4.1.1分类加法计数原理、4.1.2分步乘法计数原理同步练习-2025-2026学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第4章　计数原理 4.1　两个计数原理 4.1.1　分类加法计数原理　4.1.2　分步乘法计数原理 基础过关练 题组一　分类加法计数原理 1.书架的第1层放有3本不同的计算机类书籍,第2层放有3本不同的文艺类书籍,第3层放有2本不同的体育类书籍.从书架上任取1本书,不同的取法种数为(　　) A.3　　　　　B.8　　　　　C.12　　　　　D.18 2.用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为　　(　　) A.8　　　　　B.9　　　　　C.10　　　　　D.11 3.如图,一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发,沿着正四面体ABCD的棱爬行,每秒爬一条棱,每次爬行的方向是随机的,则蚂蚁第1秒后到点B,第4秒后又回到点A的不同爬行路线有(　　) A.6条　　　　　B.7条　　　　　C.8条　　　　　D.9条 4.若一个三位数个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当y>x且y>z时,称这样的数为凸数(如341),则从集合{1,2,3,4,5}中取出三个不相同的数可组成的凸数的个数为　　　　.  题组二　分步乘法计数原理 5.5名同学分别从4个景点中选择一处游览,不同的选法种数为(　　) A.9　　　　　B.20　　　　　C.54　　　　　D.45 6.甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的所有可能的种数为(　　) A.6　　　　　B.12　　　　　C.18　　　　　D.24 7.高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛,每人限报一项,其中甲同学不能报名足球比赛,乙、丙、丁三名同学所报项目都不相同,则不同的报名方法的种数为(　　) A.54　　　　　B.12　　　　　C.8　　　　　D.81 8.给图中的A,B,C,D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,若有5种不同的颜色可选,则不同的涂色方案的种数为(　　) A.180　　　　　B.360　　　　　C.64　　　　　D.25 9.汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需要紧固轮胎的五个螺栓,记为A,B,C,D,E(在正五边形的顶点上),紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓,但不能连续固定相邻的两个,则不同的固定螺栓顺序的种数为(　　) A.20　　　　　B.15　　　　　C.10　　　　　D.5 题组三　两个计数原理的综合应用 10.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二生肖(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学每个吉祥物都喜欢,若三位同学对选取的礼物都满意,则不同的选法有(　　) A.30种　　　　　B.50种　　　　　 C.60种　　　　　D.90种 11.某班举办新年联欢班会,抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖五种奖品.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票,开奖后发现这5人的奖品都不相同.甲说:“我不是鼓励奖”;乙说:“我不是特等奖”;丙说:“我的奖品没有戊好但是比丁的好”.根据以上信息,这5人的奖品的所有可能的种数是　　(　　) A.12　　　　　B.13　　　　　 C.24　　　　　D.26 12.某单位的4位工作人员各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市某月15日至18日这4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案的种数是(　　) A.4　　　　　B.12　　　　　 C.16　　　　　D.24 13.(2025河南南阳第二中学校月考)用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五个圆涂色,要求相邻的两个圆所涂颜色不能相同,且至少要用红色涂两个圆,则不同的涂色方案的种数为(　　) A.25　　　　　B.630　　　　　 C.605　　　　　D.580 14.(多选题)某校实行选科走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是(　　) 第一节 第二节 第三节 第四节 地理 1班 化学A层 3班 地理 2班 化学A层 4班 生物A层 1班 化学B层 2班 生物B层 2班 历史B层 1班 物理A层 1班 生物A层 3班 物理A层 2班 生物A层 4班 物理B层 2班 生物B层 1班 物理B层 1班 物理A层 4班 政治 1班 物理A层 3班 政治 2班 政治 3班 A.此人有4种不同的选课方式　　　　　 B.此人有5种不同的选课方式 C.自习课不可能安排在第2节　　　　　 D.自习课可安排在4节课中的任一节 15.(创新题·新情境)伞是劳动人民一个重要的创造.如图1所示的雨伞,其伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别标有数字1,2,3,…,8(如图2).现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,相对的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有　　　　种.  　 能力提升练 题组　两个计数原理的综合应用 1.()中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍,下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字表示的两位数的个数为(　　) A.13　　　　　B.14　　　　　 C.15　　　　　D.16 2.用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A,B,C,D,E,F涂色,要求相邻区域的颜色不同,则涂色方法的种数是(　　) A.120　　　　　B.72　　　　　 C.48　　　　　D.24 3.考古发现,埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,这组数字又叫“走马灯数”.