专题04 玩转二次函数最值的七大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题04 玩转二次函数最值的七大题型 题型一：定轴定区间问题 3 题型二：定轴动区间问题 4 题型三：动轴定区间问题 6 题型四 ：动轴动区间问题 8 题型五：与最值有关的恒成立问题 10 题型六：与最值有关的有解问题 12 题型七：含有绝对值的二次函数最值问题 14 【知识点综述】 1.二次函数的三种形式 (1)一般式： (2)顶点式：若二次函数的顶点为，则其详解式为 (3)两根式：若相应一元二次方程的两个根为，， 则其详解式为 2.二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况. 规律：求二次函数在区间上的最值分为以下三种情况: （1）对称轴在区间的左侧：若，则在区间上是增函数，最大值为，最小值为; （2）对称轴在区间内：若≤≤，则的最小值为，最大值为、中的较大者（或区间端点中与直线的距离较大的那一个端点所对应的函数值）；即最小值为，最大值为. （3）对称轴在区间的右侧：若，则在区间上是减函数，最大值为，最小值为. 题型一：定轴定区间问题 即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）. 1.函数在区间上（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 2．（24-25高三上·全国·课前预习）如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知二次函数．(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标； (2)画出它的图象，并说明其图象在的图象经过怎样的平移得来； (3)求函数在上的最大值和最小值；(4)分析函数的单调性， 4. 已知函数的定义域为，且在区间上有最大值5，最小值1． (1)求实数a，b的值；(2)若函数，求的解集． 5. 已知函数在区间上的最小值为，最大值为． (1)求，的值；(2)设，求的值域． 题型二：定轴动区间问题 即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论. 6．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 7.已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C．2 D． 8．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 9. 已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是 . 10. 已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是 . 11．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知二次函数图象开口向上，过点，且顶点到轴的距离为2． (1)求二次函数的表达式； (2)在答题卡的直角坐标系中画出其函数图象； (3)当时，，请根据函数图象求的取值范围． 12．（24-25高三上·全国·课前预习）二次函数的顶点M是直线和直线的交点． (1)用含m的代数式表示顶点M的坐标； (2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围； (3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点． 题型三：动轴定区间问题 即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解. 13.若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（    ） A．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 14．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 15.（多选） 已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值 16．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 17．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 18.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数的值域为，且，则的取值范围是 . 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，当时，的最大值为6，则实数 20．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）时，函数的最小值为，则实数a的值为 . 21．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 22．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 23．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 题型四 ：动轴动区间问题 即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理. 24. 若函数在上的值域为，则（    ） A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值但无最小值 C．无最大值但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 25．（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 26. 函数(a>0)，在区间[，t+1](t∈R)上函数的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，MN的最小值为2，则a= . 27.已知函数，(1)当时，解关于的不等式 (2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值． 28. 已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 29. 已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且的面积为3. (1)求的值；(2)若在上的最大值与最小值之差为，求的最小值. 题型五：与最值有关的恒成立问题 若一元二次不等式在R上恒成立，则用判别式法求解；若一元二次不等式恒成立在某区间上恒成立，则往往用分离参数法求解，转化为参数与函数最值的问题. 30．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·海南海口·期末）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 33．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 34．（24-25高一上·广东惠州·期中）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 35．（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 36．