第2章 第九节 对数函数（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第九节 对数函数 明确目标 1.了解对数函数的实际意义，会画对数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题. 2.理解对数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.对数函数的定义 一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是_________. y=logax(a>0，且a≠1) (0，+∞) 2.对数函数的图象与性质   0<a<1 a>1 图象 定义域 _________ 值域 R (0，+∞) 续表 性质 过定点________，即x=1时，y=0 当x>1时，_____； 当0<x<1时，_____ 当x>1时，_____； 当0<x<1时，_____ 在(0，+∞)上是_________ 在(0，+∞)上是_______ (1，0) y<0 y>0 y>0 y<0 减函数 增函数 3.反函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线_______对称. y=x [微点提醒] (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象 且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象. (2)底数a与1的大小关系决定了对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性，因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论. (3)在同一平面直角坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)(对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ) 典题细发掘 1.(湘教必修①P126T17(1))下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　) A.y=x B.y=lg x 　 C.y=2x D.y= 解析：函数y=10lg x的定义域和值域都为(0，+∞)，只有D符合题意. √ 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8，b=log0.80.9，c=1.41.9，则 (　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 解析：因为a=log0.90.8>log0.90.81=2，b=log0.80.9<log0.80.8=1，所以a>2>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2，故1<c<2.故选D. √ 3.(人B必修②P27例2改编)已知log0.72m<log0.7(m-1)，则实数m的取值范围是　 　　　.  解析：∵log0.72m<log0.7(m-1)，∴解得m>1. (易错提醒：忽略对数函数的定义域) (1，+∞) 4.(人A必修①P140T1改编)函数y=的定义域为　　　　.  解析：要使函数有意义， 则需满足解得<x≤1. 课堂·题点精研 02 [例1] (1)已知函数f(x)=|log3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a+b的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 √ 题点一　对数函数的图象及应用 解析：根据题意画出f(x)=|log3x|的图象如图所示， 易知|log3a|=|log3b|=m，又b>a>0，可知b>1>a>0， 所以-log3a=log3b，即log3a+log3b=0，所以ab=1，所以4a+b=+b≥2=4， 当且仅当b=2时，等号成立， 即4a+b的最小值为4. (2)对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是　　　　　　　.  解析：当a>1时，对数函数y=logax的图象是上升的；当0<a<1时，对数函数y=logax的图象是下降的.对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向，故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是. 价值发掘：同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分越远离y轴的对数函数的底数越大. (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于一些对数型方程、不等式问题，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合求解. 思维建模 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1) 的图象如图所示，则a，b满足的关系是 (　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析：由题图可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由题图可知-1<logab<0，解得<b<1.综上，0<a-1<b<1. 即时训练 √ 2.若方程4x=logax在上有解，则实数a的取值范围为_______.  解析：若方程4x=logax在上有解，则函数y=4x和函数y=logax的图象在上有交点， 由图象知解得0<a≤. 考法(一)　比较大小 [例2]　已知a=log36，b=log510，c=log714，则(　　) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b √ 题点二　对数函数的性质及应用 解析：因为a=log36=1+log32=1+， b=log510=1+log52=1+， c=log714=1+log72=1+， 且log27>log25>log23>0.所以a>b>c. 比较对数函数值大小的方法 (1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底. (2)中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法：根据图象观察得出大小关系. 思维建模 考法(二)　解不等式 [例3]　已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是　　　　.  解析：原不等式⇔① 或② 解不等式组①得<x<，不等式组②无解，所以实数x的取值范围是. 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 思维建模 考法(三)　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1，求f(x)的单调区间； 快审准解：先根据f(1)=1，求出a，再由复合函数的单调性求单调区间. 解：因为f(1)=1，所以log4(a+5)=1，因此a+5=4，解得a=-1. 所以f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0，得-1<x<3，即函数f(x)的定义域为(-1，3). 令g(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，x∈(-1，3)， 则g(x)在(-1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减. 又y=log4x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(-1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，求a的值. 快审准解： f(x)的最小值为0，转化为y=ax2+2x+3的最小值为1，结合二次函数的图象与性质求解. 解：若f(x)的最小值为0，则y=ax2+2x+3有最小值，且最小值为1，因此有 解得a=.故a的值为. 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 思维建模 3.(2025·泰安模拟)已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b 即时训练 √ 解析：因为y=log0.2x在(0，+∞)上单调递减，所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2，即0<a<1.因为y=ln x在(0，+∞)上单调递增，所以ln a<ln 1，即b<0.因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1.综上，c>a>b. 4.已知对数函数y=logax(a>0，且a≠1)，且loga<loga，则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　　　　　.  解析：因为loga<loga，当0<a<1时，则有>，无解；当a>1时，则有<，解得a>1，所以a>1，则对数函数y=logax(a>0，且a≠1)在(0，+∞)上单调递增.又关于x的不等式loga(2x-3)>0，所以2x-3>1，解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2，+∞). (2，+∞) 5.已知函数f(x)=loga(2-a2x)在区间[3，7]上单调递增，则a的取值范围为　　　　　.  解析：令u(x)=2-a2x(a>0)，则u(x)=2-a2x(a>0)在[3，7]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知y=logau在[3，7]上单调递减，则解得0<a<，即a的取值范围为. 