专题02 分式方程及其应用7大题型（专项训练）数学鲁教版五四制八年级上册

专题02 分式方程及其应用 题型一、解分式方程 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）解方程：． 2．（24-25九年级下·广东河源·期中）若，则 ． 3．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 4．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程： (1) (2) 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·吉林长春·期中）（）计算：． （）解方程：． 8．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）计算、解分式方程： (1)； (2)． 题型二、已知分式方程的解求参数范围 9．（24-25九年级下·河北邢台·期中）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 11．（24-25八年级下·四川内江·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 12．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 14．（24-25九年级上·重庆合川·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且关于y的一元一次不等式组有解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 15．（24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为 ． 16．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 17．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 题型三、列分式方程 18．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）某中学“启明文学社”的全体同学租一辆面包车去某景点游览，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名其他社团的同学，结果每个同学比原来少用了3元车费．若设“启明文学社”有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·广西桂林·期中）在体育课上，甲，乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳下，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·山东济南·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板．” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）某轮滑社团为练习轮滑，第一次用元买了若干双轮滑鞋，第二次在同一家商店用元买同一款鞋，这次商家每双优惠元，结果比第一次多买了双．求第一次每双轮滑鞋的售价为多少元？若设第一次买的轮滑鞋每双元，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·山西晋城·期中）山西省右玉县位于毛乌素沙漠边缘，右玉县每年以10万亩以上的规模推进造林绿化．某林业队原计划在规定时间内造林250亩，实际工作时，采用了先进治沙技术，每天可多造林1亩，这样在规定时间内多造林50亩，求原计划每天造林多少亩．若设原计划每天造林亩，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型四、分式方程应用-其它问题 25．（24-25七年级下·广东茂名·期中）在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同．已知口袋中有5个红球和7个白球，且从口袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，则口袋中黑球的个数是 26．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某实验室使用模型进行大型文本处理任务．但在实际处理时．由于优化了算法，每小时处理的文档数量比原计划增加了，结果完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时．求原计划每小时处理多少篇文档？ 27．（24-25八年级下·山西长治·期中）中国无人机在沙特的夜色中徐徐升空，在空中绘制出一幅幅让人叹为观止的画面，不但震撼了沙特王室和当地观众，也惊艳了世界．某公司计划为仓库购买甲、乙两种型号的无人机搬运材料．已知每台甲型无人机比每台乙型无人机每小时多搬运材料，且每台甲型无人机搬运材料所用的时间与每台乙型无人机搬运材料所用的时间相同．求每台甲、乙两种型号无人机每小时分别搬运多少材料？ 28．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 29．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． (2)完成任务二． 30．（24-25九年级上·重庆·期中）今年的“双11”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元． (1)求出采购1张文化墙贴和1个小书柜，各需要多少钱？ (2)经测算，除了采购一部分新的小书柜，还可以分两次对现有的部分小书柜进行修复翻新，会减少一些开支．若第一次翻新部分旧的小书柜的费用为4000元，第二次准备翻新余下旧的小书柜时，发现翻新1个小书柜的成本上涨了，第二次翻新余下旧的小书柜的费用是3600元，且第二次翻新旧的小书柜的数量比第一次翻新旧的小书柜的数量少10个．那么翻新1个旧的小书柜需要多少元？本次社区打算购买30张文化墙贴、采购15个新的小书柜和翻新全部旧的小书柜，那么社区在更换社区设施上，投入了多少元？ 31．（24-25八年级上·广西桂林·期中）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音．研究这三个数的倒数发现：，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数． (1)现有三个数：3，2，x，若要组成一组调和数，求的值． (2)若为一组调和数．求的值． 32．（24-25八年级上·重庆·期中）为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元． (1)社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？ (2)商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元．社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台．若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值． 题型五、分式方程应用-工程问题 33．（24-25八年级下·上海·期中）有一项工程，甲、乙两工程队合作天可完成．若两个工程队合作天后，甲工程队再单独做天也恰好完成．求原来甲和乙单独完成这项工程各需多少天？ 34．（24-25八年级下·山东济南·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 35．（24-25九年级下·重庆江津·期中）重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 36．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）2025年春节联欢晚会无锡分会场的筹备工作中，物流部门计划采购、两种型号的智能搬运机器人来运输舞台材料．已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨材料，且每台型机器人搬运250吨材料所需天数与每台型机器人搬运300吨材料所需天数相同． (1)求每台型机器人和型机器人每天分别搬运多少吨材料？ (2)每台型机器人售价1万元，每台型机器人售价2万元．筹备组计划采购两种型号机器人共30台，要求每天搬运材料不低于1700吨，且采购总金额不超过55万元．请帮助筹备组求出最省钱的采购方案． 37．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务． (1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ (2)已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由． 38．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）建设美丽宜居重庆，提升市民江边漫步休闲体验，重庆市政对长江某段长达2400米的江堤进行美化，施工队在美化800米后，改进施工方式，每天的工作效率比原来提高，26天完成全部美化任务． (1)施工队原来每天美化江堤多少米？ (2)若市政原来每天支付给施工队的工资为a元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了，完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58400元，，求a的最大值． 39．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）2025年新春佳节，杨家坪商圈喜庆的大红灯笼随处可见，家住杨家坪的陈大爷和老伴站在天桥上，凭栏赏景：“红红火火的大灯笼，看着真是让人喜气洋洋！”据悉：杨家坪商圈计划挂1200个大红灯笼，由于临近春节工作人员热情高涨，实际每天挂的灯笼数量比原计划每天挂的灯笼数量多，结果提前一天完成任务， (1)求原计划每天挂多少个灯笼？ (2)从相关管理部门了解到购进这批灯笼总花费576000元，春节过后有商家以管理部门购进单价的全部回收并进行维护翻新，翻新过程中预估损坏且无法修缮的灯笼占所有灯笼数量的，商家翻新后的灯笼将重新定价并售完，若每个灯笼的维护翻新费用是商家再次售卖定价的，请问商家定价最少为多少才能维持利润率不低于？ 40．（24-25九年级上·重庆·期中）去年，松树桥中学为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，对教学楼走廊，下水管网，校园外墙进行了大力改造，新设计了系列文化景观，构建了一个文化生态空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲，乙两人先后接力完成，若甲每天可以完成10平方米，乙每天可以完成8平方米，共用10天完成，求甲，乙两人分别工作了多少天？ (2)由于第一期改造工程效果良好，学校计划对A校区综合楼外墙共计400平方米进行改造，由丙工程队负责，在B校区装修160平方米教学楼走廊，由丁工程队负责，若丙工程队每天可完成的工作量比丁工程队每天可完成的工作量多5平方米，丙工程队完成的时间是丁工程队完成时间的2倍，求丙，丁工程队每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 题型六、分式方程应用-行程问题 41．（24-25九年级下·云南昆明·期中）小轮车泥地竞速（）是一项结合速度、技巧与爆发力的自行车竞技项目，年，北京奥运会首次将其列为正式比赛项目，年巴黎奥运会，中国选手顾权权（女）成为首位凭实力直通奥运会的中国车手．在巴黎奥运会小轮车泥地竞速的训练中，运动员小林通过优化自己的过弯技术，将骑行的平均速度提升到原来的倍，已知赛道全场米，调整技术后，她完成一圈的时间比原来减少了秒，问：小林原来的平均骑行速度为多少米每秒？ 42．（23-24八年级上·广西桂林·期中）随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 43．（23-24八年级上·河北承德·期末）小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 44．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． (1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． (2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 45．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 46．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）某天上午，甲乙两位同学相约去博物馆参观，甲乘坐出租车，乙乘坐公共汽车，到博物馆门口集合，行进路线如图所示．参观回来后，两个人对话如下： 甲说：我家到博物馆的距离是，我比你晚出发了20分钟，还比你早到了10分钟； 乙说：我家到博物馆比你家近，你的速度是我的速度的3倍； 甲说：参观结束，我们11：00一起乘坐出租车按原路返程； 乙说：我们一起在我家下车后，你是步行回家的． (1)若设乙的速度是，则甲的速度为________（用含x的代数式表示）； (2)求甲乙两人的速度分别是每小时多少千米？ (3)若甲同学最晚在11：45回到家，则步行速度至少是_______（结果精确到0.1）？ 47．（20-21八年级上·重庆巫溪·期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 题型七、分式方程应用-经济问题 48．（24-25八年级下·四川成都·期中）成都号称“最美公园城市”之一，某公园为了美化环境，预备购进，两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的倍，若花费元购买款花卉和元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多株． (1)求，两款花卉的单价是分别多少元； (2)该公园有1元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进，两款花卉共株，其中款花卉数量不超过株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 49．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． (1)求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ (2)该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 50．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下面是服装专卖店老板与服装厂业务员的对话： 根据对话内容解答下列问题： (1)求这两种衬衫每件的进价． (2)设A衬衫的售价为180元/件，B衬衫的售价是150元/件，服装店进货两种衬衫共200件，设售完这200件衬衫所获总利润为W元，其中A衬衫进货m件． ①写出总利润W与m的关系式． ②卖完这两种衬衫后，店主结算利润是23456元．嘉琪同学认为店主结算有误，你同意嘉琪的意见吗？并说明理由． 51．（24-25九年级下·山东德州·期中）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 52．（24-25八年级下·广东佛山·期中）花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花卉的数量会损失，乙花卉的数量会损失． (1)求甲、乙花卉的进价； (2)如果花店在进价的基础上提高作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的一款花束．此时：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；花店为了不亏本，应该选择购买 花卉．（填“甲”或“乙”或“任意一款”）； (3)现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几，才能使得花店获得至少的利润？（精确到） 53．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 54．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元．若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？ (2)某网店从该厂家处批发购进了A，B两款型号的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？ 55．（24-25九年级下·重庆·期中）某花店在售两种花束，郁金香和牡丹的进货成本分别为每束30元和40元，已知郁金香每束的售价是牡丹每束的售价的，已知用600元购买郁金香的束数比用1080元购买牡丹的束数少6束． (1)求郁金香和牡丹每束的售价分别为多少元？ (2)随着春季花卉市场的火热，该花店在4月份对郁金香和牡丹的售价进行了调整，每束郁金香的售价上调了，每束牡丹的售价上调了，月底经统计4月郁金香的销售总量为400束，牡丹的销售总量为300束，若要保证4月的总利润为23000元，求a的值． 56．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程． 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：80千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是______元，纯电新能源车的每千米行驶费用是_______元；（请用含a的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元，则续航里程a的值为多少？ (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 57．（24-25七年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 58．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知关于的分式方程． (1)若表示的数是2，解这个分式方程； (2)查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中代表的数是多少． 59．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 60．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 61．