该组数字有如下发现:142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,142 857×5=714 285,142 857×6=857 142,142+857=999,285+714=999,428+571=999,714+285=999,857+142=999,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为(　　) A.48　　　　　B.60　　　　　 C.96　　　　　D.120 4.用0,2,4组成可包含重复数字的自然数,将这些数按从小到大的顺序排成的数列记为{an},即a1=0,a2=2,a3=4,……,若an=2 024,则n=　　　　.  5.9名运动员中有5人会打篮球,6人会踢足球,若选出2人分别参加篮球赛和足球赛,则不同的选派方案有　　　　种.  6.若O是正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,Q={|i=1,2,3,4,5,6},a,b,c∈Q,且a,b,c互不相同,要使得(a+b)·c=0,则有序向量组(a,b,c)的个数为　　　　.  7.某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一枚棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位数,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.某人掷三次骰子后,棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有　　　　种.  8.已知集合A=-,-,,,2,3,若a,b,c∈A且互不相等,则使得指数函数y=ax(a>0,且a≠1),对数函数y=logbx(b>0,且b≠1),幂函数y=xc中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)有　　　　个.  答案与分层梯度式解析 第4章　计数原理 4.1　两个计数原理 4.1.1　分类加法计数原理 4.1.2　分步乘法计数原理 基础过关练 1.B　若取的是计算机类书籍,有3种不同的取法;若取的是文艺类书籍,有3种不同的取法;若取的是体育类书籍,有2种不同的取法.根据分类加法计数原理可知,不同的取法种数为3+3+2=8. 2.D　分四类:①当分子为1时,有,,,,共4个真分数;②当分子为3时,有,,=,共3个真分数;③当分子为5时,有,,共2个真分数;④当分子为7时,有,,共2个真分数.根据分类加法计数原理,知可构成4+3+2+2=11个真分数. 3.B　由题意可画图如下,则不同的爬行路线有7条. 4.答案　20 解析　由题意可得y只能取3,4,5中的一个.当y=3时,凸数有 132,231,共2个;当y=4时,凸数有142,241,143,341,243,342,共6个;当y=5时,凸数有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453,共12个.故可组成的凸数共有2+6+12=20(个). 5.D　因为每名同学都有4种选择,所以由分步乘法计数原理可知,不同选法的种数为4×4×4×4×4=45. 6.A　甲、乙两人听同一个讲座,有3种可能,丙、丁两人从剩下的两个讲座中选择听不同的讲座,有2种可能,所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的所有可能的种数为3×2=6. 7.B　由甲同学不能报名足球比赛,可得甲有2种报名方式, 由乙、丙、丁三名同学所报项目都不相同,可得乙有3种报名方式,丙有2种报名方式,丁只有1种报名方式. 根据分步乘法计数原理可得,共有2×3×2×1=12种报名方式. 8.A　第一步涂A,有5种涂法;第二步涂B,和A不同色,有4种涂法;第三步涂C,和A,B不同色,有3种涂法;第四步涂D,和B,C不同色,有3种涂法.由分步乘法计数原理可知,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案. 9.C　如图,先在A,B,C,D,E五个螺栓中任选1个,有5种选法;假设选中A,则再在C,D中选1个,有2种选法;剩下的3个螺栓只有一种固定顺序.故共有5×2=10种不同的固定顺序. 10.B　①若甲同学选择牛,则乙同学有2种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为2×10=20; ②若甲同学选择马,则乙同学有3种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为3×10=30. 综上,共有20+30=50种不同的选法. 11.B　甲是特等奖,乙有4种可能,丙、丁、戊有1种可能,共有4×1=4种可能; 甲不是特等奖,则甲有3种可能,乙有3种可能,丙、丁、戊有1种可能,共有3×3×1=9种可能. 所以5人的奖品的所有可能的种数是4+9=13. 12.B　第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).第二步安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种选择;第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共有1+2=3(种).根据分步乘法计数原理知不同的用车方案共有4×3=12(种). 13.B　记题图中的圆从左往右数分别为第一个圆,第二个圆,……,第五个圆.涂第一个圆有6种情况,涂第二个圆有5种情况,涂第三个圆有5种情况,涂第四个圆有5种情况,涂第五个圆有5种情况.根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×5×5×5=3 750种方案. 若不用红色涂, 涂第一个圆有5种情况,涂第二个圆有4种情况,涂第三个圆有4种情况,涂第四个圆有4种情况,涂第五个圆有4种情况.共有5×4×4×4×4=1 280种方案. 若用红色涂一个圆, 当用红色涂第一个圆时,涂第二个圆有5种情况,涂第三个圆有4种情况,涂第四个圆有4种情况,涂第五个圆有4种情况,共有5×4×4×4=320种方案; 当用红色涂第二个圆时,涂第一个圆有5种情况,涂第三个圆有5种情况,涂第四个圆有4种情况,涂第五个圆有4种情况,共有5×5×4×4=400种方案; 当用红色涂第三个圆时,涂第二个圆有5种情况,涂第四个圆有5种情况,涂第一个圆有4种情况,涂第五个圆有4种情况,共有5×5×4×4=400种方案; 当用红色涂第四个圆时,涂第三个圆有5种情况,涂第五个圆有5种情况,涂第一个圆有4种情况,涂第二个圆有4种情况,共有5×5×4×4=400种方案; 当用红色涂第五个圆时,涂第四个圆有5种情况,涂第三个圆有4种情况,涂第二个圆有4种情况,涂第一个圆有4种情况,共有5×4×4×4=320种方案. 