第1章 第五节 二次函数与一元二次方程、不等式（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第五节 二次函数与一元二次方程、不等式 明确目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 续表 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等 实根x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 _______________ _____________ ____ ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 _____________ _____ _____ {x|x>x2，或x<x1} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ R 2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)·(x-b)>0 {x|x<a或x>b} _________ _______________ (x-a)·(x-b)<0 {x|a<x<b} ____ ____________ {x|x≠a} {x|x<b，或x>a} ∅ {x|b<x<a} 3.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　) (3)若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　) (4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　) × √ × × 2.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5或x>2} √ 3.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A.{x|x<-n或x>m} 　B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} 　D.{x|-m<x<n} 解析：不等式变形为(x-m)(x+n)<0，方程(x-m)(x+n)=0的两根为m，-n，显然由m+n>0得m>-n，所以不等式的解集为{x|-n<x<m}. √ 4.(人A必修①P50“思考”：一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)若二次函数y=ax2+bx+2，使函数值大于0的x的取值范围是，则a+b=_____.  解析：依题意知解得故a+b=-14. -14 5.(湘教必修①P57例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是__.  解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x-14-≥0.又1≤x≤10，所以5x2-14x-3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 3 课堂·题点精研 02 [例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 √ 题点一　不含参数的一元二次不等式的解法 √ √ 解析：因为方程x2+x-2=0的解为x1=1，x2=-2，所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}，故A正确；因为-1=≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3 ≤x<2}，故B正确；由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；由|x-1|<1，可得-1<x-1<1，解得0<x<2，由<0，可得-4<x<5，因此，“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确. 解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.当分式右侧不为0时，可通过移项、通分、合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 习得方略 解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用"大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 思维建模 1.已知集合A={x|1<2x-1<}，B={x|y=}，则A∪B=(　　) A.{x|1≤x≤2} B. C. D. 解析：因为A==，B={x|-x2+3x-2≥0}={x|1≤x≤2}，所以A∪B={x|1≤x≤2}. 即时训练 √ 2.(2024·上海高考)不等式x2-2x-3<0的解集为____________.  解析：方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3，故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1<x<3}. {x|-1<x<3} [例2]　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). 解：原不等式变为(ax-1)(x-1)<0. (易错提醒：二次项系数为参数时，不要忽略参数为0的情况) 当a>0时，原不等式可化为(x-1)<0， 所以当a>1时，解得<x<1；当a=1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 题点二　含参数的一元二次不等式的解法 当a=0时，原不等式等价于-x+1<0，解得x>1. 当a<0时，<1，原不等式可化为(x-1)>0，解得x>1或x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为， 当a=1时，不等式的解集为∅， 当a>1时，不等式的解集为， 当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}， 当a<0时，不等式的解集为. 含参数的不等式分类讨论的关键点 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 思维建模 3.解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R). 解：原不等式可化为(x-a)(x+2)>0(a∈R). 当a=-2时，不等式的解集为(-∞，-2)∪(-2，+∞)； 当a>-2时，不等式的解集为(-∞，-2)∪(a，+∞)； 当a<-2时，不等式的解集为(-∞，a)∪(-2，+∞). 即时训练 [例3]　(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-4或x≥5}，则下列说法正确的是 (　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-5} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 √ 题点三　三个“二次”之间的关系 √ 解析：由题意得，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，即a>0，故A正确；因为-4，5是方程ax2+bx+c=0的根，所以解得所以bx+c>0，即-ax-20a>0，解得x<-20，故B错误；不等式cx2-bx+a<0等价于-20ax2+ax+a<0，即20x2-x-1>0，即(5x+1)· (4x-1)>0，解得x<-或x>，故C正确；因为1∉{x|x≤-4或x≥5}，所以a+b+c<0，故D错误. 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 思维建模 4.[多选]若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为，则下列说法正确的是(　　) A.a<0 B.a+b=-5 C.不等式ax2+x-b>0的解集是 D.不等式ax2+x-b>0的解集是∪(1，+∞) 即时训练 √ √ √ 解析：由题意得，a<0，且ax2+bx+1=0的两个实数根是x1=-1，x2=，则解得a+b=-3-2=-5，故A、B正确； 由上知ax2+x-b>0，即-3x2+x-(-2)>0，即(3x+2)(x-1)<0，解得 -<x<1，故不等式ax2+x-b>0的解集为，故C正确，D不正确. 对于不等式ax2+bx+c>0，若其解集为(-∞，m)∪(n，+∞)，则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m，n，且m<n；若其解集为(m，n)，则a<0且方程ax2+ax+c=0的两根为m，n，且m<n. 谨记结论 5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2-x1=15，求a的值. 解：由题知x1，x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根，所以Δ=4a2+32a2=36a2>0，且x1+x2=2a，x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15，所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2，又a>0，解得a=. 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 一、单选题 1.不等式x2+x-2<0的解集为(　　) A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<2} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-1或x>2} 解析：因为x2+x-2<0，即(x+2)(x-1)<0，解得-2<x<1，所以不等式x2+x-2<0的解集为{x|-2<x<1}. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.不等式≤1的解集为(　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1} C.{x|x≤-2或x>1} D.{x|x<-2或x≥1} 解析：由≤1，即≤0， 得解得x≥1或x<-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 3.若0<m<1，则不等式(x-m)<0的解集为(　　) A. B. C. D. 解析：因为0<m<1，所以>m，所以(x-m)<0的解集为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 4.若不等式>1的解集为{x|x<-1或x>4}，则不等式≥0的解集为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：因为不等式>1可转化为>0， 其解集为或，所以a>1，且方程=0的两个根为x1=-1，x2=4，则或解得或(舍去).所以≥0，即解得-6≤x<-. 所以不等式≥0的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 5.已知关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a，b)，则+3ab的最小值是(　　) A.2 B.2 C.3 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a，b)可得m>0， 利用根与系数的关系可得即可得a+b=3ab，且a>0， b>0，+=3，所以+3ab=+3ab=3a-1+a+b=4a+b-1.易知4a+b- 1=(4a+b)-1=-1≥-1=2，当 且仅当=，即a=，b=1时等号成立，故+3ab的最小值是2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 6.若关于x的不等式组的整数解只有-2，则k的取值范围为(　　) A.(1，2) B.[1，2] C.(1，2] D.[-3，2) 解析：易得x2-x-2>0的解集为(-∞，-1)∪(2，+∞)，2x2+(5+2k)x+5k=(2x+5)·(x+k)<0，当k<时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为， √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 因为关于x的不等式组的整数解只有 -2，所以-2<-k≤3，即-3≤k<2； 当k=时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空集，不满足题意； 当k>时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为，不满足题意. 综上，k的取值范围为[-3，2).   1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 二、多选题 7.已知不等式ax2+2x+c>0的解集为，则下列选项正确的是(　　) A.a=-12 B.c=-12 C.c=2 D.a=2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析：由于不等式ax2+2x+c>0的解集为， 所以x1=-和x2=是方程ax2+2x+c=0的两个实数根，故-+=-且 -×=， 解得a=-12，c=2，故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 8.若存在m，n(m<n-1)，使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n}，则下列结论正确的是 (　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 解析：因为m<n-1，所以m+1<n，由题意得x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤n}，x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}，A正确，B错误；x2+(a+1)x+b-c=0的两个根为m，n，x2+ax+b=0的两个根为m+1，n，故m+n=-a-1，mn=b-c，m+1+n=-a，(m+1)n=b，由于mn=b-c，(m+1)n=b，故b-c+n=b，所以n=c，C错误；因为n-m>1，所以n-m= =>1，两边平方得a2+2a>4b-4c，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 9.已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　) A.(1，a) B.(-∞，1)∪(a，+∞) C.(-∞，a)∪(1，+∞) D.∅ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ √ 解析：当a<0时，不等式等价于(x-1)·(x-a)<0，解得a<x<1； 当a=0时，不等式的解集是∅； 当0<a<1时，不等式等价于(x-1)(x-a)>0，解得x>1或x<a； 当a=1时，不等式等价于(x-1)2>0，解得x≠1； 当a>1时，不等式等价于(x-1)(x-a)>0，解得x>a或x<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 三、填空题 10.不等式>2的解集为_____________________.  解析：因为>2，所以-2=>0，等价于(1-2x)(x+2)>0，解得-2<x<， 即不等式>2的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 11.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为________.  解析：依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1， 因此不等式x2+bx+c<0，即x2-x-6<0， 解得-2<x<3， 所以原不等式的解集为(-2，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (-2，3) 四、解答题 12.(10分)已知二次函数f(x)=x2-ax-2a2，a∈R. (1)若f(1)<0，求实数a的取值范围；(4分) 解：由已知得f(1)=1-a-2a2<0， 即(a+1)(2a-1)>0，解得a<-1或a>. 所以实数a的取值范围为(-∞，-1)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.(6分) 解：f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0， 令f(x)=0，得x1=2a，x2=-a， 当2a<-a，即a<0时，解得x<2a或x>-a； 当2a=-a，即a=0时，解得x≠0； 当2a>-a，即a>0时，解得x<-a或x>2a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 综上所述，当a<0时， 不等式的解集为(-∞，2a)∪(-a，+∞)； 当a=0时，不等式的解集为(-∞，0)∪(0，+∞)； 当a>0时，不等式的解集为(-∞，-a)∪(2a，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 13.(10分)已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞). (1)求a和b的值；(3分) 解：由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根且a>0， 由根与系数的关系得解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 (2)求不等式ax2-(2a+b+2)x+1-c2<0的解集.(7分) 解：由a=1，b=-2，得不等式可化为x2-2x+1-c2<0，即[x-(1+c)][x-(1-c)]<0，则该不等式对应方程的实数根为1+c和1-c. 当c>0时，1+c>1-c，解得1-c<x<1+c，即不等式的解集为(1-c，1+c)； 当c=0时，1+c=1-c，不等式的解集为空集； 当c<0时，1+c<1-c，解得1+c<x<1-c，即不等式的解集为(1+c，1-c). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 综上，当c>0时，不等式的解集为(1-c，1+c)， 当c=0时，不等式的解集为空集， 当c<0时，不等式的解集为(1+c，1-c). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 $$