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 62．（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 63．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 试卷第2页，共64页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式方程及其应用 题型一、解分式方程 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将方程两边同乘，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 2．（24-25九年级下·广东河源·期中）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验． 先给分式方程两边同乘分母化为整式方程，求解整式方程后，检验所得的解是否使原分式方程的分母不为0． 【详解】解： 解得： 把代入原方程的分母， 所以是原分式方程的解， 所以． 故答案为：4． 3．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 4．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根，原方程无解． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得    检验：将代入 ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 7．（24-25八年级下·吉林长春·期中）（）计算：． （）解方程：． 【答案】（）；（）无解 【分析】（）根据算术平方根的定义、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂分别运算，再合并即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解分式方程，掌握实数的运算法则和解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解． 8．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）计算、解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、解分式方程等知识，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是解题关键． （1）先计算零指数幂与负整数指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得； （2）方程两边同乘以，化成一元一次方程，解方程可得的值，然后进行检验即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 题型二、已知分式方程的解求参数范围 9．（24-25九年级下·河北邢台·期中）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，用含a的是式子表示分式方程的解，再根据解为负数，解不等式即可求解． 【详解】解：去分母得， 整理得 即且， 解得：， ∵解为负数， ∴或， 解得或， 符合的数值为， 故选：A． 10．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程． 利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可，注意分式方程无解的情况． 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， ， 由题意得，该分式方程有解，且解为正数， 即且， 且． 故选：． 11．（24-25八年级下·四川内江·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的概念是解题的关键．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为． 当分母为零时，增根为． 将方程变形：，合并分式得． 两边乘以，得，化简为． 整理得，即． 将增根代入，得，解得． 故的值是． 故选：B． 12．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”及分式方程有解建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 14．（24-25九年级上·重庆合川·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且关于y的一元一次不等式组有解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集求未知数、分式方程的解的情况求未知数，先求得一元一次不等式组的解集为，进而得，即，再求得分式方程的解为，根据分式方程解的情况得，且，求得且，进而可得符合条件的所有整数a分别为、0、2，最后求和即可． 【详解】解：， 解得， ∴的解集为， ∵有解， ∴， ， ， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， ∴，且， ∴且， 综上所述，且， ∴符合条件的所有整数a分别为、0、2， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：1． 15．（24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】2或3或7 【分析】本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围．根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵ 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为． 故答案为：2或3或7． 16．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； 方程无解，分两种情况： ①当整式方程无解时，则：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或； 故答案为：或． 17．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或或； (2)且． 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根． 首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或； 解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且． 【详解】（1）解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，     综上所述，的值为或或； （2）解：由得： ， ， 解得：， 又， ， 且， 的取值范围为且． 题型三、列分式方程 18．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 19．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 20．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）某中学“启明文学社”的全体同学租一辆面包车去某景点游览，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名其他社团的同学，结果每个同学比原来少用了3元车费．若设“启明文学社”有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，设“启明文学社”有人，总车费为180元，原来每人车费为元；增加2人后，总人数变为，此时每人车费为元，根据“每人比原来少用3元”，可列方程，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设“启明文学社”有人，则每人车费为元， 故增加2人后总人数为，每人车费变为元， 由题意可得：， 故选：B． 21．（24-25八年级上·广西桂林·期中）在体育课上，甲，乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳下，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，设甲每分钟跳下，则乙每分钟跳下，甲跳360下与乙跳320下所用时间相等，利用时间相等建立方程即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：设甲每分钟跳下，则乙每分钟跳下， 故甲跳360下所需时间为，乙跳下所需时间为， 根据时间相等，列方程， 故选：A． 22．（24-25八年级下·山东济南·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板．” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲农妇有个鸡蛋，乙农妇有个鸡蛋．根据题意，两人原本卖得的钱数相同，且交换鸡蛋后的总金额分别为15和个铜板．