第2章 第十一节 函数与方程（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第十一节 函数与方程 明确目标 1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 2.能借用工具用二分法求方程的近似解，了解二分法求方程的近似解具有一般性. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x)，我们把使_______的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与_____有公共点⇔函数y=f(x)有_______. f(x)=0 x轴 零点 (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有___________，那么，函数y=f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个c也就是方程 f(x)=0的解. f(a) f(b)<0 (a，b) f(c)=0 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且__________的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)<0 3.二次函数图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) ________ 无 零点个数 _____ _____ ____ (x1，0) 2 1 0 解题结论拓展 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上具有单调性，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根. (2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 典题细发掘 1.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1，则实数a的值为(　　) A.-2 B.- C. D.2 解析：由题意知，f(1)=+a=0，解得a=- . √ 2.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：由题表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点. x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 √ 3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数 f (x)=则函数 f (x)的零点为(　　) A.2 B.-2，0 C. D.0 解析：当x≤1时，令f(x)=2x-1=0，解得x=0；当x>1时，令f(x)=1+log2x=0，解得x=(舍去).综上，函数f(x)的零点为0. √ 课堂·题点精研 02 [例1]　 (1)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在(1，6)内恰有3个零点 B.f(x)在(1，6)内至少有3个零点 C.f(x)在(1，6)内最多有3个零点 D.f(x)在(1，6)内不可能有4个零点 √ 题点一　函数零点所在区间的判定 x 1 2 3 4 5 6 y 10 8 -3 2 -7 -9 解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0， ∴根据函数零点存在定理可知， 在区间(2，3)，(3，4)及(4，5)内均至少含有一个零点， 故函数在区间(1，6)内的零点至少有3个，故选B. (2)[多选]函数f(x)=2x2-4ln x-3，则 (　　) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e，e2)内有零点 √ √ 解析：作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象，如图所示，由图象可知，f(x)最多有两个零点，因为f=+4-3>0，f()=2e-2-3>0，f(1)=2-3<0，f(e)=2e2-4-3>0，f(e2)=2e4-8-3>0，所以ff(1)<0，f(1)f()<0，由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点，在(1，)内有零点. 确定函数零点所在区间的方法 思维建模 利用函数 零点存在 定理 首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形 结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n，n+1)内，n∈Z，则n的值为　　　　.  解析：因为函数f(x)=x+2x定义域为R，且f(x)在R上单调递增，f(0)=1>0，f(-1)=-1+=-<0，即f(0)·f(-1)<0，由函数零点存在定理可得，f(x)的零点所在区间为(-1，0)，所以n=-1. 即时训练 -1 2.写出函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的一个区间：_________________.  解析：易知函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1，0)∪(0，+∞)，且函数在(0，+∞)上是连续不断的.因为f(1)=ln(1+1)-=ln 2-2<0，f(2)=ln(2+1)-1=ln 3-1>0，由函数零点存在定理可知，f(x)在区间(1，2)上有零点，又f(x)=ln(x+1)-在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(0，+∞)上只有一个零点. (1，2)(答案不唯一) [例2]　已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：法一：直接法　由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时，ln x=3或ln x=-3，解得x=e3或x=e-3；当x≤0时，-2x(x+2)=3，无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2，故选B. √ 题点二　函数零点个数的判定 法二：图象法　作出函数f(x)的图象，如图所示， 函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数，作出直线y=3，由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点，故函数y=f(x)-3的零点个数是2，故选B. 函数零点个数的判定方法 (1)直接求零点. (2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数的图象，看其交点的个数有几个. 思维建模 3.已知函数f(x)=则当k>0时，函数y=f(x)的零点个数为(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 即时训练 √ 解析：当x>0时，由f(x)=0，可得ln x=0，解得x=1，符合题意；当x≤0时，由于k>0，由f(x)=0，可得kx+1=0，解得x=- <0，符合题意.因此，函数y=f(x)的零点个数为2. 4.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-x2，则函数f(x)在R上的零点的个数是　　　　.  