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，不等式对恒成立，求的最大值； (3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围. 题型六：与最值有关的有解问题 若一元二次不等式在R上有解，则用判别式法求解；若一元二次不等式恒成立在某区间上有解，则往往用分离参数法求解，转化为参数与函数最值的问题. 37．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 39.（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 40.（24-25高二下·广东梅州·期末），，使成立，则实数a的取值范围为 ． 41．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 42.已知函数在上的最大值为3，最小值为． (1)求的详解式； (2)若，使得，求实数m的取值范围． 43. 已知函数，其中k为常数. (1)若，求函数的表达式； (2)在（1）的条件下，设函数，若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数在上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型七：含有绝对值的二次函数最值问题 含有绝对值的二次函数最值问题的求解策略是：去绝对值，化为分段函数，再结合二次函数的性质或图象分类讨论求解. 44．（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高二下·辽宁·期末）若，不等式，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46.函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47. 设函数在区间上的最大值为，则当取得最小值时， . 48. 已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)设在上的最大值为，最小值为，若，求实数的取值范围. 49. 已知，函数． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)设，求函数在区间上的最小值； (3)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出、的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程） 50. 设，函数． (1)当时，求在的单调区间； (2)记为在上的最大值，求的最小值． 51.已知二次函数. (1)函数在区间上的最小值记为，求的最大值； (2)若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 玩转二次函数最值的七大题型 题型一：定轴定区间问题 3 题型二：定轴动区间问题 5 题型三：动轴定区间问题 10 题型四 ：动轴动区间问题 15 题型五：与最值有关的恒成立问题 17 题型六：与最值有关的有解问题 23 题型七：含有绝对值的二次函数最值问题 26 【知识点综述】 1.二次函数的三种形式 (1)一般式： (2)顶点式：若二次函数的顶点为，则其详解式为 (3)两根式：若相应一元二次方程的两个根为，， 则其详解式为 2.二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况. 规律：求二次函数在区间上的最值分为以下三种情况: （1）对称轴在区间的左侧：若，则在区间上是增函数，最大值为，最小值为; （2）对称轴在区间内：若≤≤，则的最小值为，最大值为、中的较大者（或区间端点中与直线的距离较大的那一个端点所对应的函数值）；即最小值为，最大值为. （3）对称轴在区间的右侧：若，则在区间上是减函数，最大值为，最小值为. 题型一：定轴定区间问题 即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）. 1.函数在区间上（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【详解】因为，所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示：由此可得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，无最小值.故选：A. 2．（24-25高三上·全国·课前预习）如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得，抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数详解式的二次项系数在平移前后不会改变.首先，当点横坐标取得最小值时，函数的顶点在点，根据待定系数法可确定抛物线的详解式；而点横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到点，结合前面求出的二次项系数以及点坐标可确定此时抛物线的详解式，进一步能求出此时点横坐标的最大值. 【详解】由题图知：当点的横坐标为1时，抛物线顶点取，设该抛物线的详解式为：， 代入点坐标，得：，解得， 即：点横坐标取最小值时，抛物线的详解式为：． 当点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取， 则此时抛物线的详解式：， 即与轴的交点为或（舍去）， 点的横坐标的最大值为2． 故选：B. 3. 已知二次函数．(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标； (2)画出它的图象，并说明其图象在的图象经过怎样的平移得来； (3)求函数在上的最大值和最小值；(4)分析函数的单调性， 【详解】（1），故二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）用描点法作图，图象经过（1， 1），（， 0），（， 0），（0， －3），（2， －3），图象如图所示，其图象由的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到；（3）由的图象可得，当，函数在时取得最大值，在时取得最小值；（4）由的图象可得，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的． 4. 已知函数的定义域为，且在区间上有最大值5，最小值1． (1)求实数a，b的值；(2)若函数，求的解集． 【详解】（1）∵，在上单调递减，在上单调递增， ∴即解得（2）由（1）知， ①时，的解集为；②时，，则或，故时，的解集为或；③时，，则或，故时，的解集为或． 综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或． 5. 已知函数在区间上的最小值为，最大值为． (1)求，的值；(2)设，求的值域． 【详解】（1）因为图象开口向上，对称轴，故函数在上单调递增，所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 所以，．（2）由（1）得，则，易知， 当或，，当或，，即在，单调递增，在，单调递减．又，，且当时，当时，故的值域为． 题型二：定轴动区间问题 即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论. 6．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BC 【分析】结合函数的图象，即可得出的范围. 【详解】，结合函数的图象可知， 当时，既有最大值又有最小值， 故选：BC 7.