通过设定单价并建立方程，可推导出正确选项． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，乙农妇有个鸡蛋， 由题意得，， 故选：A． 23．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）某轮滑社团为练习轮滑，第一次用元买了若干双轮滑鞋，第二次在同一家商店用元买同一款鞋，这次商家每双优惠元，结果比第一次多买了双．求第一次每双轮滑鞋的售价为多少元？若设第一次买的轮滑鞋每双元，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设第一次每双轮滑鞋的售价为元，则第二次每双售价为元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第一次每双轮滑鞋的售价为元，则第二次每双售价为元， 由题意得，， 故选：． 24．（24-25八年级下·山西晋城·期中）山西省右玉县位于毛乌素沙漠边缘，右玉县每年以10万亩以上的规模推进造林绿化．某林业队原计划在规定时间内造林250亩，实际工作时，采用了先进治沙技术，每天可多造林1亩，这样在规定时间内多造林50亩，求原计划每天造林多少亩．若设原计划每天造林亩，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象分式方程，设原计划每天造林x亩，根据每天多造林1亩，这样在规定时间内多造林50亩，可列出方程． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 题型四、分式方程应用-其它问题 25．（24-25七年级下·广东茂名·期中）在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同．已知口袋中有5个红球和7个白球，且从口袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，则口袋中黑球的个数是 【答案】13 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，分式方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设黑球有个，根据“随机摸出红球的概率是”，根据概率公式列出方程，即可求出黑球的个数． 【详解】解：设黑球有个， 随机摸出一个红球的概率为， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴黑球有13个， 故答案为：13． 26．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某实验室使用模型进行大型文本处理任务．但在实际处理时．由于优化了算法，每小时处理的文档数量比原计划增加了，结果完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时．求原计划每小时处理多少篇文档？ 【答案】原计划每小时处理篇文档 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意找到关系式，建立分式方程是解题的关键． 设原计划每小时处理篇文档，则实际每小时处理篇文档，根据“完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时”建立方程求解即可 【详解】解：设原计划每小时处理篇文档，则实际每小时处理篇文档， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是此方程的根， 答：原计划每小时处理篇文档． 27．（24-25八年级下·山西长治·期中）中国无人机在沙特的夜色中徐徐升空，在空中绘制出一幅幅让人叹为观止的画面，不但震撼了沙特王室和当地观众，也惊艳了世界．某公司计划为仓库购买甲、乙两种型号的无人机搬运材料．已知每台甲型无人机比每台乙型无人机每小时多搬运材料，且每台甲型无人机搬运材料所用的时间与每台乙型无人机搬运材料所用的时间相同．求每台甲、乙两种型号无人机每小时分别搬运多少材料？ 【答案】每台乙型无人机每小时搬运材料，每台甲型无人机每小时搬运材料 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列出分式方程． 先设每台乙型无人机每小时搬运材料，再用表示出每台甲型无人机每小时搬运材料的重量，再根据“每台甲型无人机搬运材料所用的时间与每台乙型无人机搬运材料所用的时间相同”列出方程求解，并验根，再求出每台甲型无人机每小时搬运材料的重量． 【详解】解：设每台乙型无人机每小时搬运材料，则每台甲型无人机每小时搬运材料， 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：每台乙型无人机每小时搬运材料，每台甲型无人机每小时搬运材料． 28．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 【答案】2024年每亩产量达到600千克 【分析】设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，抓住田地的亩数不变是解题的关键． 【详解】解：设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克 ， 经检验，是所列方程的解． 答：2024年每亩产量达到600千克． 29．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． (2)完成任务二． 【答案】(1)；每枝种花卉单价为元 (2) 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案； （2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元， 每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元， 每枝种花卉单价为元， 用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍， ； ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉单价为元； 故答案为：；每枝种花卉单价为元； （2）解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务， 完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为， 完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 30．（24-25九年级上·重庆·期中）今年的“双11”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元． (1)求出采购1张文化墙贴和1个小书柜，各需要多少钱？ (2)经测算，除了采购一部分新的小书柜，还可以分两次对现有的部分小书柜进行修复翻新，会减少一些开支．若第一次翻新部分旧的小书柜的费用为4000元，第二次准备翻新余下旧的小书柜时，发现翻新1个小书柜的成本上涨了，第二次翻新余下旧的小书柜的费用是3600元，且第二次翻新旧的小书柜的数量比第一次翻新旧的小书柜的数量少10个．那么翻新1个旧的小书柜需要多少元？本次社区打算购买30张文化墙贴、采购15个新的小书柜和翻新全部旧的小书柜，那么社区在更换社区设施上，投入了多少元？ 【答案】(1)采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为50元和300元 (2)翻新1个旧的小书柜需要100元，本次社区投入了13600元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式方程的应用，列出等量关系式是解题的关键． （1）设采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为元和元，可得方程组，解方程组可得答案； （2）设翻新旧的小书柜元/个，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为元和元， 则， 解得：， 答：采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为50元和300元． （2）解：设翻新旧的小书柜元/个， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解．     则总共投入（元）． 答：翻新1个旧的小书柜需要100元，本次社区投入了13600元． 31．（24-25八年级上·广西桂林·期中）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音．研究这三个数的倒数发现：，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数． (1)现有三个数：3，2，x，若要组成一组调和数，求的值． (2)若为一组调和数．求的值． 