第五章 平面向量、复数（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第五章 平面向量、复数 第一节　平面向量的概念及线性运算 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义; 2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义; 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义. 教材再回首 1.向量的有关概念 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段,向量可以用有向线段表示,也可以用字母a,b,c,…表示 向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作|| 零向量 长度为0的向量叫做零向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量,若a是非零向量,则±是单位向量 平行向 量(共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量. 规定:零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 相反向量 与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 a-b=a+(-b) 数乘 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λ a+μa; λ(a+b)=λ a+λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. [注意]　两向量共线包括同向或反向共线. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量的长度与向量的长度相等. (　　) (2)若向量a与向量b平行,则a与b的方向一定是相同或相反. (　　) (3)两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同. (　　) (4)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.(苏教必修②P15T5改编)[多选]若非零向量a和b互为相反向量,则下列说法正确的是 (　　) A.a∥b B.a≠b C.|a|≠|b| D.b=-a 答案:ABD 3.(人B必修②P173T3改编)若D为△ABC的边AB的中点,则= (　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 解析:选A　=+=+2=+2(+)=2-. 4.(人A必修②P16T3改编)已知e1和e2是两个不共线的向量,a=e1-2e2,b=2e1+ke2,且a与b是共线向量,则实数k的值是　　　　.  解析:由题意,设b=λa,λ∈R, 则2e1+ke2=λ(e1-2e2), 所以所以k=-4. 答案:-4 5.(人A必修②P14例6改编)在平行四边形ABCD中,两条对角线相交于点M,且=a,=b,则用a,b表示=　　　　,=　　　　.  解析:=-=-(+)=-a-b,==(-)=a-b. 答案:-a-b　a-b 题点一　平面向量的基本概念 [例1] (1)[多选]如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论一定成立的是 (　　) A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.= 解析:选ABD　由四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,知||=||,故A正确;由题图可知与的方向相反,与的方向相同且长度相等,即与共线,=,故B、D正确;而∠BDE与∠DEH不一定相等,与不一定共线,故C错误. (2)设a,b都是非零向量,则下列四个条件中,使=成立的充分条件是 (　　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| 解析:选C　因为向量的方向与向量a方向相同,向量的方向与向量b方向相同,且=,所以向量a与向量b方向相同,故可排除A、B、D.当a=2b时,==,故a=2b是=成立的充分条件. |思维建模|　平行向量有关概念的4个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. (4)是与a同方向的单位向量. [即时训练] 1.[多选]下列说法错误的是 (　　) A.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 B.若四边形ABCD满足=,则四边形ABCD是平行四边形 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.|a|+|b|=|a-b|⇔a与b方向相反 解析:选ACD　例如在平行四边形ABCD中,向量与向量共线,但A,B,C,D四点不在一条直线上,故A错误;因为=,所以AB∥DC且AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形,故B正确;若b=0,则由a∥b,b∥c,无法得到a∥c,故C错误;当a,b之一为零向量时,命题不成立,故D错误. 2.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 解析:选D　根据相等向量的定义,分析可得与不平行,与不平行,所以A,B均错误,与平行,但方向相反也不相等,只有与方向相同,且大小都等于线段EF长度的一半,所以C错误,D正确. 题点二　平面向量的线性运算 考法(一)　向量加、减法的几何意义 [例2]　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|=　　　　.  解析:如图所示,设=a,=b,则||=|a-b|,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|,由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=||2,所以△OAB是直角三角形,∠AOB=90°,从而OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相等得||=||=4,即|a+b|=4. 答案:4 考法(二)　平面向量的线性运算 [例3]　(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　) A.3m-2n 　　　B.-2m+3n C.3m+2n 　　　D.2m+3n 解析:选B　法一　因为BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. 法二　因为BD=2DA,即=,所以=+.又=m,=n,所以n=m+,所以=-2m+3n.故选B. 法三:作图法　如图,利用平行四边形法则,合成出向量,由图易知(即向量m)的系数为负数,排除A,C,D,故选B. 价值发掘:在△ABC中,若BC边上的点D满足=(m≠0),则=+. 考法(三)　根据平面向量的线性运算求参数 [例4]　如图,已知在▱ABCD中,点E为CD的中点,=m,=n(mn≠0),若∥,则= (　　) A.1 B.2 C. D.-2 解析:选B　依题意,设=λ,则=+=-m+n=λ(+)=λ,即-m+n=-λ+λ,所以故=2.故选B. |思维建模| (1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形(或三角形),再结合其他知识求解相关问题; (2)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾顺次相连的向量的和用三角形法则. (3)解决与向量线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形或平行四边形,利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则,应用其几何意义进行加法或减法运算,然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值. [即时训练] 3.(2025·重庆模拟)如图,已知点G是△ABC的重心,点M是线段AC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C　因为==(-)==-+,所以λ=-,μ=,λ+μ=-. 谨记结论:(1)设P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+). (2)O为△ABC重心的充要条件为++=0. (3)在四边形ABCD中,若E为AD的中点,F为BC的中点,则+=2. 4.(2025·福州模拟)如图,梯形ABCD的腰CD的中点为E,且BC=3AD,记=m,=n,则= (　　) A.-m+2n B.m+2n C.-2m+n D.