已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，对称轴为，开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，依题意，所以，所以在区间上单调递增，所以，即，所以、为方程的两根，所以.故选：A 8．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数的增减性，求出、，根据可求得实数的值. 【详解】二次函数的对称轴为直线，且， 若，且当时，随着的增大而减小， 故，， 因为，故，整理得，， 故方程无解，不合乎题意； 若，当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 故， 若，则，此时， 若，则，由得，可得， 因为，解得，所以，. 综上所述，. 故选：C. 9. 已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】二次函数，由解得或，画出二次函数的图象如下图所示，由图可知，的取值范围是. 10. 已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【详解】函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，当时，函数取最小值2，令，则，或，若函数在上的最大值为3，最小值为2，则 11．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知二次函数图象开口向上，过点，且顶点到轴的距离为2． (1)求二次函数的表达式； (2)在答题卡的直角坐标系中画出其函数图象； (3)当时，，请根据函数图象求的取值范围． 【分析】（1）将图象过的点代入函数详解式，结合顶点到轴的距离为2，列出方程组，解方程组即可； （2）根据函数详解式得出函数图象所过的点，结合开口方向、顶点坐标、与轴的交点坐标，即可画出函数图象； （3）求出时的的值，根据函数图象判断即可. 【详解】（1）根据题意可得， 因为， 解得或（舍去）， 所以； （2） （3）由（1）知： 因为时，解得或，当时，， 所以当时，， 结合二次函数的图象和性质可知，． 12．（24-25高三上·全国·课前预习）二次函数的顶点M是直线和直线的交点． (1)用含m的代数式表示顶点M的坐标； (2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围； (3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点． 【分析】（1）已知直线和直线，列出方程求出，，即可求出点的坐标； （2）①根据题意得出，解不等式求出的取值； ②当时，当时，二次函数，解不等式组即可求得的取值范围； （3）根据一元二次方程根的判别式进行判断． 【详解】（1）由题意得，解得， ； （2）①根据题意得，解得， 的取值范围为； ②当时，顶点为， 抛物线为，函数的最小值为2， 满足时，二次函数的最小值为2， ， 解得； （3）， 得， ， 抛物线的顶点坐标既可以表示为，又可以表示为． ，， ， ， ， 无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点． 题型三：动轴定区间问题 即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解. 13.若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（    ） A．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 【答案】A 【详解】函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，①当时，在上单调递减，则，，此时，故的值与a无关，与b有关，②当时，在上单调递增，则，，此时，故的值与a无关，与b有关，③当时，，若时，，有， ，故的值与a无关，与b有关，若时，，有，，故的值与a无关，与b有关，综上：的值与a无关，与b有关.故选：A. 14．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论，，确定函数单调性，确定最大值点，即可求解. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， . 由，计算出或， ， 两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数， ， .综上可知或. 故选：C. 15.（多选） 已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值 【详解】函数在区间上有最小值，∴函数图像抛物线的对称轴应当位于区间内，∴有， ，在区间上，定义域不关于原点对称，不是奇函数.任取 ，，由，，有 ， ，则，即，所以在区间上为增函数，为函数最小值．故选：BC 16．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次函数性质结合最小值计算求参. 【详解】时函数取得最小值， 所以由的最小值在内取得，得， 所以实数a的取值范围为. 17．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 18.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数的值域为，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的值域为，得到，且，根据得到，再由和基本不等式求解. 【详解】因为的值域为， 所以，解得，且， 又，即， 所以， 又，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，当时，的最大值为6，则实数 【答案】0或1 【分析】根据二次函数的性质，求得其对称轴，由对称轴与区间中点的位置进行分类讨论，建立方程，可得答案. 【详解】由二次函数，则其对称轴为直线， 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取； 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取. 综上所述，或. 20．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）时，函数的最小值为，则实数a的值为 . 【答案】或3 【分析】按二次函数对称轴与给定范围的关系分类探讨最小值求解. 【详解】二次函数图象开口向上，其对称轴为， 当时，，，则； 当时，，，解得或，无解； 当时，，，解得，则， 所以实数a的值为或3. 21．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在单调递增，在单调递减， 此时，无解，所以不存在 ③当时，在单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 22．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 【分析】（1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. 【详解】（1）当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 23．