第2章 第十节 函数的图象（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第十节 函数的图象 明确目标 1.会画简单的函数图象，理解函数图象的作用. 2.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，具体步骤如下： (1)确定函数的_________； (2)化简_____________； (3)讨论函数的_____ (奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 定义域 函数解析式 性质 2.利用图象变换法作函数图象 平移变换 y=f(x)的图象 y=f(x+a)的图象 y=f(x)的图象 y=f(x-a)的图象 y=f(x)的图象 y=f(x)+h的图象 y=f(x)的图象 y=f(x)-h的图象 续表 对称变换 y=f(x)的图象 y=-f(x)的图象 y=f(x)的图象 y=f(-x)的图象 y=f(x)的图象 y=f(x)的反函数的图象 y=f(x)的图象 y=-f(-x)的图象 续表 翻折变换 y=f (x)的图象 y=| f(x)|的图象 y=f (x)的图象 y=f (|x|)的图象 伸缩变换 y=f (x)的图象 y=f (ax)的图象 y=f (x)的图象 y=Af (x)的图象 解题结论拓展 (1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y=f(-2x)的图象到y=f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度，即将x变成x- ，这与三角函数中的图象变换是一致的.如把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y=sin的图象. (2)“上加下减”只针对函数值f(x). 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　) (2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(　　) (3)当x∈(0，+∞)时，函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.(　　) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(　　) × √ × √ 2.(北师大必修①P56例3改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是 (　　) A.y=f (|x|) B.y=| f(x)| C.y=f (-|x|) D.y=-f (-|x|) √ 解析：题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧部分翻折到y轴右侧，y轴左侧部分不变得来的，∴题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|). 3.(人A必修①P82“探究”改编)函数f(x)=的图象关于(　　) A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 解析：函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. √ 4.(苏教必修①P111T3改编)若函数f(x)=的图象如图所示，则f(-3)=　　　.  -1 解析：由f(-1)=ln(-1+a)=0，得a=2.又直线y=ax+b过点(-1，3)，所以2×(-1)+b=3，得b=5.故当x<-1时，f(x)=2x+5，则f(-3)=2× (-3)+5=-1. 课堂·题点精研 02 [例1]　作出下列函数的图象： (1)y=； 解：先作出y=的图象，保留图象中x≥0 的部分，再作出y=的图象中x>0的部分关于y 轴的对称部分，即得y=的图象，如图①实线部分. 题点一　作函数的图象 (2)y=|log2(x+1)|； 解：将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图②. (3)y=x2-2|x|-1； 解：因为y=且函数为偶函数，所以先用描点法作出[0，+∞)上的图象，再根据对称性作出(-∞，0)上的图象，如图③. (4)y=. 解：原函数解析式可化为y=2+，故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图④. 函数图象的画法 思维建模 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 图象 变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形.应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 1.作出下列函数的图象： (1)y=2x+1-1； 解：将y=2x的图象向左平移1个单位长度， 得到y=2x+1的图象，再将所得图象向下平 移1个单位长度，得到y=2x+1-1的图象， 如图①所示. 即时训练 (2)y=|lg(x-1)|. 解：首先作出y=lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y=lg(x-1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象，如图②所示(实线部分). [例2]　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为 (　　) 题点二　函数图象的辨识 √ 解析：由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(-x)=-(-x)2 +(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0，排除D.故选B. 辨别函数图象的几个关键点 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 思维建模 2.如图所对应的函数的解析式可能是 (　　) A.f(x)=(x-1)ln|x| B.f(x)=xln|x| C.f(x)=(x-1)ln x D.f(x)=(x-1)ex(x≠0) 即时训练 √ 解析：由题图可知，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，而C中函数的定义域为(0，+∞)，故排除C；对于B，由f(x)=xln|x|，f(-x)= -xln|x|，所以f(-x)=-f(x)，即函数为奇函数，排除B；对于D，当0<x<1时，x-1<0，ex>0，所以f(x)=(x-1)ex<0，排除D. 3.已知函数f(x)=则下列图象错误的是(　　) √ 解析：法一　当-1≤x≤0时，f(x)=-2x，表示 一条线段，且线段经过(-1，2)和(0，0)两点.