-m+n 解析:选A　因为BC=3AD,又+++=0,所以=---=-m-3n+n=-m-2n.又E为腰CD的中点,所以=+=+=3n-m-n=-m+2n. 习得方略:解决此类问题能熟练地找出图形中的相等向量,并能运用相反向量将加、减法相互转化. 题点三　共线向量定理及其应用 [例5] (1)已知点A,B,C是直线l上相异的三点,O为直线l外一点,且2=3+λ,则λ的值是 (　　) A.-1　　　B.1　　　 C.-　　　D. 解析:选A　2=3+λ,即=+.因为点A,B,C是直线l上相异的三点,则A,B,C三点共线,所以+=1,解得λ=-1. (2)已知平面向量e1,e2不共线,a=(2k-1)e1+2e2,b=e1-e2,且a∥b,则k= (　　) A.- B.0 C.1 D. 解析:选A　因为a=(2k-1)e1+2e2,b=e1-e2且a∥b,所以a=tb,即(2k-1)e1+2e2=t(e1-e2).又e1,e2不共线,所以解得 |思维建模|　共线向量定理的3个应用 (1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb(b≠0),则a与b共线; (2)证明三点共线:若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线; (3)求参数的值:利用共线向量定理 及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. [即时训练] 5.(2025·福州模拟)已知e1,e2是两个不共线的向量,若2e1+λe2与μe1+e2是共线向量,则 (　　) A.=-2 B.λμ=-2 C.=2 D.λμ=2 解析:选D　依题意,设2e1+λe2=t(μe1+e2),又e1,e2是两个不共线的向量,所以tμ=2,λ=t,所以λμ=2. 6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 (　　) A.梯形　 B.菱形 C.平行四边形　 D.矩形 解析:选A　因为=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,所以=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b.所以=2.所以AD∥BC且||≠||,所以四边形ABCD为梯形. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.下列说法正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.单位向量的模是1,所有的单位向量是相等向量 C.相反向量的长度相等 D.共线向量是在同一条直线上的向量 解析:选C　由|a|=|b|只知两向量长度相等,方向不确定,故A错误;单位向量的方向不确定,故B错误;根据定义,一对相反向量只有方向相反,模长一定相等,故C正确;因为平面向量是自由向量,所以两条共线向量既可以在一条直线上,也可以在两条平行线上,还可以有一个为零向量,故D错误. 规律方法:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量. 2.设D为线段BC的中点,且+=-6,则下列结论正确的是 (　　) A.=2 B.=3 C.=2 D.=3 解析:选D　由D为线段BC的中点,且+=-6,得2=-6,则=-3,所以=3. 3.(2024·杭州三模)已知不共线的平面向量a,b满足(a+λb)∥(λa+2b),则正数λ= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选B　法一　由已知有1×2=λ×λ,λ>0,解得λ=. 法二　设a+λb=μ(λa+2b),μ∈R,由题意得解得λ=. 4.已知P为△ABC所在平面内一点,=2,则 (　　) A.=-+ B.=+ C.=- D.=+ 解析:选A　由题意作出图形,如图,则=+=+=+(-)=-+,故选A. 5.在△ABC中,若3=2-2,则点D (　　) A.在直线AB上 B.在直线AC上 C.在直线BC上 D.为△ABC的外心 解析:选A　因为3=2-2=2(-)=2,所以和共线,因为BD和AB有公共点B,所以A,B,D三点共线,所以点D在直线AB上. 6.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a-b+c|等于 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　因为四边形ABCD是边长为1的正方形,=a,=b,=c,所以a-b+c=-+=-+(+)=2.又||=1,所以|a-b+c|=|2|=2. 7.已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选B　因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k, 即λa+b=k(a+μb). 又向量a,b不共线,所以⇒λμ=1. 因为λ>0,μ>0,所以λ+4μ≥2=4, 当且仅当λ=4μ时,取“=”. 8.(2025·衡水模拟)在△ABC中,D是BC的中点,直线l分别与AB,AD,AC交于点M,E,N,且=,=2,=λ,则λ= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由=2,得==(+)==+.因为M,E,N三点共线,所以+=1,解得λ=. 二、多选题 9.已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是 (　　) A.=2 B.= C.=3 D.A,B,C三点共线 解析:选ABD　由题意得=-=a-2b,=-=2a-4b,=-=a-2b,所以=2,故A正确;=,故B正确;=2,故C错误;由=2可得∥,A为公共点,故A,B,C三点共线,故D正确.故选ABD. 规律方法:三点共线问题可用向量共线来解决,但应注意三点共线与向量共线的区别,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. 10.如图,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.=+ B.=+ C.=- D.=+ 解析:选AC　=+=+,A正确;=+=+=(+)+=+,B错误;=++=-++=-,C正确;=++=-++=-,D错误.故选AC. 11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　　) A.若=+,则点M是边BC的中点 B.若=2-,则点M在边BC的延长线上 C.若=--,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 解析:选ACD　若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;若=2-,即有-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;如图,=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,设=2,则B,C,N三点共线,且M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确. 三、填空题 12.若=,=(λ+1),则λ=　　　　.  解析:由=可知,点P是线段AB上靠近点A的三等分点,则=-,所以λ+1=-,解得λ=-. 答案:- 13.在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|=　　　　.  解析:法一　如图,连接AD,BE,CF,因为正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成,且AB=1,所以||=2,所以|++|=|++|=||=2. 法二　连接AD(图略),易知AD=2,则|++|=|++|=|++|=|+|=||=2. 答案:2 14.(2025·安庆模拟)已知O为等边△ABC的重心,若=3a,=2b,则=　　　　　.(用a,b表示)  解析:如图,∵O是△ABC的重心,=3a,O是△ABC各边中线的交点,∴=⇒=a,∴=+=a⇒=-a. 又D为BC的中点,=2b,故=(+)⇒=2-=-9a-2b. 答案:-9a-2b 知识拓展: 15.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),若=+μ,则μ的取值范围是　　　　.  解析:由题意可求得AD=1,CD=, 所以=2. 因为点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),所以=λ(0<λ<1).因为=+,且=+μ=+2μ=+, 所以=1,即μ=. 因为0<λ<1,所以0<μ<. 答案: 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 1.理解平面向量基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.