所以至少用红色涂两个圆的方案的种数为3 750-1 280-320-400-400-400-320=630. 14.BD　由于生物在B层班级,所以只能选第2或第3节,故分两类: 若生物选第2节,则地理可安排在第1、3节,有2种选法,政治从剩余的两节课中任选,有2种选法,故有2×2=4(种)(此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节); 若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选在第2节,故有1种选法. 根据分类加法计数原理可得,共有4+1=5种不同的选课方式.由以上分析可知,自习课可安排在4节课中的任一节. 15.答案　630 解析　根据题意,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定整个伞面的涂色. 先涂区域1,有6种选择,再涂区域2,有5种选择, 当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有4种选择,剩下的区域4有4种选择, 当区域3与区域1涂的颜色相同时,剩下的区域4有5种选择. 故不同的涂色方案有6×5×(4×4+5)=630(种). 能力提升练 1.D　6根算筹可以表示的数字组合为(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7).数字组合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合(3,3),(7,7),每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.故一共可以表示14+2=16个两位数. 2.A　先涂E,有4种选择,接下来涂C,有3种选择,再涂F,有2种选择, ①当C,D颜色相同时,涂D,有1种选择;涂B,有2种选择;涂A,有1种选择.故涂色方法的种数为4×3×2×1×2×1=48. ②当C,D颜色不相同时,涂D,有1种选择,若B,C颜色相同,则涂B,有1种选择,涂A,有2种选择,若B,C颜色不同,则涂B,有1种选择,涂A,有1种选择.故涂色方法的种数为4×3×2×1×1×(2+1)=72. ∴满足题意的涂色方法的种数为48+72=120. 3.A　数字142 857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,4+5=9,2+7=9,共3组.若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中的任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,因此x,y的百位数字有6种选法;x的十位数字可以为剩下4个数字中的任意1个,假设为4,则y的十位数字必须为5,因此x,y的十位数字有4种选法;x的个位数字可以为剩下2个数字中的任意1个,y的个位数字为最后1个,因此x,y的个位数字有2种选法.所以所有可能的有序实数组(x,y)的个数为6×4×2=48. 4.答案　33 解析　用0,2,4组成可包含重复数字的自然数, 则一位数有0,2,4,共3个;两位数有20,22,24,40,42,44,共6个; 对于三位数,百位上有2个数字可选,十位上有3个数字可选,个位上有3个数字可选,共有2×3×3=18(个). 四位数为2 000,2 002,2 004,2 020,2 022,2 024,…, 所以2 024为四位数中的第6个, 所以n=3+6+18+6=33. 5.答案　28 解析　由题意得既会踢足球又会打篮球的人数为5+6-9=2,所以只会打篮球的人数为3,只会踢足球的人数为4. 若从只会打篮球的3人中选1人, 则有3×6=18种选法;若从既会踢足球又会打篮球的2人中选1人参加篮球赛,从剩下的会踢足球的5人中选1人参加足球赛,则有2×5=10种选法.故不同的选派方案有18+10=28(种). 方法总结　　　解决此类问题时可按只会一种本领被选的人数来分类,将会多种本领和只会另一种本领的人放在一起,这样可简化解题过程. 6.答案　48 解析　 如图(1),这样的a,b有6对,且a,b可交换,此时c有2种情况,所以有序向量组(a,b,c)的个数为6×2×2=24;如图(2),这样的a,b有3对,且a,b可交换,此时c有4种情况,所以有序向量组(a,b,c)的个数为3×2×4=24. 综上所述,有序向量组(a,b,c)的个数为24+24=48. 7.答案　25 解析　由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12,由掷三次骰子后,棋子恰好又回到点A处,得三次骰子的点数之和是12,三次骰子的点数之和为12的有1、5、6,2、4、6,3、4、5,3、3、6,5、5、2,4、4、4,共6种组合. ①1、5、6,2、4、6,3、4、5这三种组合中,每一种又可以列出6种不同结果,所以有3×6=18(种); ②3、3、6,5、5、2这两种组合中,每一种又可以列出3种不同结果,所以有2×3=6(种); ③组合4、4、4只有1种结果. 根据分类加法计数原理知,共有18+6+1=25种不同的走法. 8.答案　24 解析　满足指数函数y=ax(a>0,且a≠1),对数函数y=logbx(b>0,且b≠1)的a,b的取值有4个,为,,2,3, 使指数函数y=ax(a>0,且a≠1),对数函数y=logbx(b>0,且b≠1)在(0,+∞)上单调递增的a,b的值都只有两个,分别是2,3, 满足幂函数y=xc的c的取值有6个, 使幂函数y=xc在(0,+∞)上单调递增的取值有4个,即,,2,3,已知a,b,c∈A且互不相等,满足至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增有四种情况: ①只有指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数y=logbx(b>0,且b≠1)在(0,+∞)上单调递增,共有2×1×2=4种情况; ②只有指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和幂函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,共有2×2×2=8种情况; ③只有对数函数y=logbx(b>0,且b≠1)和幂函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,共有2×2×2=8种情况. ④三个函数在(0,+∞)上都单调递增,共有2×1×2=4种情况. 利用分类加法计数原理可得共有4+8+8+4=24种情况. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$