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0，且a≠1)恒过定点(m，n)，则m+n=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：令2x-3=1，解得x=2，此时f(2)=1+loga1=1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m=2，n=1，所以m+n=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知a=log23，b=log46，c=log49，则 (　　) A.a=b<c B.a<b<c C.a=c>b D.a>c>b 解析：因为a=log23=lo32=log49=c，又y=log4x在(0，+∞)上单调递增，6<9，所以log46<log49，所以a=c>b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 3.(2024·深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 快审准解：由函数y=loga过点(0，-1)，分类可解. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：当x=0时，y=loga=-1，则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限，如图①； 当a>1时，函数图象过第一、三、四象限，如图②. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 4.(2025·南通模拟)已知函数 f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0) B.[-1，0) C.(-1，0) D.[-1，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：令t=ax+2，y=ln t，因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，且y=ln t在定义域内单调递增，所以解得-1≤a<0，故选B. 5.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|，则不等式f(x)>0的解集是 (　　) A.(-1，1) B.(0，1) C.(-1，0) D. ∅ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|，分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象如图所示.由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|的图象有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)>0的解集是(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 6.(2024·南昌三模)若=log2a，=b2，=2-c，则正数a，b，c的大小关系是(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由=log2a，知a为y=与y=log2x交点的横坐标，由=b2，知b为y=与y=x2交点的横坐标，由=2-c，即=，知c为y=与y=交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中作出y=， y=log2x，y=x2，y=的图象如图所示.由图可知，c<b<a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 二、多选题 7.关于函数f(x)=ln(ex+e-x-2)，以下说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在区间(0，+∞)单调递增 D.f(x)在区间(0，+∞)单调递减 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析：由e-x>0，ex>0，得e-x+ex≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵f(-x)=ln(e-x+ex-2)=f(x)，∴f(x)为偶函数，故A错误，B正确；当x>0时，函数t=ex>1且单调递增，函数u=t+-2>0且单调递增，函数y=ln u单调递增，∴函数f(x)在(0，+∞)单调递增，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 8.(2025·重庆模拟)若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是 (　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析：∵0<a<1，幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，且b>c>1，∴ba>ca，故A错误；∵0<a<1，∴函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴logab<logac<loga1=0，∴0>>，即0>logba> logca，故B正确；∵0<a<1，则a-1<0，∵幂函数y=xa-1在(0，+∞)上单调递减，且b>c>1，∴ba-1<ca-1，∴cba<bca，故C正确；由B可知，0>logba>logca，∴0<-logba<-logca，∵b>c>1，∴c(-logba)<b(-logca)，∴blogca<clogba，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 9.已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)，则 (　　) A.f(x)在(2，6)上单调递减 B.f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2 C.f(x)在(2，6)上无最小值 D.f(x)的图象关于直线x=4对称 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ √ 解析：由f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)]，得解得2<x<6，所以函数f(x)的定义域为(2，6).令t=(x-2)(6-x)，则y=ln t，二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12的图象开口向下，其对称轴为直线x=4，所以t=(x-2)(6-x)在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，所以t=(x-2) (6-x)∈(0，4]，又函数y=ln t在t∈(0，4]上单调递增；由复合函数的单调性，可得f(x)在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，故A错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 当t∈(0，4]时，y=ln t∈(-∞，2ln 2]，即f(x)∈(-∞，2ln 2]，所以f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2，无最小值，故B、C正确；因为f(4-x)=ln(4-x-2)+ln(6-4+x)=ln(2-x)+ln(2+x)，f(4+x)=ln(4+x-2)+ ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x)，即f(4-x)=f(4+x)，所以f(x)的图象关于直线x=4对称，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 三、填空题 10.不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集为　　　　.  解析：由对数函数的性质可得解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)]，且y=lo x为减函数，∴解得2<x<3，所以不等式的解集为(2，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2，3) 11.函数f(x)=log2·log4(4x2)的最小值为　　　.  解析：函数定义域是(0，+∞)，log2x∈R，f(x)=log2·log4(4x2)=(log2x-2)(1+log4x2)=(log2x-2)(1+log2x)=(log2x)2-log2x-2=- ，所以当x=时，f(x)min=- . 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 - 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(x-2). (1)求f(x)的定义域；(3分) 解：由解得x>2， 所以f(x)的定义域为(2，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)求关于x的不等式 f(x)≥ln(3x)的解集.(7分) 解：由f(x)=ln(x+2)+ln(x-2)=ln(x2-4)，x∈(2，+∞)，得不等式f(x)≥ln(3x)可化为ln(x2-4)≥ln(3x). 因为y=ln x是增函数，所以 解得故x≥4.故不等式f(x)≥ln(3x)的解集为{x|x≥4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 13.(10分)已知函数f(x)=log2[4x+(a+2)2x+a+1]. (1)若a=0，求满足2<f(x)<4的x的取值范围；(4分) 解：当a=0时，f(x)=log2(4x+2·2x+1)=2log2(2x+1).易知f(x)的定义域为R. 由不等式2<f(x)<4，得1<log2(2x+1)<2，即2<2x+1<4，解得0<x<log23， 所以不等式2<f(x)<4的解集为(0，log23). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)若对任意x≥1，f(x)≥x恒成立，求a的取值范围.(6分) 解：由不等式f(x)≥x，得log2[4x+(a+2)2x+a+1]≥log2(2x)， 等价于4x+(a+2)2x+a+1≥2x对任意x∈[1，+∞)恒成立. 设t=2x≥2，则t2+(a+1)t+a+1≥0对任意t≥2恒成立， 设g(t)=t2+(a+1)t+a+1，当- ≤2，即a≥-5时，g(2)=4+2(a+1)+a+1≥0，解得a≥- ；当- >2，即a<-5时，Δ=(a+1)2-4(a+1)≤0，无解.综上，a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 $$