平面向量基本定理 条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 基底 若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐标的求法:若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=. 4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 解题结论拓展 (1)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. (2)已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为. (4)已知=λ,设A(x1,y1),B(x2,y2),则定比分点坐标公式与向量公式分别为P,=. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)设{a,b}是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. (　　) (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=. (　　) (3)四边形ABCD是平行四边形,则向量与的坐标相同. (　　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(人A必修②P29例4改编)已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b= (　　) A.(1,2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(1,-2) 答案:B 3.(人B必修②P154例6改编)如图,=2,=a,=b,=c,则下列等式成立的是 (　　) A.c=b-a B.c=a-b C.c=2a-b D.c=2b-a 答案:B 4.(苏教必修②P40T1改编)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.  解析:因为a∥b,所以2×4-5λ=0,所以λ=. 答案: 题点一　平面向量基本定理的应用 [例1] (1)(2025·益阳一模)在▱ABCD中,=,=,若=m+n,则m+n= (　　) A. B. C. D.1 解析:选B　如图所示,因为==(+)===+=m+n,所以m=,n=,所以m+n=,故选B. (2)(2025·咸阳模拟)在△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,BD=2DA,CE=EA,CD,BE交于点P,记=m,=n,则= (　　) A.5m-2n B.-2m+5n C.5m+2n D.2m+5n 解析:选A　如图,过点D作DQ∥AC,交BE于Q,由BD=2DA,CE=EA,得====,则3=2,即3(-)=2(-),整理得3-3=2-2,所以=5-2=5m-2n. |思维建模|　平面向量基本定理的应用技巧 (1)合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量. (2)选定基底后,通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用基底表示出来. (3)注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. [即时训练] 1.如图,在△ABC中,=3,=2,=a,=b,则= (　　) A.a-b B.a-b C.a-b D.a-b 解析:选B　=-=-=+-=+(-)-=-=a-b,故选B. 2.如图,在▱ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),则=　　　　.  解析:由题图可设=x(0<x<1),则=x(+)=x=+x. 因为=λ+μ,与不共线, 所以λ=,μ=x,所以=. 答案: 题点二　平面向量的坐标运算 [例2] (1)已知向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则向量c的坐标为 (　　) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 解析:选D　向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则c=-4a-(3b-2a)=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). (2)在A=90°的等腰Rt△ABC中,E为AB的中点,F为BC的中点,=λ+μ,则λ= (　　) A.- B.- C.- D.-1 解析:选A　以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设B(2,0),C(0,2),则F(1,1),E(1,0),则=(-2,2),=(1,-2),λ+μ=λ(1,1)+μ(1,-2)=(λ+μ,λ-2μ),所以解得λ=-. |思维建模|　向量坐标运算问题的一般思路 向量问题 坐标化 通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算 巧借方程 思想求 坐标 若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用 [即时训练] 3.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 (　　) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,1)或(1,-1) D.(3,1)或(1,1) 解析:选C　∵A(2,0),B(4,2),∴=(2,2).∵点P在直线AB上,且||=2||,∴=2或=-2,∴=(1,1)或=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或(1,-1),故选C. (易错提醒:求点的坐标时,忽视分类讨论) 4.在边长为2的正方形ABCD中,E为CD的中点,AE交BD于点F.若=x+3y,则x+y= (　　) A.1 B. C.- D.- 解析:选B　如图,建立以A为原点,AB,AD为x,y轴的平面直角坐标系,则=(2,0),=(0,2),x+3y=(2x,6y).根据题意,得==,=(1,2),则==.所以2x=,6y=,解得x=,y=,x+y=+=. 习得方略:一般地,在求解向量问题时遇到矩形(或正方形或菱形甚至是具有对称结构的图形)、直角三角形(即拥有天然垂直)、…,那就具备了建立平面直角坐标系的基础. 题点三　平面向量共线的坐标运算 [例3] (1)(2024·渭南三模)已知向量m=(2,λ),n=(2-λ,-4),若m与n共线且反向,则实数λ的值为 (　　) A.4 B.2 C.-2 D.-2或4 解析:选A　由向量m=(2,λ),n=(2-λ,-4)共线,得λ(2-λ)=-8,解得λ=-2或λ=4.当λ=-2时,m=(2,-2),n=(4,-4),m与n同向,不符合题意;当λ=4时,m=(2,4),n=(-2,-4),m与n反向,符合题意,所以实数λ的值为4. (2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=　　　　.  解析:=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-. 答案:- |思维建模| 1.向量共线的2种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)a∥b⇒a=λb(b≠0); (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标的情况应用(2). 2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值. [即时训练] 5.(2024·开封三模)已知向量a=(2,1),a+b=(1,m),若a∥b,则m= (　　) A.-3 B.3 C.- D. 解析:选D　由a=(2,1),a+b=(1,m)可得b=(a+b)-a=(-1,m-1).由a∥b可得-1=2(m-1),解得m=,故选D. 6.已知=(1,-2),=(-3,8),=(1,-3),则 (　　) A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 解析:选D　对于A,因为=(1,-2),=(-3,8),且≠,所以与不共线,所以A,B,C三点不共线,所以A错误;对于B,因为=(-3,8),=(1,-3),所以=+=(-2,5),因为≠,所以与不共线,所以A,B,D三点不共线,所以B错误;对于C,因为=(-3,8),=(1,-3),且≠,所以与不共线,所以B,C,D三点不共线,所以C错误;对于D,因为=(1,-2),=(-3,8),所以=+=(-2,6),因为=(1,-3),所以=-2,所以与共线,因为与有公共端点C,所以A,C,D三点共线,所以D正确.故选D. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.