【答案】(1)6或或 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，理解已知中的调和数是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据题意分3种情况讨论，然后分别列出方程求解即可； （2）直接根据调和数的定义列方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，x，3，2，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 当时，3，x，2，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 当时，3，2，x，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 综上所述，若要组成一组调和数，则x的值为6或或． （2）解：∵为一组调和数， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根； ∴的值是． 32．（24-25八年级上·重庆·期中）为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元． (1)社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？ (2)商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元．社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台．若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值． 【答案】(1)型号健身器材每台的售价为6000元，型号健身器材每台的售价为5000元 (2)的最小值为10 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式． （1）设型号健身器材每台的售价为元，则型号健身器材每台的售价为元，根据“用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样”， 列出分式方程，解之即可得出结论； （2）设原有型旧健身器材台，则计划购买型健身器材台，根据现有型旧健身器材和计划购买的型健身器材数量一共是120台，列出一元一次方程，解得，则，因此实际购买型健身器材台，社区共需要拿出台型旧健身器材参加抵值活动，再根据购买型健身器材的实际总费用不少于420000元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【详解】（1）解：设型号健身器材每台的售价为元，则型号健身器材每台的售价为元， 依题意可得，，解得：， 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为，则， 答：型号健身器材每台的售价为6000元，型号健身器材每台的售价为5000元； （2）解：设原有型旧健身器材台，则计划购买型健身器材台， 由题意得：， 解得：， ， 实际购买型健身器材台，社区共需要拿出台型旧健身器材参加抵值活动， 由题意得：， 解得：， 、都是正整数， 的最小值为10， 答：的最小值为10． 题型五、分式方程应用-工程问题 33．（24-25八年级下·上海·期中）有一项工程，甲、乙两工程队合作天可完成．若两个工程队合作天后，甲工程队再单独做天也恰好完成．求原来甲和乙单独完成这项工程各需多少天？ 【答案】甲工程队单独完成此项目需天，乙工程队单独完成此项目需天． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队单独完成这项工程需天，则乙工程队单独完成这项工程需天，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲工程队单独完成这项工程需天，则乙工程队单独完成这项工程需天， 根据题意得，， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴乙工程队单独完成这项工程需， 答：甲工程队单独完成这项工程需天，乙工程队单独完成这项工程需天． 34．（24-25八年级下·山东济南·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】(1)型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料 (2)至少购进型机器人台 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不等式关系是解题的关键． （1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，根据“型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同”建立方程并求解即可； （2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据“每小时搬运材料不得少于”列出不等式并解答即可． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， ， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； （2）设购进型机器人台，则购进型机器人台， 解得：， 是整数， ， 的最小值为， 答：至少购进型机器人台． 35．（24-25九年级下·重庆江津·期中）重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； (2)乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解答此题的关键． （1）设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前4天完成任务”，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个， 由题意得：， 解得：， ∴ 增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； （2）解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴ 乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 36．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）2025年春节联欢晚会无锡分会场的筹备工作中，物流部门计划采购、两种型号的智能搬运机器人来运输舞台材料．已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨材料，且每台型机器人搬运250吨材料所需天数与每台型机器人搬运300吨材料所需天数相同． (1)求每台型机器人和型机器人每天分别搬运多少吨材料？ (2)每台型机器人售价1万元，每台型机器人售价2万元．筹备组计划采购两种型号机器人共30台，要求每天搬运材料不低于1700吨，且采购总金额不超过55万元．请帮助筹备组求出最省钱的采购方案． 【答案】(1)每台型机器人每天搬运50吨材料，每台型机器人每天搬运60吨材料 (2)采购型机器人10台，采购B型20台 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，正确理解题意、列出方程和不等式组是解题的关键； （1）设每台型机器人每天搬运x吨材料，则每台型机器人每天搬运吨材料，根据：每台型机器人搬运250吨材料所需天数与每台型机器人搬运300吨材料所需天数相同，即可列出方程，解方程并检验后即可得解； （2）设采购型机器人m台，则采购B型机器人台，采购总金额为w万元，根据题意可得关于m的不等式组，求出不等式组的解后，再利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运x吨材料，则每台型机器人每天搬运吨材料， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，； 答：每台型机器人每天搬运50吨材料，每台型机器人每天搬运60吨材料 （2）解：设采购型机器人m台，则采购B型机器人台，采购总金额为w万元， 根据题意可得：， 解得：， ∵， 且， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，， ∴最省钱的采购方案是：采购型机器人10台，采购B型机器人20台． 37．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务． (1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ (2)已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由． 【答案】(1)甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天 (2)单独租甲车的租金最少且不耽误工期，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，理清题意，正确列出分式方程以及二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天，根据题意所述等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元，根据“两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元”列出二元一次方程组，解出甲、乙两车每天的租金，再结合（1）的结论，分别计算出三种方案各自所需的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天； （2）解：若甲乙两车合作需要（天）， 设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元， 根据题意，得， 解得， 租甲乙两车需要费用为：元； 单独租甲车的费用为：元； 单独租乙车的费用为：元； 综上可得，单独租甲车的租金最少且不耽误工期． 