解析：当x>0时，令2x-x2=0，解得x=2或x=4；根据奇函数的对称性，当x<0时，f(x)的零点是x=-2或x=-4.又f(0)=0，所以f(x)在R上共有5个零点. 5 考法(一)　根据函数零点范围求参数范围 [例3]　(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-5) B.(-5，-1) C.(1，5) D.(5，+∞) √ 题点三　函数零点的应用 解析：由y1=log2x在(0，+∞)上单调递增，y2=x2+m在(0，+∞)上单调递增，得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0，+∞)上单调递增，因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，所以即解得-5<m<-1，所以实数m的取值范围是(-5，-1). 考法(二)　根据函数零点个数求参数范围 [例4]　设c∈R，函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　　) A.(0，1) B.{0}∪[1，+∞) C. D.{0}∪ √ 解析：画出函数g(x)=的图象如图所示， 函数f(x)= 可由g(x)=分段平移得到， 易知当c=0时，函数 f(x)恰有一个零点， 满足题意； 当c<0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象向下平移，当0<2c<1时，函数有两个零点，不符合题意；当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪. 由函数零点所在区间或个数求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围. (2)分离参数法：先将参数分离，然后将 原问题转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解. 思维建模 5.(2025·自贡模拟)设函数f(x)=+x2-4x有唯一的零点，则实数m为(　　) A.2 B. C.3 D. 即时训练 √ 解析：令t=x-2，则g(t)=(3t+3-t)+t2-4，因为g(-t)=(3-t+3t)+(-t)2-4=(3t+3-t)+t2-4=g(t)，所以函数g(t)是偶函数.因为函数f(x)有唯一的零点，所以函数g(t)有唯一的零点.则g(0)=0，即(1+1)+0-4=0，解得m=. 6.已知函数f(x)=若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则实数m的取值范围是　 　　　.  解析：结合f(x)的图象，分情况讨论， (-∞，-2)∪(0，2) 当m>0时，要使f(x)=b有三个不同的根，则 ⇒0<m<2；当m<0时，要使f(x)=b有三个不同的根，则 ⇒m<-2；当m=0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去.所以m的取值范围是(-∞，-2)∪(0，2). 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.函数f(x)=x+ln x-1的零点为(　　) A.(1，0) B.1 C.e D. 解析：根据零点的定义，将x=1代入函数，则f(1)=1+ln 1-1=0即零点为1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数f(x)=12-2x-3x零点的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：因为f(x)=12-2x-3x在R上单调递减，f(2)=12-4-6=2，f(3)=12-8-9=-5，f(2)·f(3)<0，所以零点所在的区间是(2，3)，所以该函数只有一个零点. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1，另一个大于2，则 a的取值范围是 (　　) A.(0，3) B.[0，3] C.(-3，0) D.(-∞，1)∪(3，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：令f(x)=-x2+ax+4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，由二次函数的图象可知，即解得0<a<3. 4.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　) A. B.(1，2) C.(2，3) D.(3，5) 解析：易知f(x)在(0，+∞)上单调递增.又f(2)=ln 2->ln -=>0，f(1)=ln 1-=-1<0，故函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(1，2). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 5.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：当x≤0时，令2x+4-3=0，解得x=-4+log23；当x>0时，令2x2-7x+4-ln x=0，则2x2-7x+4=ln x，在同一平面直角坐标系中分别作出y=2x2-7x+4，y=ln x的大致图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，即函数f(x)有2个零点.综上所述，函数f(x)的零点个数为3.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 6.已知函数 f (x)=恰有2个零点，则 a的取值范围是(　　) A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，2) D.(-∞，2] 解析：当x≥1时，f (x)的零点为1，则x<1必有一个零点，y=2x-a为一次函数，单调递增，故需2-a>0，即a<2.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 7.若函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一零点，则实数a= (　　) A.2 B. C.4 D.1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由f(4-x)=(4-x)2-4(4-x)+a[e2(4-x)-4+e4-2(4-x)]=x2-4x+a(e4-2x+e2x-4) =f(x)，得f(4-x)=f(x)，即函数f(x)的图象关于x=2对称，要使函数f(x) =x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一的零点，则f(2)=0，即4-8+2a=0，得a=2. 8.已知函数f(x)=方程f(x)=k有3个实数解，则k的取值范围是(　　) A.(-4，-3] B.(-4，-3) C.(-3，0) D.(0，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：f(x)的图象如图所示，因为方程f(x)=k有3个实数解，所以y=f(x)与y=k的图象有3个不同的交点，由图可知-4<k≤-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4等于 (　　) A.-12 B.-6 C.-8 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0，∵f(x-4)=-f(x)，∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x)，∴f(x)的周期T=8.