设{e1,e2}为平面内的一个基底,则下面四组向量不能作为基底的是 (　　) A.e1+e2和e1-e2 B.4e1+2e2和2e2-4e1 C.2e1+e2和e1+e2 D.e1-2e2和4e2+2e1 解析:选C　平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成,C中,因为2e1+e2=2,即2e1+e2和e1+e2为共线向量,所以它们不能作为基底.其他选项中的两个向量都没有倍数关系,所以可以作为基底,故选C. 2.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|= (　　) A.3 B.3 C.2 D.5 解析:选A　因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),因此|a+2b|==3.故选A. 3.(2024·西安二模)已知向量=(-3,6),=(m,5),=(-1,4).若A,B,D三点共线,则m= (　　) A.- B.-2 C.3 D.4 解析:选A　由题意易得=+=(m-1,9),若A,B,D三点共线,则有∥,所以-3×9=6(m-1)⇒m=-. 4.在△ABC中,M为AC的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则下列结论正确的是 (　　) A.λ+μ=1 B.λ-μ=3 C.λ+2μ=0 D.2λ-μ=0 解析:选C　因为M为AC的中点,所以=+,所以=-2+.又=λ+μ(λ,μ∈R),所以λ=-2,μ=1,所以λ+2μ=0,故选C. 5.(2024·广安二模)已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,若=(3,4),B(-2,-3),则点C的坐标为 (　　) A.(4,5) B.(1,1) C.(-5,-7) D.(-8,-11) 解析:选A　因为D,E分别为AB,AC的中点,所以=2=(6,8). (中位线性质的应用) 设C(x,y),又B(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8),即 解得 6.(2024·秦皇岛二模)已知向量a=(m,2m+3),b=(1,4m+1),则“m=-”是“a与b共线”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　若a与b共线,则m(4m+1)-(2m+3)=0,解得m=-或m=1,所以“m=-”是“a与b共线”的充分不必要条件,故选A. 7.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1),若a∥b,则tan= (　　) A.-3 B.- C. D.3 解析:选C　因为a∥b,所以-cos θ=2sin θ.易知cos θ≠0,所以tan θ=-,所以tan==. 8.如图,在△ABC中,点D满足=2,E为△BCD的重心,设=m,=n,则可表示为 (　　) A.m+n B.-m+n C.-m+n D.m+n 解析:选C　=+=+××(+)=++=n+(-m)+(-n)+(-m)=-m+n. 9.在△ABC中,D为BC边上的点,S△ABD=2S△ADC,=x+y,则 (　　) A.x=3,y=-2 B.x=,y=- C.x=-2,y=3 D.x=-,y= 解析:选A　设点A到BC的距离为h,则×BD×h=2××DC×h,所以BD=2DC,故=+=+3=+3(-)=3-2.又=x+y,故x=3,y=-2.故选A. 10.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量,在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图,这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形,其中||=||,||=||,·=0.连接AD,若=x+y,则x-y= (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选A　如图,以A为原点,,分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,设AB=1,则A(0,0),B(1,0),C(0,1),故=(1,0),=(0,1),作DF⊥AB,交AB的延长线于点F,由题意可知∠ABC=∠DBF=45°,又||=1,则||=||=1,所以D(2,1),所以=(2,1),因为=x+y,所以x=2,y=1,则x-y=1.故选A. 二、多选题 11.下列各组向量中,可以用来表示向量a=(-1,2)的是 (　　) A.e1=(1,1),e2=(1,2) B.e1=(-1,1),e2=(-2,2) C.e1=(-1,2),e2=(3,-6) D.e1=(1,2),e2=(-3,-4) 解析:选ACD　因为1×2≠1×1,所以e1,e2不共线,可以表示向量a,A正确;因为-1×2=1×(-2),所以e1,e2共线,又向量a与e1不共线,B错误;a=e1+0×e2,可以表示向量a,C正确;因为1×(-4)≠2×(-3),所以e1,e2不共线,可以表示向量a,D正确. 12.已知点A(2,5),B(-1,7),C(4,-2),若A,B,C,D四个点能构成平行四边形,则点D的坐标可以是 (　　) A.(-3,14) B.(-1,0) C.(7,-4) D.(1,0) 解析:选ACD　设点D坐标为(x,y),当平行四边形为ABCD时,=,则(-3,2)=(4-x,-2-y),解得D(7,-4).当平行四边形为ABDC时,=,则(-3,2)=(x-4,y+2),解得D(1,0).当平行四边形为ADBC时,=,则(x-2,y-5)=(-5,9),解得D(-3,14).综上,点D的坐标可以是(7,-4),(1,0),(-3,14),故选ACD. 三、填空题 13.已知点A(8,-1),B(1,-3),若点C(2m-1,m+2)在直线AB上,则实数m=　　　　.  解析:因为点C在直线AB上,所以与共线.又=(-7,-2),=(2m-9,m+3),故=,所以m=-13. 答案:-13 14.若{α,β}是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基底{p,q},p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底{m,n},m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　.  解析:因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以即所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2). 答案:(0,2) 15.如图,在△ABC中,O是BC边上靠近点B的五等分点,过点O的直线与射线AB,AC分别交于不同两点M,N,设=m,=n,则4m+n=　　　　.  快审准解:根据向量的加减运算表示出=+,利用三点共线可得+=1即可求得答案. 解析:由题意知=+=+(-)=+=+,由于M,O,N三点共线,可知+=1,所以4m+n=5. 答案:5 第三节　平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 教材再回首 1.平面向量数量积的有关概念 向量的 夹角 已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作向量=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角 数量积 的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0 2.向量的投影 (1)如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,则称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量. (2)设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ e.  3.平面向量数量积的性质 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与|a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥ b时等号成立) |x1x2+y1y2|≤ a·e与e·a的关系 a·e=e·a=|a|cos θ — 4.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量. (　　) (2)若a·b=0,则a=0或b=0. (　　) (3)a,b共线⇔a·b=|a||b|. (　　) (4)若a·b=b·c,则一定有a=c. (　　) (5)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2.(苏教必修②P24T3改编)已知|a|=5,|b|=,a·b=5,则a与b的夹角θ等于 (　　) A.45° B.135° C.