专题03反比例函数中4大压轴题型（专项训练）数学湘教版九年级上册

专题03 反比例函数中4大压轴题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数k的几何意义 1 题型二、反比例函数与一次函数的结合 2 题型三、反比例函数与几何综合结合 4 题型四、反比例函数的实际应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数k的几何意义 1．过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示． (1)已知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式； (2)若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理由． 2．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 题型二、反比例函数与一次函数的结合 3．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 4．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 6．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 题型三、反比例函数与几何综合结合 7．如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧； (1)若点A的坐标，点B的坐标为，请你求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)点A的横坐标为1，，求出k的值． (3)若反比例函数的图象经过点，点是双曲线上的一动点过B作y轴的垂线，垂足为C，点D是坐标系中的另一点．若以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为多少． 9．如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 10．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，为矩形内一点（不包括边界），过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线把矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于的长度，则称点为矩形的“常积点”． (1)在点，，，中，是矩形“常积点”的为______；（填写所有正确的字母代号） (2)若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，求的值； (3)若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，一次函数（为常数，且）的图象上“常积点”的个数随着的值变化而变化，小明设点的坐标为，由（2）解决问题的过程发现符合要求的小矩形有两类，若是右侧的小矩形，可得，他发现点在（）的图像上，并在原图形中画出该函数图像，请你在小明解决问题的基础上进一步思考，直接写出该图像上“常积点”的个数及对应的的取值范围． 题型四、反比例函数的实际应用 13．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为 （1）当时，解答： ①求与的函数关系式（不写的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 14．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． (1)问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． (2)探索应用： 15．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； 16．教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 17．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 18．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 1．（2012·广西南宁·中考真题）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 3．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式； （2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标． 4．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且． （1）若点E为线段OC的中点，求k的值； （2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值． 5．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点． (1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点在轴上，当最大时，求点的坐标． 6．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 8．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 9.（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE． （1）求点B的坐标． （2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式． 10.（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 11．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．（2022·河南南阳·二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： (1)图象初探 ①列表如下 1 2 3 4 3 请直接写出m，n的值； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．                                                     图① (2)性质再探 请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________； (3)学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：． 根据以上信息，请回答以下问题： ①水池总造价的最低费用为________千元； ②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 反比例函数中4大压轴题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数k的几何意义 1 题型二、反比例函数与一次函数的结合 4 题型三、反比例函数与几何综合结合 13 题型四、反比例函数的实际应用 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数k的几何意义 1．过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示． (1)已知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式； (2)若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理由． 【详解】（1）解：（1）设点，则，， ，，矩形的面积等于8 ，即 所以双曲线的解析式为：； （2）（2）设点，则，， ，，矩形的周长为8 ，即， 则，此时会随的变化而变化，所以无法确定的值 所以不能由此确定双曲线的解析式，因为会随点的坐标变化而变化． 2．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 题型二、反比例函数与一次函数的结合 3．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是△AOB的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 4．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴， 将代入 得：，解得， ∴反比例函数表达式为 ． （2）解：设点，那么点， 由可得：， ∴，解得 （舍去）， ∴． （3）解：如图2：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，则， ∴， ∵点A绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点B，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ∴，解得 （舍去）． ∴，． 