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 【分析】（1）根据题意，得到，且，求得，即可得到的详解式； （2）由（1）可得，令，的，结合二次函数的性质，分类讨论，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得，即，解得， 因为，可得，即，所以， 所以函数的详解式为. （2）解：由（1）可得， 令，因为，可得，则， 当时，即时，此时在区间上单调递增， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得（舍去）； 当时，即时，此时在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 题型四 ：动轴动区间问题 即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理. 24. 若函数在上的值域为，则（    ） A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值但无最小值 C．无最大值但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 【答案】C 【详解】取，则，不妨设，则在上的值域为，由于函数在上的值域为所以，故无最小值；因为，，，由于抛物线开口向上，故 所以，所以，当且仅当时取得最大值.所以有最小值，无最大值.故选：C. 25．（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【分析】由题意得，解方程组可得的值. 【详解】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． 26. 函数(a>0)，在区间[，t+1](t∈R)上函数的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，MN的最小值为2，则a= . 【答案】2 【详解】 (a>0)对称轴要使最小，与t+1必关于对称轴对称所以   ①   ② 联立①②得2×1013+2026=2∴a=2. 27.已知函数，(1)当时，解关于的不等式 (2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值． 【详解】(1)不等式为，即，由可得；由可得或，故原不等式解集为.(2)因为由于，由题意或，若时， 则，且或，当时，，不满足题意，舍去；当时，；若，则，且或当时，，当，符合题意； 当，与题设矛盾，故舍去；当时，；综上所述：或，符合题意. 28. 已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【详解】（1）当时，不等式，即为，即，所以， 所以或，所以原不等式的解集为．（2），由题意或，这时解得，若，则，所以； 若，即，所以，则，综上，或． 29. 已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且的面积为3. (1)求的值；(2)若在上的最大值与最小值之差为，求的最小值. 【详解】（1）令，得或，又，所以，故：.（2）由（1）得图象的对称轴为直线. 当，即时，在上单调递减，所以，，所以.当 即时，，所以.当 即时，，所以.当时，在上单调递增，所以，，所以.综上：的最小值为. 故：的最小值为. 题型五：与最值有关的恒成立问题 若一元二次不等式在R上恒成立，则用判别式法求解；若一元二次不等式恒成立在某区间上恒成立，则往往用分离参数法求解，转化为参数与函数最值的问题. 30．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 31．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】 如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，；故选：B. 32．（24-25高一下·海南海口·期末）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 33．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按函数图象对称轴与区间关系分类求出函数最小值，进而建立不等式求解. 【详解】函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围为. 34．（24-25高一上·广东惠州·期中）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用二次函数的区间单调性求区间最值，进而确定值域； （2）问题化为，由已知，其开口向上且对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系确定最值，结合不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设， 则在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 故上函数的值域为； （2）由，其开口向上且对称轴为， 又对任意的，都有，即， 当时，，可得，不符合前提； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，不符合前提； 综上，. 35．（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 【分析】（1）由二次函数的性质列方程组即可求解； （2）原题条件等价于对任意的都成立，进一步列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（Ⅰ）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（Ⅰ）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 因为可得，解得， 故实数的取值范围为. 36．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，不等式对恒成立，求的最大值； (3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围. 【分析】（1）由分段函数和二次函数的性质直接判断可得； （2）变形不等式后分的取值范围讨论可得； （3）结合二次函数的性质分和两种情况，转化为区间上存在两个不等实根问题，列不等式组求解可得. 【详解】（1）当时， 其中开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 所以的单调递增区间为. （2）由题知，， 即， ， ， 对任意恒成立. 若，则. 若，则，所以， 因为，所以，所以， 当时，，所以， 当时，， 故只需对任意恒成立，即， 所以，解得. 若，则，所以，因为，则， 所以， 只需，所以， 综上，，故的最大值为5. （3）因为，当，时，， 故，对称轴为. 当，即时，在单调递增，故在上单调递增， 所以 令，即， 所以，是方程在上的两个不等实根， 则解得. 当，即时，在单调递减，单调递增， 所以 所以，是方程在上的两个不等实根， 则 解得. 综上，. 题型六：与最值有关的有解问题 若一元二次不等式在R上有解，则用判别式法求解；若一元二次不等式恒成立在某区间上有解，则往往用分离参数法求解，转化为参数与函数最值的问题. 37．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 38．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6． 故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 39.（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 40.（24-25高二下·广东梅州·期末），，使成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意转化为求函数的最大值，分别根据对勾函数及二次函数的性质求最大值即可得解. 