-45° D.30° 答案:A 3.(人A必修②P34例10改编)已知△ABC三个顶点为A(-1,-4),B(5,2),C(3,4),则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:选B　由已知,得=(6,6),=(-2,2),∴·=6×(-2)+6×2=0,即AB⊥BC,∴△ABC是直角三角形. 4.(人A必修②P21例12改编)已知|a|=2,|b|=3,且a⊥b,则(a+b)·(2a-b)=　　　　.  答案:-1 5.(人B必修③P79T5改编)已知|a|=3,|b|=5,且<a,b>=45°,则a在b上的投影向量的模为　　　　.  解析:所求投影向量的模为|a|cos 45°=. 答案: 题点一　数量积的计算 [例1] (1)已知向量a=(1,5λ+4),b=(2+λ,8),其中λ≥0,若a∥b,则a·(a+b)= (　　) A.40 B.48 C.51 D.62 解析:选C　因为a=(1,5λ+4),b=(2+λ,8),且a∥b,所以(5λ+4)(2+λ)=1×8,解得λ=0或λ=-.又λ≥0,所以λ=0,此时a=(1,4),b=(2,8),所以a+b=(3,12),所以a·(a+b)=(1,4)·(3,12)=1×3+4×12=51. (2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　　) A.　　　　　　B.3 C.2 D.5 解析:选B　法一　以{,}为基底,可知||=||=2,·=0, 则=+=+,=+=-+,所以·=·=-+=-1+4=3. 法二　如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3. 法三　由题意可得,ED=EC=,CD=2. 在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC===,所以·=||||cos∠DEC=××=3. 法四:极化恒等式　设CD的中点为O,由极化恒等式可得·=-=3. |思维建模|　平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法:当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题; (2)坐标法:当平面图形易建系求出各点坐标时,可利用坐标法求解. [即时训练] 1.(2025·安徽一模)已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为60°,则2a-b在b上的投影向量为 (　　) A.b B.-b C.-b D.b 解析:选B　因为|b|=2|a|,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos 60°=|a|×2|a|×=|a|2,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|2-4|a|2=-2|a|2,所以2a-b在b上的投影向量为×=×=-b. 谨记结论:求投影向量的2个公式 (1)a在b上的投影向量为|a|cos θ·. (2)a在b上的投影向量为=b. 2.已知等边△ABC的边长为1,则·+·+·=　　　　.  解析:与的夹角应是∠ACB的补角,即180°-∠ACB=120°.又||=||=||=1, 所以·=||||cos 120°=-.同理得·=·=-.故·+·+·=-. 答案:- 易错提醒:确定向量夹角时忽略向量的方向.在使用a·b=|a||b|cos<a,b>求解时,特别注意<a,b>,要共起点才能找夹角,否则使用的可能是其补角造成错误. 题点二　数量积的简单应用 考法(一)　平面向量的模 [例2] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　) A. B. C. D.1 解析:选B　因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b.又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=. (2)在梯形ABCD中,B=60°,AB=3,AD∥BC,BC=6,且·=-,则AD的长度为　　　　.  解析:在梯形ABCD中,因为B=60°,AD∥BC,所以∠BAD=120°,即向量与向量的夹角为120°.又AB=3,所以·=||×||×cos 120°=||×3×=-,所以||=1. 答案:1 |思维建模|　求平面向量模的2种方法 考法(二)　平面向量的夹角 [例3]　(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　∵a+b+c=0,∴c=-a-b,等式两边同时平方得2=a2+b2+2a·b=1+1+2a·b,∴a·b=0. 法一　又a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,∴(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且|a-c|=|2a+b|===,|b-c|=|a+2b|===,∴cos<a-c,b-c>==,故选D. 法二　如图,令=a,=b,则=c,∴=a-c,=b-c.而||=,||=||=,在△ABC中,由余弦定理得cos<a-c,b-c>=cos<,>=cos∠ACB==,故选D. 法三　如图(图同法二),令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),∴a-c=(2,1),b-c=(1,2),则cos<a-c,b-c>===,故选D. |思维建模| 1.求平面向量夹角的2种方法 (1)定义法:利用cos<a,b>=求解,<a,b>∈[0,π]; (2)坐标法:利用cos<a,b>=求解. 2.向量夹角的有关结论 (1)若a,b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a,b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 考法(三)　平面向量的垂直 [例4]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:选D　法一:向量法+坐标法　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 法二:坐标法　因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. |思维建模|　平面向量垂直的解题规律 (1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题: ①计算出这两个向量的坐标;②根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可. (2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值(根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数). [即时训练] 3.(2024·聊城二模)[多选]已知向量a=(-1,2),b=(1,λ),若b在a上的投影向量为a,则 (　　) A.λ=3 B.a∥b C.a⊥(b-a) D.a与b的夹角为45° 解析:选ACD　对于A,因为b在a上的投影向量为a,即·=a,所以=1,即=1,解得λ=3,故A正确;对于B,a=(-1,2),b=(1,3),所以(-1)×3-2×1≠0,故B错误;对于C,a·(b-a)=(-1,2)·(2,1)=-2+2=0,所以a⊥(b-a),故C正确;对于D,cos<a,b>===,因为0°≤cos<a,b>≤180°,所以a与b的夹角为45°,故D正确. 4.已知||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数= (　　) A. B. C.6 D.4 解析:选A　∵||=3,||=2,=m+n,与的夹角为60°,∴·=3×2×cos 60°=3,∴·=(-)·(m+n)=(m-n)·-m+n=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,∴=,故选A. 题点三　平面向量数量积中的最值、范围问题 [例5]　(2025·惠州一调)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点P在BC边上(包括端点),则·的取值范围是　　　　.  解析:法一　设=λ,λ∈[0,1],则·=·(+)=·+λ=2×2×cos 120°+4λ=4λ-2,因为λ∈[0,1],所以-2≤·≤2. 法二　如图所示,以C为原点,为x轴正方向建立平面直角坐标系. (关键点:规则图形可以通过建系降低思考的成本) 因为菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,所以C(0,0),B(-2,0),D(1,),A(-1,).因为点P在BC边上(包括端点),所以设P(t,0),其中t∈[-2,0],所以=(2,0),=(t+1,-),所以·=2t+2,因为t∈[-2,0],所以·=2t+2∈[-2,2]. 