈N*)可化为同构方程，则ab的值为 (　　) A.e8 B.e C.ln 6 D.1 快审准解:根据对数的运算性质，结合同构方程的定义可得λ=3，构造函数f(x)=ln x+x，x>0，由单调性可得a=ln b-2即可求解. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析:对aea-2=e4的两边同时取自然对数，得ln a+a=6　①. 对b(ln b-2)=e3λ-1的两边同时取自然对数，得ln b+ln(ln b-2)=3λ-1，即ln b-2+ln(ln b-2)=3λ-3　②.因为方程①②为同构方程，所以3λ-3=6，解得λ=3.设f(x)=ln x+x，x>0，则f'(x)=+1>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以方程f(x)=6的解只有一个，所以a=ln b-2， 所以ab=b(ln b-2)=e3×3-1=e8.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 二、多选题 8.(2025·晋城一模)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　) A.函数f(x)=x2-2x在[1，+∞)上纯粹递增 B.函数f(x)=x3-2x在[1，2]上纯粹递增 C.函数f(x)=sin x-2x在[0，1]上纯粹递减 D.函数f(x)=ex-3x在[0，2]上纯粹递减 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析:若f(x)=x2-2x，则f'(x)=2x-2，因为f'(1)=0，所以A错误.若f(x)=x3-2x，则f'(x)=3x2-2，当x∈[1，2]时，f'(x)>0恒成立，所以B正确.若f(x)=sin x-2x，则f'(x)=cos x-2<0，所以C正确.若f(x)=ex-3x，则f'(x)=ex-3<0在[0，2]上不恒成立，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 9.若函数f(x)满足f'(x)<f(x)，则下列结论正确的是 (　　) A.f(3)<ef(2) B.ef(0)<f(1) C.e2f(-1)>f(1) D.ef(1)<f(2) 快审准解:构造函数g(x)=，求导得到g(x)单调递减，然后根据单调性比较大小即可. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析:令g(x)=，则g'(x)=<0，从而g(x)单调递减，则>>>>，即ef(2)>f(3)，e2f(-1)>f(1)，ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2).故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 三、填空题 10.已知函数f(x)=，则函数f(x)的单调递增区间是　　　　.  解析:因为函数f(x)=(x≠0)，于是f'(x)=，所以当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.因此函数f(x)的单调递增区间是(1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (1，+∞) 11.若函数f(x)=1--ln x在区间[1-a，2-a]内单调递增，则a的取值范围是　　　　.  解析:由题意，可知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-=，令f'(x)≥0，得0<x≤2，可知f(x)的单调递增区间为(0，2]，若函数f(x)在区间[1-a，2-a]内单调递增，依题意解得0≤a<1，所以a的取值范围是[0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 [0，1) 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=(a≠0)，讨论f(x)的单调性. 解:由题意知函数f(x)的定义域为R，且f'(x)=，令f'(x)=0，解得x=0或x=2.当a>0时，令f'(x)<0，解得x<0或x>2； 令f'(x)>0，解得0<x<2，可知f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增；当a<0时，令f'(x)<0，解得0<x<2；令f'(x)>0，解得x<0或x>2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 可知f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减. 综上所述，当a>0时，f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增； 当a<0时，f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 13.(10分)已知函数f(x)=x2-ax+bln x在x=1处的切线平行于x轴. (1)求a与b的关系；(4分) 解:由f(x)=x2-ax+bln x，可得f(1)=-a，f'(x)=x-a+， 依题意，f'(1)=1-a+b=0，即得a-b=1， 此时切线方程为y=-a，该直线与x轴平行， 所以-a≠0，即a≠，所以a-b=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)若函数f(x)在[2，+∞)上单调递增，求a的取值范围.(6分) 解:函数f(x)在[2，+∞)上单调递增等价于f'(x)=x-a+≥0在[2，+∞)上恒成立， 即x-a+≥0在[2，+∞)上恒成立，也即a≤x+1在[2，+∞)上恒成立，故得a≤3且a≠，即a的取值范围是∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 $$