【详解】由在上单调递减，在单调递增可知， ， 设，则由题意，， 由图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，， 解得； 当时，即时，， 解得. 综上，实数a的取值范围为. 41．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由题意确定为的两个根，由韦达定理即可求解； （2）将原问题转化为在上有解，换元后结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由的解集为，可知为的两个根， 故，解得； （2）方程在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则， 故实数a的取值范围为. 42.已知函数在上的最大值为3，最小值为． (1)求的详解式；(2)若，使得，求实数m的取值范围． 【详解】（1）的开口向上，对称轴为，所以在区间上有：，即，所以.（2）依题意，使得，即，由于，，当且仅当时等号成立.所以. 43. 已知函数，其中k为常数. (1)若，求函数的表达式； (2)在（1）的条件下，设函数，若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数在上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵，解得∴, （2）由（1）可得，其对称轴方程为若在上为增函数，则，解得 若在上为减函数，则，解得综上可知，m的取值范围为，或． （3）当时函数在上的最大值是15，不满足条件；当时假设存在满足条件的，则的最大值只可能在，4，处取得，其中对称轴，①若，则有，的值不存在；②若，则，解得，此时，对称轴，则最大值应在处取得，与条件矛盾，舍去；③若，则，且，化简得，解得或，满足且，综上可知，当或时，函数在上的最大值是4． 题型七：含有绝对值的二次函数最值问题 含有绝对值的二次函数最值问题的求解策略是：去绝对值，化为分段函数，再结合二次函数的性质或图象分类讨论求解. 44．（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分类讨论去绝对值，画出函数的大致图象，结合二次函数的性质进行分析即可求解. 【详解】， 即， 当时，函数的大致图象如图， 当时，，所以，又，得； 当时，函数的大致图象如图， 当时，， 所以，又，得， 综上：. 故选：D. 45．（24-25高二下·辽宁·期末）若，不等式，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的情况，对参数进行分类讨论，写出分段函数详解式，根据不等式求出参数范围； 【详解】令，解得， 当时，，， 令，可知在上单调递增，由可知，在上单调递增，所以，得，解得； 当时，令， 当时，，可知，所以在上，不符合条件；综上：实数的取值范围是； 故选：B. 46.函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易得函数，若，则，且函数在上单调递增，所以函数在上无最值．若，作出函数的大致图像，如图1所示，易得函数在区间上无最值．若，作出函数的大致图像，如图2所示，要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则，即，解得:．综上，实数a的取值范围是． 故选: D. 47. 设函数在区间上的最大值为，则当取得最小值时， . 【答案】 【详解】当时，函数在单调递增，故；当时，函数在单调递减，此时；当时，此时，，， 而，故；当时，，，，，由解得，∴当时，；当时，，综上，，∴当时，单调递减，当时，单调递增， ∴当时，取得最小值. 48. 已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)设在上的最大值为，最小值为，若，求实数的取值范围. 【详解】(1)当时，函数，因为的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，当时，函数在为递增；又因为的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，当时，函数为减函数，综上所述：当时，求的单调递增区间为. (2)函数若，则当时，的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；当时，的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；所以在上的最大值为，最小值为，此时恒成立；若，则当时，的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，函数在上为减函数，在为增函数；当时，的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；由，， 若，可得，故在上的最大值为，最小值为，此时恒成立，若，可得，故在上的最大值为，最小值为，此时此时无解， 综上所述，实数的取值范围是. 49. 已知，函数． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)设，求函数在区间上的最小值； (3)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出、的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程） 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，则，是上的奇函数，当时，，，则有，且，即既不是奇函数，也不是偶函数，所以，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数； （2）因，则当时，，当且仅当时取等号，即，当时且时，，显然，即在上递增， ；当时，，对称轴，①若，即当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，；②若，即当时，函数在上单调递增，此时.综上得：. （3）解：当时，函数，函数在区间上既有最大值又有最小值， 当时，函数图象如下图，由，解得：， 则有，，   当时，函数图象如下图，由，解得：，则有，，.   50. 设，函数． (1)当时，求在的单调区间； (2)记为在上的最大值，求的最小值． 【详解】(1)当时，，当时，，则对应抛物线开口向下，对称轴为，可知，在单调递增，单调递减，即在的单调递增区间为，递减区间为. (2)，若时，，对称轴为， 所以在单调递增，可得；若，则在单调递增，在单调递减，在单调递增，若，即时，在递增，可得；由，可得在递增，在递减，即有在时取得，当时，由，解得：， 若，即，可得的最大值为；若，即，可得的最大值为；即有，当时，； 当时，；当，可得．综上可得的最小值为． 51.已知二次函数. (1)函数在区间上的最小值记为，求的最大值； (2)若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围. 【详解】(1)，二次函数对称轴为，开口向上. ①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值. ②若，即，此时当时，函数最小，最小值. ③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值. 综上，             作出分段函数的图像如下， 由图可知，的最大值为0. (2)要使函数在上是单调增函数，则在上单调递增且恒非负， 或单调递减且恒非正， 或，即或， 解得或. 所以实数m的取值范围是：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$