法三　因为两个非零向量a,b的数量积a·b等于向量a在向量b上的投影向量与b的数量积,所以如图1,当点P与点B重合时,·取得最小值,为2×2×cos 120°=-2;如图2,当点P与点C重合时,·取得最大值,为2×2×cos 60°=2. 答案:[-2,2] 习得方略:在一个几何图形中求两个向量数量积的取值范围,要根据图形特点选择方法,如果两个向量数量积的几何意义明显,就根据数量积的几何意义求解;如果两个向量数量积的几何意义不明显,可以先建立平面直角坐标系,将问题转化为坐标运算,再求解. |思维建模|　与向量有关的最值、范围问题的解题策略 (1)“形化”,即利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断; (2)“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. [即时训练] 5.已知非零向量a,b的夹角为,|a|=2,λ∈R,则|a+λb|的最小值为 (　　) A.2 B. C.1 D. 解析:选C　因为a,b的夹角为,|a|=2,所以 a·b=|b|,|a+λb|2=|b|2λ2+2|b|λ+4=(|b|λ+)2+1≥1,故|a+λb|的最小值为1. 6.在梯形ABCD中,AB∥CD,A=90°,AB=2CD=3,AD=2,若线段EF在线段AB上运动,且EF=1,则·的最小值为　　　　.  解析:如图所示,以A为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C,D(0,2).不妨设E(t,0),F(t+1,0)(0≤t≤2),则=,=,所以·=·=×+4=(t-1)2+,所以当t=1时,·取得最小值. 答案: 数智赋能:电子版随堂训练(平面向量数量积的创新问题),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2025·长沙一模)已知向量a=(1,1),b=(0,t),若a⊥(a+2b),则|b|= (　　) A. B.1 C. D.2 解析:选B　因为a=(1,1),b=(0,t),所以a+2b=(1,1)+2(0,t)=(1,1+2t).又因为a⊥(a+2b),所以a·(a+2b)=0,即1×1+1×(1+2t)=0,解得t=-1,所以|b|=1. 2.(2025·黄冈一模)若向量a=(2,0),b=(3,1),则向量a在向量b上的投影向量为 (　　) A. B. C. D.(5,1) 解析:选B　因为向量a=(2,0),b=(3,1),所以向量a在向量b上的投影向量为·=·b=(3,1)=. 3.(2025·苏州模拟)若向量 a=(1,1),b=(-2,x),a与 a+b的夹角为钝角,则 x的取值范围为 (　　) A.(-∞,-1) 　　B.(0,+∞) C.(-∞,-2)∪(-2,0) 　　D.(-∞,0) 解析:选C　因为a+b=(-1,1+x), 又a与a+b的夹角为钝角, 所以a·(a+b)<0且a与a+b不共线. 当a与a+b共线时,-1×1-1×(1+x)=0, 则x=-2,此时两向量反向共线; 由a·(a+b)<0,可得-1×1+1×(1+x)<0, 解得x<0,所以x<0且x≠-2. 易错提醒:忽视两向量夹角<a,b>的取值范围,向量夹角的取值范围是[0,π],解题时易忽略夹角为0和夹角为π的情况. 4.(2025·信阳一模)已知m=(3,6),n=(-3,λ),若<m+n,n>=120°,则λ= (　　) A.- B.-2 C.-3 D.- 解析:选A　因为m=(3,6),n=(-3,λ),所以m+n=(0,6+λ),则(m+n)·n=λ(6+λ),|m+n|=,|n|=,所以cos<m+n,n>==-,化简得λ2=3⇒λ=±.又λ(6+λ)<0⇒-6<λ<0,所以λ=-. 5.(2025·盐城模拟)在△ABC中,若AB=6,∠BAC=,∠ACB=,则·+·= (　　) A.54 B.27 C.9 D.3 解析:选A　在△ABC中,AB=6,∠BAC=,∠ACB=,由正弦定理得BC==3,所以·+·=·+·==54. 6.已知e为单位向量,向量a满足a·e=2,|a-λe|=1,则|a|的最大值为 (　　) A.4 B.2 C. D.5 快审准解:利用|a|2=a2进行转化,把|a|2转化成二次函数,再用二次函数的性质求值域. 解析:选C　因为|a-λe|=1,所以|a-λe|2=(a-λe)2=|a|2-2λa·e+(λe)2=|a|2-4λ+λ2=1,故|a|2=-λ2+4λ+1=-(λ-2)2+5≤5,所以|a|≤.故选C. 7.(2024·北京高考)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|.当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 8.(2025·太原一模)在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,设D为AC的中点,E在BC上,且·=0,则·= (　　) A.16 B.12 C.8 D.-4 解析:选A　以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3),设E(0,b),则=(-4,b),=(2,3),=(0,6),由题意可知·=0,即-8+3b=0,所以b=.所以E,故=.所以·=16. 9.(2024·渭南二模)已知菱形ABCD的边长为1,cos∠BAD=,O为菱形的中心,E是线段AB上的动点,则·的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由题意,知点O为BD的中点,设=λ,0≤λ≤1,则=-=λ-,==-,故·=(λ-)·=λ+-·=λ+-=λ+,当λ=0时,·取得最小值. 10.(2024·赤峰二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知c2=2,a2+b2=10,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点 P, 则直线AM,BN的夹角为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选D　由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C, (看到a,b,c的齐次式,想到用余弦定理) 即2=10-2abcos C,得abcos C=4,所以·=||·||cos C=abcos C=4.如图所示,则·=(-)·(-)=·-=·--+·=×4-a2-b2+4=5-(a2+b2)=5-×10=0,得⊥,故直线AM,BN的夹角为90°. 二、多选题 11.下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的有 (　　) A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a-b|<|a|+|b| 解析:选AC　A项,由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立;B项,(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,而a与c不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,因此本选项不一定成立;C项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以本选项一定成立;D项,当 b=0时,|a-b|=|a|+|b|,所以本选项不一定成立,故选AC. 易错提醒:混淆向量数量积运算和数乘运算的结果,向量的数乘运算结果依旧为向量,而数量积的运算结果为实数,两者要区分开.尤其使用数量积的运算时不可约公因式. 12.(2024·绍兴三模)已知平面向量a=(2,3),b=(4,λ),则 (　　) A.若a∥b,则λ=6 B.若a⊥b,则λ= C.若b在a上的投影向量为,则λ= D.若a·(a+b)=24,则λ=1 解析:选ACD　若a∥b,则有2λ-3×4=0,解得λ=6,故A正确;若a⊥b,则有2×4+3×λ=0,解得λ=-,故B错误;若b在a上的投影向量为,则有·=··(2,3)=,化简得8+3λ=9,即λ=,故C正确;若a·(a+b)=24,则有2×(2+4)+3×(3+λ)=24,解得λ=1,故D正确. 三、填空题 13.(2024·保定三模)已知向量a=(3,2),b=(4,x),若a⊥b,则x=　　　　.  解析:因为a⊥b,所以a·b=0,即12+2x=0,解得x=-6. 答案:-6 14.已知平面向量a,b的夹角为,若|a|=1,|2a-b|=,则|b|的值为　　　　.  快审准解:利用平面向量的数量积与模长公式建立方程计算即可. 解析:由|2a-b|=,两边平方得(2a-b)2=10,即4a2-4a·b+b2=4-4×1×|b|×cos +|b|2=10,即|b|2-2|b|-6=0⇒(|b|-3)·(|b|+)=0,解得|b|=3(舍负). 答案:3 15.在△ABC中,已知AB=1,AC=3,点G为△ABC的外心,点O为△ABC的重心,则·=　　　　.  