38．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）建设美丽宜居重庆，提升市民江边漫步休闲体验，重庆市政对长江某段长达2400米的江堤进行美化，施工队在美化800米后，改进施工方式，每天的工作效率比原来提高，26天完成全部美化任务． (1)施工队原来每天美化江堤多少米？ (2)若市政原来每天支付给施工队的工资为a元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了，完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58400元，，求a的最大值． 【答案】(1)施工队原来每天美化江堤80米； (2)a的最大值为2000． 【分析】（1）设施工队原来每天美化江堤x米，则改进施工方式后每天美化江堤米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58400元，可列出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设施工队原来每天美化江堤x米，则改进施工方式后每天美化江堤米， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解． 答：施工队原来每天美化江堤80米； （2）根据题意得：， 解得：， ∴a的最大值为2000． 答：a的最大值为2000． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 39．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）2025年新春佳节，杨家坪商圈喜庆的大红灯笼随处可见，家住杨家坪的陈大爷和老伴站在天桥上，凭栏赏景：“红红火火的大灯笼，看着真是让人喜气洋洋！”据悉：杨家坪商圈计划挂1200个大红灯笼，由于临近春节工作人员热情高涨，实际每天挂的灯笼数量比原计划每天挂的灯笼数量多，结果提前一天完成任务， (1)求原计划每天挂多少个灯笼？ (2)从相关管理部门了解到购进这批灯笼总花费576000元，春节过后有商家以管理部门购进单价的全部回收并进行维护翻新，翻新过程中预估损坏且无法修缮的灯笼占所有灯笼数量的，商家翻新后的灯笼将重新定价并售完，若每个灯笼的维护翻新费用是商家再次售卖定价的，请问商家定价最少为多少才能维持利润率不低于？ 【答案】(1)原计划每天挂个灯笼 (2)商家定价最少为元才能维持利润率不低于 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：原计划需要的天数实际需要的天数天，列方程，即可求解； （2）由不等关系式：利润成本，列出不等式，即可求解； 能找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：原计划每天挂个灯笼，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 答：原计划每天挂个灯笼； （2）解：设商家定价为每个元，由题意得 ， 整理得：， 229824， 解得：， 答：商家定价最少为元才能维持利润率不低于． 40．（24-25九年级上·重庆·期中）去年，松树桥中学为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，对教学楼走廊，下水管网，校园外墙进行了大力改造，新设计了系列文化景观，构建了一个文化生态空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲，乙两人先后接力完成，若甲每天可以完成10平方米，乙每天可以完成8平方米，共用10天完成，求甲，乙两人分别工作了多少天？ (2)由于第一期改造工程效果良好，学校计划对A校区综合楼外墙共计400平方米进行改造，由丙工程队负责，在B校区装修160平方米教学楼走廊，由丁工程队负责，若丙工程队每天可完成的工作量比丁工程队每天可完成的工作量多5平方米，丙工程队完成的时间是丁工程队完成时间的2倍，求丙，丁工程队每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 【答案】(1)甲工作了天，乙工作了天 (2)丙工程队每天可完成平方米，丁工程队每天可完成平方米 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，掌握一元一次方程，分式方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，设甲工作了天，则乙工作了天，由此列式求解即可； （2）根据题意可得设丁工程队每天可完成平方米，则丙工程队每天可完成平方米，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工作了天，则乙工作了天， ∴， 解得，， ∴ 甲工作了天，则（天）， 答：甲工作了天，乙工作了天； （2）解：设丁工程队每天可完成平方米，则丙工程队每天可完成平方米， ∴丙工程队工作的时间为，丁工程队工作的时间为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 则（平方米）； 答：丙工程队每天可完成平方米，丁工程队每天可完成平方米． 题型六、分式方程应用-行程问题 41．（24-25九年级下·云南昆明·期中）小轮车泥地竞速（）是一项结合速度、技巧与爆发力的自行车竞技项目，年，北京奥运会首次将其列为正式比赛项目，年巴黎奥运会，中国选手顾权权（女）成为首位凭实力直通奥运会的中国车手．在巴黎奥运会小轮车泥地竞速的训练中，运动员小林通过优化自己的过弯技术，将骑行的平均速度提升到原来的倍，已知赛道全场米，调整技术后，她完成一圈的时间比原来减少了秒，问：小林原来的平均骑行速度为多少米每秒？ 【答案】小林原来的速度是米/秒 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设小林原来的平均速度是米/秒，则优化技术后，平均速度为米/秒，根据题意可列分式方程，求解检验即可． 【详解】解：设小林原来的平均速度是米/秒，则优化技术后，平均速度为米/秒， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：小林原来的速度是米/秒． 42．（23-24八年级上·广西桂林·期中）随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【答案】(1)高铁的平均速度为300千米/时 (2)王老师能在开会之前赶到 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），设普快的平均速度为x千米/时，可得高铁的速度，再根据时间的差等于3.2小时列出分式方程，检验可得答案； 对于（2），先求出王老师实际所需时间，再和规定时间比较可得答案． 【详解】（1）解：设普快的平均速度为x千米/时，则高铁的速度为千米/时，根据题意得： ，          解得：．                           经检验，是原方程的解，          ． 答：高铁的平均速度为300千米/时． （2）解：王老师能在开会之前赶到，                （小时），          （小时），         ∵， ∴王老师能在开会之前赶到． 43．（23-24八年级上·河北承德·期末）小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 【答案】(1)小明步行的速度是80米/分 (2)小明不能在球赛开始前赶到体育馆 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出题目中的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分，根据题意列出分式方程求解即可； （2）求出小明总共需要的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分， 根据题意得：， 解得： 经检验是原方程的解． 答：小明步行的速度是米/分． （2）解：根据题意得，小明总共需要： ． 答：小明不能在球赛开始前赶到体育馆． 44．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． (1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． (2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 【答案】(1)该货轮在静水中的航行速度为千米/时． (2)，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，故可知顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程，求解即可； （2）由题意知，然后代入作减法比较即可． 