第2章 第七节 指数与对数的运算（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第七节 指数与对数的运算 明确目标 1.通过对有理数指数幂(a>0，m，n为正整数，且n>1)、实数指数幂ax(a>0，x∈R)含义的理解，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念与运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.根式 (1)概念 式子叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 根式 (2)性质 ①______没有偶次方根； ②0的任何次方根都是0，记作=___； ③()n=a(n∈N*，且n>1)； ④ =a(n为大于1的奇数)； ⑤ =|a|=(n为大于1的偶数). 负数 0 −𝒂 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂：= ______(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)负分数指数幂：=______=______(a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 (1)aras=_____ (a>0，r，s∈R). (2)(ar)s=_____ (a>0，r，s∈R). (3)(ab)r=_____ (a>0，b>0，r∈R). ar+s ars arbr 4.对数的概念 定义 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中__ 叫做对数的底数，___叫做真数 性质 loga1=___，logaa=___，logaax=___，其中a>0，且a≠1；负数和0没有对数 x=logaN a N 0 1 x 5.对数的运算 运算 性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 loga(MN)=_____________； loga=____________； logaMn=________ (n∈R) 换底 公式 logab=______(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 解题结论拓展 1.换底公式的变形 (1)logab·logba=1，即logab=(a，b均大于0且不等于1)； (2)lobn=logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM==(a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd=logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3.对数恒等式 =N(a>0且a≠1，N>0). 典题细发掘 1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是 (　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 √ 解析：对于A，2-π<0，所以=π-2，错误； 对于B，因为->0，所以a<0， 则a=-(-a)·=-，错误；对于C，==，正确；对于D， (=x9-2=x7，错误. 2.(人A必修①P127T5改编)设lg 2=a，lg 3=b，则log1210= (　　) A. B. C.2a+b D.2b+a 解析：log1210===. √ 3.(人A必修①P127T6改编)若xlog34=1，则4x+4-x= (　　) A.1 B.2 C. D. 快审准解：条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可. 解析：∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3， ∴4x+4-x=3+=.故选D. √ 4.(苏教必修①P86T8改编)已知+=3，则a+a-1=__；a2+a-2=___.  解析：由+=3，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7，则a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47. 7　 47 课堂·题点精研 02 [例1] (1)计算： -+0.2； 解： -+0.2=-4-1+=-. (2)化简：4÷(a，b>0)； 解：4÷=-6=-6ab. 题点一　指数幂的运算 (3)已知-=2，求的值. 解：由-=2，得x+x-1=+2=6，x2+x-2=(x+x-1)2-2=34， 所以==. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，形式力求统一. 思维建模 1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的有 (　　) A.=a B.若a∈R，则(a2-a+1)0=1 C.=+y D.= 即时训练 √ √ 解析：当n为偶数时， =|a|，故=a不一定成立，故A错误； a2-a+1=+≠0，故(a2-a+1)0=1，故B正确； 当x=y=1时，左边为，右边为2，显然不成立，故C错误；==，故D正确.故选BD. 2.计算： -+=____.  解析：由题意得-+=[(-2)4-+=|-2|-+=2--+=-. - [例2] (1)计算：lg-lg+lg； 解：原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7- 2lg 2+lg 7+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=. 题点二　对数的运算 (2)已知log23=a，log37=b，试用a，b表示log1456. 解：因为log27=log23·log37=ab， 所以log1456=log1414+log144=1+=1+=1+=. 对数式化简与求值的策略 思维建模 策略一 将真数化为底数的指数幂的形式 策略二 将同底对数的和、差、倍合并 策略三 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 策略四 利用常用对数中的lg 2+lg 5=1 3.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.已知2a=5，log83=b，则4a-3b= B.2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2的值为1 C.+lo=0 D.