快审准解:设BC的中点为D,根据三角形外心性质,得GD⊥BC,由重心性质得=(+),再根据数量积运算即可求解. 解析:如图,设BC的中点为D,连接AD,GD,由点O为△ABC的重心,可得==(+),故·=(+)·=·+0=(+)·(-)=(-)=×(9-1)=. 答案: 知识拓展: 垂心 定义:三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心,垂心和顶点的连线与对边垂直; 结论:·=·=·⇔O是△ABC的垂心 内心 定义:三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心,也就是内切圆的圆心,三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r; 结论:a+b+c=0⇔O是△ABC的内心(a,b,c为△ABC的三条边) 外心 定义:三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心,也就是三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等; 结论:||=||=||⇔O是△ABC的外心 第四节　复　数 1.通过方程的解,认识复数.理解复数的代数表示及其几何意义. 2.掌握复数的实部、虚部及共轭复数、复数的模等概念. 3.结合复数的运算法则,会做复数的加、减、乘、除运算. 教材再回首 1.复数的定义及分类 (1)复数的定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,实部是a,虚部是b. (2)复数的分类 复数z=a+bi (a,b∈R) 2.复数的有关概念 复数相等 a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R) 共轭复数 a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R) 3.复数的几何意义 复平面 的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、 虚轴 在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数 复数的 几何表示 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b) 平面向量 4.复数的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. (3)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. (4)===+i(c+di≠0). 典题细发掘 1.(人A必修②P94T1(2))复数的共轭复数是 (　　) A.i+2 B.i-2 C.-2-i D.2-i 答案:B 2.(人B必修④P31T2改编)若z=3+4i,则|z|= (　　) A. B.5 C.7 D.25 答案:B 3.(苏教必修②P147T7)在复平面内,复数z=-1+2i对应的点所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B 4.(人A必修②P80T2改编)在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是 (　　) A.1-2i B.-1+2i C.3+4i D.-3-4i 答案:D 题点一　复数的概念 [例1] (1)(2024·乐山三模)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-2i和1+bi互为共轭复数,则复数z=a+(b-1)i的模为 (　　) A.2 B. C.10 D. 解析:选B　由a-2i和1+bi互为共轭复数,可得a=1,b=2,所以z=a+(b-1)i=1+i,因此,|z|==. (2)已知复数z满足z(2+2i)=3+3,则z的虚部为 (　　) A.-6 B.-3 C.6 D.15 快审准解:设出复数z的代数形式,利用复数乘法及复数相等求解即得. 解析:选C　设复数z=a+bi(a,b∈R),由z(2+2i)=3+3,得(a+bi)(2+2i)=3a+3-3bi,化简得2a-2b+(2a+2b)i=3a+3-3bi, 则解得a=-15,b=6, 于是z=-15+6i,所以z的虚部为6.故选C. |思维建模|　解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. (3)两个虚数不能比较大小. (4)利用复数a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件. [即时训练] 1.已知复数z1=a-3i,z2=2+i(i为虚数单位),若z1z2是纯虚数,则实数a= (　　) A.- B. C.-6 D.6 解析:选A　因为z1z2=(a-3i)(2+i)=(2a+3)+(a-6)i是纯虚数,所以2a+3=0且a-6≠0,解得a=-. 2.(2025·湖南师大附中模拟)已知z是虚数,z2+2z是实数,则z的 (　　) A.实部为1 B.实部为-1 C.虚部为1 D.虚部为-1 解析:选B　设虚数z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+2z=(a+bi)2+2(a+bi)=a2-b2+2a+2b(a+1)i,由z2+2z是实数,得2b(a+1)=0,得a=-1,故选B. 题点二　复数的四则运算 [例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z= (　　) A.-1-i　　B.-1+i　　 C.1-i　　D.1+i 解析:选C　因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C. (2)(2024·邢台二模)若z·(2+i)=3-i2 027,则z的虚部为 (　　) A.-1 B. C.-i D.- 解析:选D　因为i2 027=(i4)506×i3=-i,所以z·(2+i)=3-i2 027=3+i,所以z===-i,所以z的虚部为-.故选D. 常用结论:(1)运算的常用结论:(1±i)2=±2i,=i,=-i. (2)in的周期性:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). (3)模的性质:z =|z|2=||2,|z1z2|=|z1||z2|,=,|zn|=|z|n. |思维建模|　复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数,即分母实数化. [即时训练] 3.(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(+z)= (　　) A.10i B.2i C.10 D.2 解析:选A　因为z=5+i,所以=5-i,所以i(+z)=10i,故选A. 4.(2024·九江二模)已知复数z满足iz=2-i,其中i为虚数单位,则= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　由iz=2-i,得z==-1-2i,故===-. 5.(2024·安庆三模)若复数z的实部大于0,且(z+1)=,则z= (　　) A.1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i 解析:选D　令z=a+bi,且a>0,b∈R,则(z+1)=(a-bi)(a+1+bi)=a2+a+b2-bi.因为==6-2i,所以根据复数相等有解得a=1,b=2.所以z=1+2i. 题点三　复数的几何意义 [例3] (1)(2024·荆州三模)[多选]已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),则下列命题正确的是 (　　) A.若z为纯虚数,则m=±1 B.若z为实数,则z=0 C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1 D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限 解析:选BD　复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R)的实部为m2-1,虚部为m+1,复数z在复平面内对应点的坐标为(m2-1,m+1),若z为纯虚数,则解得m=1,故A错误;若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则z=0,故B正确;若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=,故C错误;令则不等式组无解,所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限,故D正确. (2)(2024·长沙三模)已知复数z满足|z|=1,则|z-2i|的取值范围为 (　　) A.[0,2] B.[1,3] C.[2,4] D.