【详解】（1）解：设货轮在静水中的航行速度为， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时； 故有， 解得， 经检验得是原方程的解， ∴该货轮在静水中的航行速度为千米/时． （2）由题意知， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 【答案】(1)； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式． （1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，求解即可； 设每年行驶里程为千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：， 即新能源车的每千米行驶费用为元， 故答案为：； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为千米， 由题意，得， 解得， 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 46．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）某天上午，甲乙两位同学相约去博物馆参观，甲乘坐出租车，乙乘坐公共汽车，到博物馆门口集合，行进路线如图所示．参观回来后，两个人对话如下： 甲说：我家到博物馆的距离是，我比你晚出发了20分钟，还比你早到了10分钟； 乙说：我家到博物馆比你家近，你的速度是我的速度的3倍； 甲说：参观结束，我们11：00一起乘坐出租车按原路返程； 乙说：我们一起在我家下车后，你是步行回家的． (1)若设乙的速度是，则甲的速度为________（用含x的代数式表示）； (2)求甲乙两人的速度分别是每小时多少千米？ (3)若甲同学最晚在11：45回到家，则步行速度至少是_______（结果精确到0.1）？ 【答案】(1) (2)甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米； (3) 【分析】此题考查了分式方程的应用，列代数式、一元一次方程的应用． （1）根据甲的速度是乙的速度的3倍即可写出答案； （2）设乙的速度是，则甲的速度为，甲比乙晚出发了20分钟，还比乙早到了10分钟，据此列方程并解方程，检验后即可得到答案； （3）设步行速度为，甲同学最晚在11：45回到家，据此列方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：若设乙的速度是，则甲的速度为， 故答案为： （2）设乙的速度是，则甲的速度为， 则， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲的速度为，乙的速度为 （3）设步行速度为， ， 解得 答：步行速度至少是 47．（20-21八年级上·重庆巫溪·期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 【答案】(1)3．2米/秒 (2)不能，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列分式方程解应用题，解题的关键是根据题意确定等量关系列方程． （1）根据“致远号”行全程的与 “领航号”行全程所用时间相等作为等量关系列方程； （2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，比较时间可以得出结果； （3）根据“致远号”行30米与 “领航号”行36米所用时间相等作为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“领航号”的行驶路程为（米）， “领航号”到达终点所用的时间为（秒）， “致远号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达； （3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，， 解得：， 经检验是原方程的解； 设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，， 解得： 经检验是原方程的解． 答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点． 题型七、分式方程应用-经济问题 48．（24-25八年级下·四川成都·期中）成都号称“最美公园城市”之一，某公园为了美化环境，预备购进，两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的倍，若花费元购买款花卉和元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多株． (1)求，两款花卉的单价是分别多少元； (2)该公园有1元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进，两款花卉共株，其中款花卉数量不超过株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 【答案】(1)款花卉的单价是元，款花卉的单价是元 (2)该公园购买花卉的最低总费用为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确的列出方程和函数关系式． （1）设款花卉的单价是元，则款花卉的单价是元，根据花费元购买款花卉和元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多株．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进款花卉株，则购进款花卉株，根据该公园有元预备款，在不超出预备款的前提下，其中款花卉数量不超过株，列出一元一次不等式组，解得，再设该公园购买花卉的总费用为元，由题意得出与的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设款花卉的单价是元，则款花卉的单价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款花卉的单价是元，款花卉的单价是元； （2）设购进款花卉株，则购进款花卉株， 由题意得： 解得：， 设该公园购买花卉的总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 时，有最小值， 答：该公园购买花卉的最低总费用为元． 49．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． (1)求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ (2)该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 【答案】(1)甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元 (2)购买甲厂家的设备最多20台 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元，根据“甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的”建立分式方程求解； （2）设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台，根据“总费用不能超过20万元”建立不等式求解． 【详解】（1）解：设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则乙厂家设备的单价为万元， 答：甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元； （2）解：设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台， 由题意得：， 解得：， 答：购买甲厂家的设备最多20台． 50．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下面是服装专卖店老板与服装厂业务员的对话： 根据对话内容解答下列问题： (1)求这两种衬衫每件的进价． (2)设A衬衫的售价为180元/件，B衬衫的售价是150元/件，服装店进货两种衬衫共200件，设售完这200件衬衫所获总利润为W元，其中A衬衫进货m件． ①写出总利润W与m的关系式． ②卖完这两种衬衫后，店主结算利润是23456元．嘉琪同学认为店主结算有误，你同意嘉琪的意见吗？并说明理由． 【答案】(1)每件A种衬衫的进价是100元，每件B种衬衫的进价是80元 (2)①；②嘉琪的说法正确，见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式． （1）设每件B种衬衫的进价是x元，则每件A种衬衫的进价是元，根据用2000元购进A种衬衫的数量与用1600元购进B种衬衫的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）①利用总利润等于两种衬衫的利润之和，列出W关于m的函数关系式即可； ②利用一次函数的性质，可求出W的最大值，再将其与23456元比较后，即可得出结论． 【详解】（1）设每件B种衬衫的进价是x元，则每件A种衬衫的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件A种衬衫的进价是100元，每件B种衬衫的进价是80元； （2）①根据题意得：， 即； ②嘉琪的说法正确，理由如下： ∵， ∴W随m的增大而增大， 又∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为（元）． ∵， ∴嘉琪的说法正确． 51．