当0<x ≤1时，f(x)=，表示一段曲线，函数f(x)的图象 如图所示.f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个 单位长度得到，故A正确；f(-x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0，2]，故f(x)=| f(x)|，故| f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确. 法二　因为f(1)=1，所以f(|1|)=f(1)=1，所以y=f(| x|)的图象过点(1，1)，但D中的图象不过(1，1)，故D错误. 考法(一)　研究函数的性质 [例3]　(多选)已知函数f(x)=f(-x)，且f(x)的对称中心为(1，0)，当x∈[2，3]时，f(x)=3-x，则下列选项正确的是(　　) A.f(x)的最小值是-1 B.f(x)在(-3，-2)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=-2对称 D.f(x)在(3，4)上的函数值大于0 √ 题点三　函数图象的应用 √ 解析：根据f(x)=f(-x)可得f(x)为偶函数，由f(x)的对称中心为(1，0)，可知f(x)的图象关于(1，0)对称，结合当x∈[2，3]时，f(x)=3-x，可画出f(x)的部分图象如图所示. 由图象可知f(x)的最小值是-1，f(x)在(-3，-2)上单调递增，f(x)的图象关于直线x=-2对称，f(x)在(3，4)上的函数值小于0，故A、C正确，B、D错误.故选AC. 考法(二)　解不等式 [例4]　(苏教必修①P74T12改编)如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象，则不等式f(x)·g(x)<0的解集为(　　) A.(-∞，-1)∪(-1，0) B.(-∞，-1)∪(0，1) C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞) √ 解析：由题意及题图，知当f(x)>0时，x∈(-1，0)∪(1，+∞)，此时需满足g(x)<0，即x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，故x∈(1，+∞)；当f(x)<0时，x∈(-∞，-1)∪(0，1)，此时需满足g(x)>0，即x∈(-1，1)，故x∈(0，1).综上所述，x∈(0，1)∪(1，+∞).故选D. (1)从图象的最高点、最低点分析最值、极值. (2)从图象的对称性分析奇偶性. (3)从图象的走向趋势分析单调性、周期性. (4)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式转化为两函数图象的位置关系或函数图象与坐标轴的位置关系，利用数形结合求解. 思维建模 考法(三)　求参数的取值范围 [例5]　已知函数f(x)=若函数y=f(x)的图象与直线y=-x+a有两个不同的交点，则实数a的取值范围是　　　　.  解析：分别作出函数y=f(x)与y=-x+a的大致图象， 如图所示.数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象 有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(-∞，1]. (-∞，1] 求解函数图象应用问题的思维流程 思维建模 4.把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，+∞)上单调递增，则a的最大值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 即时训练 √ 解析：把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象，则函数g(x)在(a-2，+∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，+∞)上单调递增，所以a-2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2. 5.已知函数f(x)=则不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为(　　) A.(-∞，-1) B. C. D.(-∞，-1)∪ √ 解析：作出函数y=f(x)的图象，如图所示.由图象可知，y=f(x)在R上单调递减，由f(2a2-1)>f(3a+4)，可得2a2-1<3a+4，解得-1 <a<，所以不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为. 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.要得到函数y=22x-1的图象，只需将指数函数y=4x的图象(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：因为y=4x=22x，22x-1=，所以为了得到函数y=22x-1的图象，只需将指数函数y=4x的图象向右平移个单位长度，故选D. 2.下列函数中，其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称，令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B. 3.若函数y=f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数可能是 (　　) A.y=f(1-2x) B.y=f C.y=-f(1-2x) D.y=-f √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由y=f(x)的定义域为(-1，+∞)知，y=f中1-x> -1，x<4，不符合题图2，故排除B、D；当x=时，y=-f(0)>0，不满足题图2，故C错误；将函数y=f(x)的图象关于y轴作对称图形，得到y=f(-x)的图象，再向右平移1个单位长度得到y=f(1-x)的图象，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数y=f(1-2x)的图象可能为题图2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=g(x)=ex·f(x)的图象大致为 (　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由g(x)=ex·f(x)，得f(x)与g(x)的零点相同，所以可排除C；因为当x→+∞时，f(x)→-∞，ex→+∞，所以g(x)=ex·f(x)→-∞，排除B和D，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 5.函数f(x)=的大致图象是(　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析：易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}.因为f(-x)==-，所以函数f(x)为非奇非偶函数，排除A；易知当x>1时，f(x)>0，排除C；因为f=，f=，所以f<f，排除D.