[1,9] 解析:选B　因为|z|=1表示z对应的点是单位圆上的点,|z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0,2)之间的距离,|z-2i|的取值范围转化为点(0,2)到圆心的距离加上半径可得最大值,减去半径可得最小值,所以最大距离为2+1=3,最小距离为2-1=1,所以|z-2i|的取值范围为[1,3]. 谨记结论:(1)复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数. (2)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. (3)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离. [即时训练] 6.若复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,-2) B.(-3,-2) C.(-2,+∞) D.(-∞,-3) 解析:选D　由复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,可得解得a<-3,故实数a的取值范围为(-∞,-3). 7.设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,|z1|=2,z2=3i,则Z1,Z2两点之间距离的最大值为 (　　) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:选C　法一　设z1=a+bi(a,b∈R),因为|z1|=2,所以a2+b2=4.因为复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,z2=3i,所以Z1(a,b),Z2(0,3),连接Z1Z2(图略),则|Z1Z2|==,易知b∈[-2,2],故当b=-2时,|Z1Z2|取得最大值,为=5,故选C. 法二　因为|z1|=2,所以复数z1在复平面内对应的点Z1的轨迹是以原点O为圆心,半径r=2的圆.因为z2=3i,所以复数z2在复平面内对应点Z2(0,3),因为|OZ2|=3,所以|Z1Z2|max=|OZ2|+r=3+2=5,故选C. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2024·北京高考)若复数z满足=-1-i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析:选C　由题意得,z=i(-1-i)=1-i. 2.(2024·大兴三模)已知(m-i)2为纯虚数,则实数m= (　　) A.0 B.1 C.-1 D.±1 解析:选D　因为(m-i)2=m2-2mi+i2=m2-1-2mi,又(m-i)2为纯虚数,所以解得m=±1. 3.(2024·邵阳三模)已知复数z满足z(1+i)=i2 024-i,其中i是虚数单位,则|z|的值为 (　　) A. B.1 C.2 D.4 解析:选B　∵z(1+i)=i2 024-i=1-i,∴z===-i,∴|z|=1. 4.设复数z满足|z-1|=2,z在复平面内对应的点为(x,y),则 (　　) A.(x-1)2+y2=2 B.x2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4 快审准解:z=x+yi,根据模长公式得到=2,两边平方得到答案. 解析:选C　由z=x+yi,得|z-1|=2⇒|(x-1)+yi|=2,即=2,故(x-1)2+y2=4,故选C. 5.(2024·天津和平二模)已知i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数= (　　) A.-i B.+i C.i D.-i 解析:选C　因为复数z====-i,所以z的共轭复数=i. 6.已知复数z=(a∈R),|z|=,且z在复平面上对应的点位于第二象限,则a= (　　) A.4 B.-4 C.±4 D.±2 解析:选B　因为z===+i,所以+=10,解得a=±4.又z在复平面上对应的点位于第二象限,所以a=-4. 7.已知虚数z是关于x的方程x2-4x+a=0(a∈R)的一个根,且|z|=,则a= (　　) A.1 B.2 C.4 D.5 解析:选D　法一　设z=m+ni(m,n∈R且n≠0),代入原方程可得m2-n2-4m+a+(2mn-4n)i=0,所以得因为|z|==,所以n2=1,则a=5.故选D. 法二　因为实系数一元二次方程x2-4x+a=0的虚数根共轭成对出现,所以a=z·=|z|2=5,故选D. 8.若复数z=cos θ+isin θ,则|z-2+2i|的最大值是 (　　) A.2-1 B.2+1 C.+1 D.2+3 解析:选B　由题意可知z=cos θ+isin θ在复平面内对应的点为(cos θ,sin θ),设为P,是以原点为圆心的单位圆上的一点,而z1=2-2i在复平面内对应的点不妨设为A(2,-2),则|z-2+2i|=|PA|,易知|PA|≤|AO|+1=2+1. 9.(2025·南京模拟)若复数z满足|z-1|≤2,则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为 (　　) A.π B.2π C.3π D.4π 解析:选D　法一　令z=a+bi(a,b∈R),则|z-1|=|(a-1)+bi|=≤2,即(a-1)2+b2≤4,所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,2为半径的圆内(含边界),所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22=4π,故选D. 法二　|z-1|≤2表示z在复平面内对应的点和点(1,0)间的距离恒小于等于2,所以z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,2为半径的圆内(含边界),所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22=4π,故选D. 10.(2025·杭州模拟)已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),在复平面内,记z0=2+i对应的点为点Z0,z对应的点为点Z,则点Z0与点Z之间距离的最小值为 (　　) A. B. C. D.2 解析:选C　法一　设z=x+yi(x,y∈R),由|z-1|=|z+i|,得(x-1)2+y2=x2+(y+1)2,即y=-x,所以点Z0(2,1)与点Z(x,y)之间的距离d===≥,当且仅当x=时取等号.故选C. 法二　设z=x+yi(x,y∈R),由|z-1|=|z+i|可知,点Z(x,y)到点(1,0)和点(0,-1)的距离相等,所以点Z的轨迹是点(1,0)和点(0,-1)连线的垂直平分线,其方程为x+y=0,所以点Z0(2,1)与点Z(x,y)之间距离的最小值等于点Z0到直线x+y=0的距离,即=.故选C. 二、多选题 11.(2024·九江三模)已知虚数z满足z2=,则下列结论正确的是 (　　) A.|z|=1 B.z3=1 C.z的虚部为 D.|z+|=1 解析:选ABD　由z2=,得|z|2=||=|z|,∵|z|≠0,∴|z|=1,A正确;由z2=,得z3=z·=|z|2=1,B正确;设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则=a-bi,z2=a2-b2+2abi,∴解得a=-,b=±,∴z的虚部为或-,C错误;由C知,|z+|=2|a|=1,D正确. 12.(2024·佛山二模)已知复数z1,z2满足z2-2z+2=0,则 (　　) A.=z2 B.z1z2= C.z1+z2=-2 D.=1 解析:选ABD　方程z2-2z+2=0,化为(z-1)2=i2,解得z=1+i或z=1-i,由复数z1,z2满足z2-2z+2=0,不妨令z1=1+i,z2=1-i,显然复数z1,z2互为共轭复数,即=z2,A正确;z1z2=(1+i)(1-i)=2,而|z1|=|z2|=,则z1z2=|z1|2,B正确;z1+z2=2,C错误;由|z1|=|z2|=,得==1,D正确. 三、填空题 13.(2024·青岛二模)已知复数z满足(z+2)i=2z-1,则复数=　　　　.  解析:易知z====i,所以=-i. 答案:-i 14.(2024·长沙二模)如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别为A,B,则z1z2=　　　　.  解析:由题图可知,z1=-2-i,z2=1+i, 则z1z2=(-2-i)(1+i)=-2-i-2i-i2=-2+1-3i=-1-3i. 答案:-1-3i 15.已知i为虚数单位,则集合A={x|x=i+i2+i3+…+in,n∈N*}中元素的个数为　　　　.  解析:当n=4k,k∈N*时,x=i+i2+i3+…+in=0;当n=4k+1,k∈N时,x=i+i2+i3+…+in=i;当n=4k+2,k∈N时,x=i+i2+i3+…+in=i+i2=i-1;当n=4k+3,k∈N时,x=i+i2+i3+…+in=i+i2+i3=-1,所以集合A中元素的个数为4. 答案:4 学科网（北京）股份有限公司 $$