（24-25九年级下·山东德州·期中）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个 (2)费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）利用数量总价单价，结合本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即单枪新能源充电桩的单价），再将其代入中，即可求出双枪新能源充电桩的单价； （2）设此次加购个单枪新能源充电桩，则加购个双枪新能源充电桩，根据此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个； （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为 如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍 解得 随的增大而减小 答：费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个． 52．（24-25八年级下·广东佛山·期中）花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花卉的数量会损失，乙花卉的数量会损失． (1)求甲、乙花卉的进价； (2)如果花店在进价的基础上提高作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的一款花束．此时：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；花店为了不亏本，应该选择购买 花卉．（填“甲”或“乙”或“任意一款”）； (3)现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几，才能使得花店获得至少的利润？（精确到） 【答案】(1)甲花卉进价为85元/箱，则乙花卉进价为80元/箱 (2)，，甲 (3)乙花卉的售价每箱最低应提高 【分析】题目主要考查分式方程的应用、列代数式及不等式的应用，理解题意，列出方程和不等式是解题关键． （1）设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）设乙花卉每箱应提高a，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱 根据题意得： 解之得： 经检验：方程的解 所以乙花卉的进价为：（元/箱） 答：甲花卉进价为85元/箱，则乙花卉进价为80元/箱 （2）如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为元， 如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为元， ∵ ∴应该选择甲花卉； （3）设乙花卉每箱应提高a 答：乙花卉的售价每箱最低应提高． 53．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，燃油车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，纯电动汽车的行驶费用更低． 54．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元．若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？ (2)某网店从该厂家处批发购进了A，B两款型号的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元 (2)购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，为1280元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，根据花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同建立方程求解即可； （2）先求出A的售价，再设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，根据A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半建立不等式求出m的取值范围，再分别求出A，B两款吉祥物的利润，进而得到总利润与m之间的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元； （2）解：由题意得，A款售价为元/个， 设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个， ∵A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半， ∴， ， 设利润为W元， ∴ ， ∵， W随着增大而增大，当时，W有最大值，最大值为为． 答：购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，最大利润为1280元． 55．（24-25九年级下·重庆·期中）某花店在售两种花束，郁金香和牡丹的进货成本分别为每束30元和40元，已知郁金香每束的售价是牡丹每束的售价的，已知用600元购买郁金香的束数比用1080元购买牡丹的束数少6束． (1)求郁金香和牡丹每束的售价分别为多少元？ (2)随着春季花卉市场的火热，该花店在4月份对郁金香和牡丹的售价进行了调整，每束郁金香的售价上调了，每束牡丹的售价上调了，月底经统计4月郁金香的销售总量为400束，牡丹的销售总量为300束，若要保证4月的总利润为23000元，求a的值． 【答案】(1)郁金香每束售价为 50 元，牡丹每束售价为 60 元 (2)的值为 50 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程的实际运用，理解数量关系，正确列分式方程，一元一次方程是解题的关键． （1）设牡丹每束售价为元，则郁金香每束售价为元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）表示出调整后郁金香和牡丹每束售价，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设牡丹每束售价为元，则郁金香每束售价为元． 根据题意，， 解得：． 经检验，是原方程的解． 元， 因此，郁金香售价为 50 元，牡丹售价为 60 元． （2）解：调整后售价：郁金香：元， 牡丹：元， 则， 解得：． 56．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程． 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：80千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是______元，纯电新能源车的每千米行驶费用是_______元；（请用含a的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元，则续航里程a的值为多少？ (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)，； (2)续航里程a的值为640千米； (3)每年行驶里程大于6000时，新能源车的年费用更低． 【分析】本题考查分式方程的应用、不等式的应用． （1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （3）根据燃油车年行驶费用+年其它费用大于新能源车年行驶费用+年其它费用列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 故答案为：，； （2）解：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：续航里程a的值为640千米； （3）解：由（2）知，燃油车的每千米行驶费用是（元）， 纯电新能源车的每千米行驶费用是（元）， 设每年形势里程为x千米时，新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， ∴每年行驶里程大于6000时，新能源车的年费用更低． 57．（24-25七年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 58．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知关于的分式方程． (1)若表示的数是2，解这个分式方程； (2)查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程化为：， 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为． （2）， 去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程无解， ∴方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 60．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 61．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 62．（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 63．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 试卷第2页，共64页 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$