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 观察B、D，发现它们的主要区别是当x∈(-1，0)∪(0，1)时，f(x)的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 反思领悟 6.若关于x的不等式4x-logax≤在x∈上恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由题意知关于x的不等式4x- ≤logax在x∈上恒成立，所以当x∈时，函数y=4x-的图象不在 y=logax的图象的上方，在同一平面直角坐标 系中作出y=4x- 与y=logax的大致图象，如图所 示.由图可知解得≤a<1.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 7.已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x 交点的横坐标分别为a，b，则a+b= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 快审准解：作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x的图象，利用反函数的性质即可判断. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x的图象，如图所示，设函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点分别为A，B，则其横坐标分别为a，b，由题意知A(a，ea)，B(b，ln b)，也即A(a，2-a)，B(b，2-b)，由于函数y=ex和y=ln x 互为反函数，二者图象关于直线y=x对 称，而A，B为y=ex和y=ln x的图象与直 线y=2-x的交点，故A，B关于y=x对称， 故a=2-b，∴a+b=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 二、多选题 8.(2025·合肥一模)函数f(x)=x3-(m∈R)的图象可能是(　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ √ 解析：由题意可知，函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 当m>0时，f'(x)=3x2+>0，函数f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故B正确； 当m=0时，f(x)=x3，f'(x)=3x2>0，所以f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故D正确； 当m<0时，若x>0时，则f(x)=x3->0；若x<0时，则f(x)=x3-<0，故A正确，C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 9.定义min{a，b}=设 f(x)=min{(x-1)2，x+1}，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)有最大值，无最小值 B.当x≤0时，f(x)的最大值为1 C.不等式f(x)≤1的解集为(-∞，2] D.f(x)的单调递减区间为(0，1) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ √ 解析：由题意得f(x)=作出函数f(x)的图象，如图所示，根据图象，可得f(x)无最大值，无最小值，所以A错误；根据图象得，当x≤0时，f(x)的最大值为1，所以B正确；由f(x)≤1，得(x-1)2≤1，解得0≤x≤2， 结合图象，得不等式 f(x)≤1的解集为(-∞， 2]，所以C正确；由图象得，f(x)的单调 递减区间为(0，1)，所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 三、填空题 10.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数_________的图象.  解析：y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(-x)中的x变成x-1，即得到y=f(-x+1)的图象. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 y=f(-x+1) 11.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a的取值范围是　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (0，+∞) 解析：由题意得a=|x|+x，令y=|x|+x=其图象如图所示，故要使a=|x|+x只有一个解，则a>0. 四、解答题 12.(10分)已知函数 f(x)=|x|(x-a)，a>0. (1)作出函数 f (x)的图象；(5分) 解： f(x)= 其图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)写出函数 f (x)的单调区间；(2分) 解：由图知，f (x)的单调递增区间是(-∞，0)，；单调递减区间是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (3)当x∈[0，1]时，由图象写出 f (x)的最小值.(3分) 解：由图象知，当>1，即a>2时，f(x)min=f(1)=1-a；当0<≤1，即0<a≤2时，f(x)min=f= - .综上，f(x)min= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 13.(10分)已知函数 f (x)=2x-ax+1(a∈R). (1)若a∈Z，且 f (4)>0，求a的最大值；(3分) 解：因为函数 f(x)=2x-ax+1(a∈R)， 所以f(4)=24-4a+1>0，即a<， 又a∈Z，所以a的最大值为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)当a=3时，求函数 f(x)的零点；(3分) 解：当a=3时，f(x)=2x-3x+1，由f(x)=2x-3x+1=0， 可得2x=3x-1. 作出函数 y=2x与y=3x-1的图象，如图1所示. 由图可知 y=2x与y=3x-1的图象有两个交点， 即函数 f(x)有两个零点.又因为f(1)=2-3+1=0， f(3)=23-3×3+1=0，故函数 f(x)的零点为1，3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (3)若对任意x∈(-∞，1)都有f ( x)>0，求a的取值范围.(4分) 解：因为对任意x∈(-∞，1)都有f(x)>0，所以2x>ax-1在(-∞，1)上恒成立，即当x∈(-∞，1)时，函数y=2x的图象恒在直线y=ax-1的上方， 作出函数 y=2x，x∈(-∞，1)与y=ax-1 的大致图象，如图2所示. 则a≥0，且a-1≤2，所以0≤a≤3， 即a的取值范围为[0，3].   1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 $$