若2m=3n=k且+=2，则k=6 即时训练 √ √ √ 解析：因为2a=5，则a=log25，且b=log83=log23，所以a-3b=log25-log23=log2， 则4a-3b=22(a-3b)===，故A正确； 2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2=(2lg 2+lg 5)(lg 2+lg 5)-lg 2= 2lg 2+lg 5-lg 2=lg 2+lg 5=1，故B正确； 原式=+lo()-1=1-1=0，故C正确； 因为2m=3n=k，则m=log2k，n=log3k，则=logk2，=logk3，所以+=logk2+logk3=logk6=2，所以k=，故D错误.故选ABC. 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=____.  解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-.设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)，所以loga2=，所以=2，解得a=64. 64 5.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=___.  解析：由f(ln 2)f(ln 4)=8，得aln 2·aln 4=8，即aln 2+ln 4=a3ln 2=8，也即(aln 2)3=23，∵a>0且a≠1，∴aln 2=2，两边取对数得ln 2·ln a=ln 2，解得a=e. e [例3]　假设某水果店销售的大荔冬枣的单价y(单位：元/斤)与单果的直径x(单位： mm)满足关系式y=eax+b.当单果的直径为16 mm时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为40 mm时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为24 mm时，大荔冬枣的单价约为(参考数据：≈2.08，≈1.44) (　　) A.11.5元/斤 B.12.5元/斤 C.10元/斤 D.14元/斤 √ 题点三　指数与对数运算的实际应用 解析：根据题意有当单果的直径为16 mm时，大荔冬枣的单价为8元/斤； 当单果的直径为40 mm时，大荔冬枣的单价为24元/斤，所以8=e16a+b，24=e40a+b，两式相除可得e24a=3，所以ea=，所以8=eb=eb，解得eb=，当单果的直径为24 mm时，大荔冬枣的单价为e24a+b=eb=3×=8×≈8×1.44≈11.5(元/斤). 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意，弄清楚题目条件与所求之间的关系； (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 思维建模 6.(2025·济南模拟)[多选]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y (单位： ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是 (　　) 即时训练 A.a=128 B.R=ln 2 C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后，人可以安全进入车库 快审准解：由题意列式，求出a=128，R=-ln 2，即可判断A，B；可得函数解析式，将t=12代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D. √ √ √ 解析：设f(t)=aeRt，代入(4，64)，(8，32)，得 解得a=128，R=-ln 2，A正确，B错误. 此时f(t)=128(eR)t=27·()t=，所以f(12)=24=16(ppm)，C正确.当f(t)≤0.5时，≤0.5=2-1，得7-≤-1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.故选ACD. 数智赋能：电子版随堂训练(指、对换算的应用)， 根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.(2025·肇庆一模)log318-log32=(　　) A.4 B.2log32 C.log32 D.2 解析：log318-log32=log39=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若a≥0，b∈R，则化简++的结果是 (　　) A.3+a+b B.3+a+|b| C.2+a+b D.2+a+|b| 解析：由=3，()2=a，=|b|可知，++= 3+a+|b|. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 3.若a，b是正整数，且满足=，则a与b的关系正确的是 (　　) A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：由题意知，正整数a，b，且满足=，可得8×2a=，即23×2a=28b，所以3+a=8b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 4.若·t=6×，则t= (　　) A.60 B.45 C.30 D.15 解析：因为·t=6×，所以t== ==3×=3×= 30.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 5.若log2m+log4n=2，则m2n= (　　) A.3 B.4 C.9 D.16 解析：因为log2m+log4n=2，所以log2m+log2n=2，故得log2m+ log2=log24，化简得log2(m)=log24，所以m=4，故m2n=16，故D正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 6.(2024·南平二模)对任意非零实数α，当|x|充分小时，(1+x)α≈1+α·x，如==2≈2×=2.25，用这个方法计算的近似值为(　　) A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.919 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：===2=2×= 2×≈2×≈1.917. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 7.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，则质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516) (　　) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.67M0 D.0.66M0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：由题意，锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为50天，即M0=M0·，则H=50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 二、多选题 8.