又∵f(x)是R上的奇函数，∴由f(x-4)=-f(x)，得f(4-x)=f(x)，∴f(x)关于直线x=2对称.再结合f(x)在区间[0，2]上单调递增， 作出函数大致图象，如图所示. 根据图象，可得x1+x2=-12， x3+x4=4，∴x1+x2+x3+x4=-8， 故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 10.(2025·江油中学段考)函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈[-1，1]时，f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数为(　　) A.14 B.13 C.12 D.11 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 解析：易知函数y=f(x)的定义域为R，因为f(x+1)=f(x-1)，所以f(x)是周期为2的周期函数.易知当x∈(-∞，0)时，g(x)单调递增，且0<g(x)<1；当x∈(0，1]时，g(x)单调递减，且g(x)≥0；当x∈[1，+∞)时，g(x)单调递增，且g(x)≥0.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)，y=g(x)的大致图象，如图所示①. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 由h(x)=0得f(x)=g(x)，即函数h(x)在[-6，6]内的零点个数就是函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内的交点个数.观察图象知，函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内有12个交点②，所以函数h(x)在[-6，6]内有12个零点.故选C. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 ①处，要求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数，也就是求函数f(x)，g(x)的图象在区间[-6，6]内的交点个数，因此，准确作出两个函数的图象是求解本题的关键.准确作图的准备工作：研究函数图象的走势(通过判断单调性、周期性等)、确定函数图象所过的关键点(观察函数解析式确定)等； ②处，函数g(x)是分段函数，作图时一定要注意分界点处图象是实心点还是空心点，这个一旦出错，会影响最终的答案. 13 习得方略 二、多选题 11.已知函数f(x)在区间(0，3)上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是(　　) A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内 B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内 C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内 D.函数f(x)在区间(0，3)上具有单调性 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 √ 13 √ 解析：函数f(x)在区间(0，3)上有且只有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，则在零点两侧函数值异号，由于f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则当f(3)<0时，有f(1)f(2)>0，若f(1)>0，f(2) >0，则f(x)在(2，3)上必有1个零点，而在(0，1)及(1，2)上有无零点及零点个数不能确定，若f(1)<0，f(2)<0，则f(x)在(0，1)上必有1个零点，而在(1，2)及(2，3)上有无零点及零点个数不能确定，因此f(3)> 0，且f(1)f(2)<0，若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，函数f(x)的两个零点分别在(0，1)和(1，2)内，A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 若f(1)>0，f(2)<0，则f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，函数f(x)的两个零点分别在(1，2)和(2，3)内，B正确；显然函数f(x)的两个零点不可能分别在(0，1)和(2，3)内，否则f(1)<0，f(2)<0，f(1)f(2)>0，矛盾，C错误；函数f(x)在(0，3)上不可能具有单调性，否则函数f(x)在(0，3)上最多只有1个零点，矛盾，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 12.下列函数在区间(-1，3)内存在唯一零点的是 (　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=(x+1-2 C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 √ 13 √ √ 解析：∵x2-2x-8=0的解为x1=-2，x2=4，∴f(x)在区间(-1，3)内没有零点，故A错误；∵f(x)=(x+1-2在[-1，+∞)上为增函数，且f(-1)= -2<0，f(3)=8-2=6>0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故B正确；∵f(x)=2x-1-1在R上为增函数，且f(-1)=-<0，f(3)=3>0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2，+∞)上为减函数，且f(-1)=1>0，f(3)=1-ln 5<0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 13.函数f(x)=的零点是　　　　.  解析：由已知可得，当x≥0时，f(x)≥3；当x<0时，由f(x)=x+7=0，得x=-7，故f(x)的零点是-7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 -7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 14.定义开区间(a，b)的长度为b-a.经过估算，函数f(x)=-的零点属于开区间　　　　.（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间） 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 解析：因为y=，y=-都是减函数，所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0，f =-<0，f =->0， 即f ·f <0，所以函数 f(x)在上有零点，且-=. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 15.已知函数 f(x)=若关于x的方程 f(x)=a恰有三个实数根，则a的取值范围为　　　　.  13 (0，1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 解析：关于x的方程 f(x)=a恰有三个实数根等价于函数 y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3，y=f(x)的图象如图所示. 由图可知当0<a≤1时，两函数图象有3个交点，所以a的取值范围为(0，1]. 13 $$