如图：当是平行四边形的对角线时， 设， ∵，，，四边形是平行四边形． ∴，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是菱形，符合题意； 当是平行四边形的对角线时，同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意； 当是平行四边形的对角线时，． ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意． 综上，存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 【详解】（1）解：将，代入得， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：∵轴， ∴， 设， 当时，， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述：满足的坐标为：或； （3）解：设平移后的解析式为：， 联立反比例函数得， ， 即：， 设两个交点为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∴或． 6．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【详解】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ；     故答案为： （2）①当时， 故答案为：；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； （3）①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为 题型三、反比例函数与几何综合结合 7．如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为①， ∵点在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； （2）如图1， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， 过点G作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在上，且轴， 即时，最小， 作点关于y轴的对称点G'，则， ∴， 连接交y轴于， 此时，的周长最小， 即周长的最小值为； （3）由（2）知，直线的解析式为， 设，， ∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，，， Ⅰ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅱ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅲ、当与为对角线时，， ∴， ∴． 综上：或或 8．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧； (1)若点A的坐标，点B的坐标为，请你求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)点A的横坐标为1，，求出k的值． (3)若反比例函数的图象经过点，点是双曲线上的一动点过B作y轴的垂线，垂足为C，点D是坐标系中的另一点．若以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为多少． 【详解】（1）解：把代入得到， ∴反比例函数解析式为； ∵经过点， ∴， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：连接OA、OB，过作轴于，过作于，交轴于，则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点A的横坐标为1，经过点A的双曲线， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 把代入得， 解得， ∵在第一象限， ∴， ∴； （3）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点是双曲线上的一动点， ∴， ∵过B作y轴的垂线，垂足为C， ∴，， 过作轴交于， ∵以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 中过A，B，C，三个点分别作对边的平行线，交点为，此时以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形， 当是平行四边形时，如图，点向左平移4个单位长度得到点，则向左平移4个单位长度得到点，此时对角线，； 同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，； 同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，； 综上所述，以A，B，C，D为顶点的平行四边形的对角线长度的最大值为． 9．如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，负值舍去，，负值舍去， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； （3）解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． 10．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 11．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，为矩形内一点（不包括边界），过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线把矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于的长度，则称点为矩形的“常积点”． (1)在点，，，中，是矩形“常积点”的为______；（填写所有正确的字母代号） (2)若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，求的值； (3)若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，一次函数（为常数，且）的图象上“常积点”的个数随着的值变化而变化，小明设点的坐标为，由（2）解决问题的过程发现符合要求的小矩形有两类，若是右侧的小矩形，可得，他发现点在（）的图像上，并在原图形中画出该函数图像，请你在小明解决问题的基础上进一步思考，直接写出该图像上“常积点”的个数及对应的的取值范围． 【详解】（1）如图，设， ∵，， ∴，， ∴， ，，， 当，时，， 当，时，， ∴点，，，中，是矩形“常积点”， 故答案为：； （2）∵点是矩形的“常积点”， 且对应的小矩形的一条边在轴上， ∴或， 当时， 解得或； 当时， 此时无解； ∵点在矩形， ∴， ∴； （3）由经过定点， 当时，， ∴点在上， 当时，， ∴点在上， ∴点在一次函数与函数和图象在矩形内部的交点， 当时，， ∴函数的交点为， 当直线经过点 时，， ∴， ，，， 当一次函数经过点时，， 当一次函数经过点时， 当一次函数经过点时， 当一次函数经过点时， 如图，当时，点有个； 如图当，点有个； 如图当或时，点有个， 如图，，时，点有个； 综上可知：当时，点有个；当或或时，点有个；当或时，点有个． 题型四、反比例函数的实际应用 13．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为 （1）当时，解答： ①求与的函数关系式（不写的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300； ②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200； 因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200． （2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400； 因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m． 14．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． (1)问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． (2)探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形， ∴，， ∵点C为， ∴， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，， ∴点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设双曲线接解析式为， 把，代入得 ∴ 解得，， ∴点A在双曲线上； （2）由（1）可求：，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设和交于点，过作轴于，过作轴于，则， 若能恰好通过，则，在双曲线上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 把代入得， 解得， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴此船最高载货2.8米 ∵， ∴此船不能通过， ∴船身下降的高度， ∵， ∴， 故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 多少吨货物？