已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是(　　) A.(2a)2=2b B.a·eln a=b C.b=2a D.log2a=log8ab 快审准解：根据2log3+log3b=0可推出b=a2，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 解析：由2log3+log3b=0，得a>0，b>0，且log3a-2+log3b=0， 即log3a-2b=0，∴a-2b=1，b=a2，而此时b=2a不总是成立，故C错误； 由于(2a)2=2b，即22a=2b，∴b=2a，结合以上分析可知A错误； 由于a·eln a=b，即为a·a=a2=b，故B正确； 又log8ab=log8a3=loa3=log2a，故D正确，故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 9.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为A=lg ，下表为不同玻璃材料的透光率： 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1，A2，A3，则下列结论正确的是 (　　) A.A1>A2 B.A2>3A3 C.A1+A3>2A2 D.A2+A3>A1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 T 0.7 0.8 0.9 √ 解析：由换算公式和题表可知，A1=lg =lg ，A2=lg =lg ，A3=lg =lg ，又因为函数y=lg x在(0，+∞)上单调递增， 所以对于A，A1=lg >lg =A2，说法正确；对于B，3A3=3lg =lg =lg >lg =A2，说法错误；对于C，A1+A3=lg +lg =lg ，2A2=2lg =lg =lg ，A1+A3>2A2，说法正确； 对于D，A2+A3=lg +lg =lg <lg =A1，说法错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 10.已知2a=5b=10，则下列关系正确的是 (　　) A.ea-b>1 B.a+b<ab C.a+4b<9 D.+>8 快审准解：利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 √ 13 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 解析：因为2a=5b=10， 所以a=log210=，b=log510=， a-b=-=>0，所以ea-b>e0=1，故A正确； a+b-ab=+-·===0， 所以a+b=ab，故B不正确； 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 因为a>0，b>0，+=lg 2+lg 5=1， 所以a+4b=(a+4b)=++5≥2+5=9，而a≠2b，故上述不等式等号不成立，则a+4b>9，故C不正确； +=(lg 2+1)2+(lg 5+2)2=(lg 2+1)2+(1- lg 2+2)2=2(lg 2)2-4lg 2+10=2(lg 2-1)2+8>8，故D正确. 13 11.(2025·永州一模)苏格兰数学家纳·皮尔在研究天文的过程中，找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件.他的朋友布里格斯构造了以10为底的常用对数lg x，并出版了常用对数表.瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”.根据给出的参考数据和指对数之间的关系，判断下面的结论正确的是 (　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 A.410在区间(106，107)内 B.250是15位数 C.若3-20=k×10m(1≤k< 10，m∈Z)，则m=-9 D.若m100 (m∈N*)是一个70位正整数，则m=5 参考数据： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 x 2 3 5 7 11 13 17 19 lg x (近似值) 0.301 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 1.230 1.279 √ √ 解析：因为410=220①，所以lg 410=lg 220=20lg 2≈ 20×0.301=6.02，所以410∈(106，107)，故A正确； 因为lg 250=50lg 2≈50×0.301=15.05②，  所以250∈(1015，1016)，即250是16位数，故B错误； 因为lg 3-20=-20lg 3≈-20×0.477=-9.54，所以3-20≈10-9.54= 100.46×10-10，所以m=-10，故C错误； 因为lg m100=100lg m，所以69≤100lg m<70③，  所以0.69≤lg m<0.7，所以m=5，故D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 ①处，由于附有对数的参考数据表，故只需对此等式两边取对数. ②处，要判断250的位数，只需求出lg 250的近似值. ③处，根据“m100(m∈N*)是一个70位正整数”，得m所需要满足的不等式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 习得方略 三、填空题 12.(2024·北京丰台二模)已知函数f(x)=2x，g(x)=log2(x+1)，那么f(g(0))=____.  解析：易知g(0)=log2(0+1)=0，故f(g(0))=f(0)=20=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 1 13.(2025·太原模拟)-log37·log79+log153+log155的值为___.  解析：-log37·log79+log153+log155 =-·+log15(3×5) =32-·+log1515=9-2+1=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 14.(2025·广州模拟)若xy=3，则x+y=________.  解析：当x>0，y>0时，x+y=+=2， 当x<0，y<0时，x+y=-+-=-2. 13 ±2 $$