（已知，．） 15．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； （2）， ， ； （3）A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 16．教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 17．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 18．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 【详解】（1），，补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20    阻值与压力的函数关系式为； 故答案为：100，40； （2）电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； （3），， ， ， ， 解得， 故答案为：． 1．（2012·广西南宁·中考真题）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 【详解】解：（1）由题意知：xy=36， 故（≤x≤） （2）根据题意得： 解得：x=0.3 经检验：是原方程的根 1.5x=0.45 答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤． （1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可； （2）根据题意列出后求解即可 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 3．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式； （2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标． 【详解】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12， ∴y＝． OA＝＝5， ∵OA＝OB， ∴OB＝5， ∴点B的坐标为（0，﹣5）， 把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得： 解得：； ∴y＝2x﹣5． （2）∵点M在一次函数y＝2x﹣5上， ∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）， ∵MB＝MC， ∴ 解得：x＝2.5， ∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5）， ∴BC＝10， ∴BC的中垂线为：直线y＝0， 当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5， ∴点M的坐标为（2.5，0）． 4．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且． （1）若点E为线段OC的中点，求k的值； （2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值． 【详解】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC=5， ∴,即：E点坐标为， 又∵AE⊥y轴，AE=1， ∴， ∴． （2）①在为等腰直角三角形中，，， ∴， 又∵BF⊥y轴， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ②解：设点坐标为， ∵ ∴，， ∴， 设直线AB解析式为：，将AB两点代入得： 则． 解得，． 当时，，，，符合； ∴ ， 当时，，，，不符，舍去； 综上所述：． 5．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点． (1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点在轴上，当最大时，求点的坐标． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上． 理由如下： 一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， 设点的坐标为， 点关于直线的对称点为点， ，平分， 连接交于，如图所示：     ， 轴于， 轴，， ， ， ， 在Rt中，， ， 为边上的中线，即， ， ， ， 点在这个反比例函数的图像上； （2）解：①四边形为正方形， ，垂直平分， ， 设点的坐标为， ，， ， （负值舍去）， ，， 把，代入得， ； ②延长交轴于，如图所示：      ，， 点与点关于轴对称， ，则点即为符合条件的点， 由①知，，， ，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，即，故当最大时，点的坐标为． 6．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【详解】（1）将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则．∴． 8.．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 9．（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE． （1）求点B的坐标． （2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式． 【详解】（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝的图象上， ∵点A在第四象限y1＝﹣的图象上， ∴S矩形ODEA＝2 ∴S矩形OCBE＝×2＝3， ∴k＝3， ∴y2＝， ∵OE＝AD＝， ∴B的横坐标为， 代入y2＝得，y＝＝2， ∴B（，2）； （2）设P（a，0）， ∵S△BPE＝PE•BE＝， 解得a＝﹣或， ∴点P（﹣，0）或（，0）， 设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0）， ①若直线过（，2），（﹣，0）， 则 ，解得， ∴直线BP的解析式为y＝x+1； ②若直线过（，2），（，0）， 则 ，解得， ∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3； 综上，直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3． 10．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 11．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解： 在直线上， ，解得， 点的坐标为，直线的表达式为． 将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， 点的坐标为； （2）如解图①，过点作轴，垂足为． 在一次函数中，令，得， ． 轴， ． 点在反比例函数的图象上，轴，轴， ． ， ． 设， 则， 解得或， 经检验，或是所列方程的解， 点在点的右侧， ， ， ； （3）如解图②，若点在直线AB下方，过点作轴于点，延长CE至点，使得． ， ． 由（1）（2）得， ， ， 联立， 解得或， ； 若点在直线上方，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接并延长交反比例函数的图象于点，即为所求的点． ， 联立， 解得， ． 此时， 是GH的中点， ， ， 联立， 解得或， ． 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或． 12．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 13．（2022·河南南阳·二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： (1)图象初探 ①列表如下 1 2 3 4 3 请直接写出m，n的值； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．                                                     图① (2)性质再探 请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________； (3)学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：． 根据以上信息，请回答以下问题： ①水池总造价的最低费用为________千元； ②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 【详解】（1）①， 当时，， 当时，， ，； ②如图： （2）由图象可得：当时，的最小值为3， 故答案为：1，3； （3）①由（2）可知，当时，的最小值为5， 水池总造价的最低费用为5千元， 故答案为：5； ②由题意， ， ， 解得：． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $$