专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题09安徽六安绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一安徽六安两个绝对值的和的最值 题型二安徽六安两个绝对值的差的最值 题型三安徽六安多个绝对值的和的最值 题型四安徽六安绝对值中最值问题的应用 题型五安徽六安已知范围的绝对值化简 题型六安徽六安未知范围的绝对值化简 题型七安徽六安绝对值化简的新定义问题 题型八安徽六安绝对值化简问题综合 【经典例题一安徽六安两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知（a为常数且），当时，y有最大值为5，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或3 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 【经典例题二安徽六安两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【经典例题三安徽六安多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知：，且，，的最大值是（    ） A．0 B．3 C．5 D．－4 1．（2024七年级上·安徽亳州·专题练习）我们可以把理解为数轴上表示x的点到表示y的点距离．若，则的最小值和最大值分别为（　　） A．4，8 B．4，9 C．5，8 D．5，9 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）有一个四位数，它的个位上的数是a，十位上的数是b，百位上的数是c，千位上的数是d．且有，则式子的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 4．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知实数a，b，c满足：． (1)求a，b，c中的最小者的最大值； (2)求的最小值． 【经典例题四安徽六安绝对值中最值问题的应用】 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．﹣6 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）将1，2，3，…200这200个自然数，任意分成100组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b代入中进行计算，求出结果，可得到100个值，则这100个值的和的最大值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是 ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【经典例题五安徽六安已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知实数a的范围是，则化简 的结果为 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， (1)试化简：； (2)若a，c两数的倒数是他们自身，求的最小值；以及取最小值时x范围． 【经典例题六安徽六安未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即；安徽六安②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是；②若，则一定是非正数；③若，则式子的化简结果为2；④若，，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）若，化简的结果是 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【经典例题七安徽六安绝对值化简的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）定义一种新运算：，如，则的结果是（   ） A． B．10 C． D．3 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（） A． B． C．5 D．3 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·开学考试）用“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有，则： （1） ．（2）若，则n的值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则：，在， ，，，，，，，，，，，，这个数中：任取三个数作为，，的值，进行“”运算，则所有计算结果中的最小值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【经典例题八安徽六安绝对值化简问题综合】 【例8】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 1．（2024·安徽滁州·模拟预测）对多项式添加1个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如：，称为对多项式的一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作”，…… 下列说法正确的个数是（   ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·开学考试）如图，数轴上点分别表示数，则化简的结果为 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）有理数a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置如图所示， (1)用“>” “=” “<” a___________0， ___________0， ___________0， ___________0， (2)化简：． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4      2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）已知三个数，12，，“它们的和”与“它们的绝对值的和”的差为（   ） A． B． C．6 D．8 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 5．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，，，则；③；④满足的整数的值有3个；⑤若，则，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）0的绝对值是 ． 7．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知整数同时满足下列两个条件，写出一个符合条件的的值： ． ①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于3且小于5． 9．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若， (1)求x，y的值； (2)求的值． 12．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，、在数轴上的位置如图所示，请完成下列各题： (1)则______，______． (2)化简．（用含、的式子表示） 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于有理数a和b，借助有理数的运算法则，定义了一种新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)试用学习有理数的经验和方法探究新运算“”是否具有交换律，请写出你的探究过程． 14．2024年6月15 日将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记姆巴佩在跑道上的某一位置为点O，完成下表： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 距点O的距离 提示∶向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定∶向东为正，向西为负 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09安徽六安绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一安徽六安两个绝对值的和的最值 题型二安徽六安两个绝对值的差的最值 题型三安徽六安多个绝对值的和的最值 题型四安徽六安绝对值中最值问题的应用 题型五安徽六安已知范围的绝对值化简 题型六安徽六安未知范围的绝对值化简 题型七安徽六安绝对值化简的新定义问题 题型八安徽六安绝对值化简问题综合 【经典例题一安徽六安两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知（a为常数且），当时，y有最大值为5，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或3 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，分类讨论，当时，，y随x的增大而增大，可得出当时，，求出a的值，当，即，y随x的增大而减小，当时，，求出a的值，最后根据题意选出符合题意的a值即可． 【详解】解：当时， 即，y随x的增大而增大， ∵当时，y有最大值为5， ∴当时，， 解得：，不符合题意舍去． 当， 即，y随x的增大而减小， ∵当时，y有最大值为5， ∴当时，， 解得：，符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和，设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则，分点C在点A左侧，点C在点A和点B之间时（包括A和B），点C在点B右侧，三种情况结合数轴可得当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长；则当时，取最小值，据此求解即可；②同①可知当时，有最小值，当时，有最小值，当时，有最小值，……，当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和， 设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则， 当点C在点A左侧时， ； 当点C在点A和点B之间时（包括A和B），则； 当点C在点B右侧时，则； 综上所述，当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长； ∴当时，取最小值，最小值为， 故答案为：；； ②同①可知当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， ……， 当时，有最小值， 综上所述，当时，，，，…，能同时取得最小值，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离 (2)或 (3)或 (4)， 【分析】本题考查新定义题型，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）由题意直接求解即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （3）由绝对值的意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （4）由绝对值的几何意义分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 则或； 故答案为：或； （3）解：， 或， 解得或； （4）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； 故答案为：，． 【经典例题二安徽六安两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示在数轴上，数到，，的距离之和，则可知当时，取得最小值为，则问题随之得解. 【详解】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a， 结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2； 即当时，取得最小值，为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，理解表示在数轴上数到，，的距离之和，是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和，当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，即可解答； （2）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差，当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，即可解答． 【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为． 故选：C 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，根据绝对值的几何意义可得表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离，据此讨论x的位置，确定取得最大值的情形即可得到答案． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离， 当x在左边（包含）时，的值即为到3的距离，即为， 当x在3的右边（包含3）时，的值即为， 当x在和3之间时，的值一定小于8， 综上所述，当时，取得最大值，此时x的最大值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴ ． 当点P在线段点上时，如图， ∴ ， ∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 【经典例题三安徽六安多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知：，且，，的最大值是（    ） A．0 B．3 C．5 D．－4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义、有理数的加法，根据题意可得，，中有两个负数，一个正数，，，，求出，再分三种情况，结合绝对值的意义求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，中有两个负数，一个正数，，，， ∴， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 综上所述，的最大值是， 故选：A． 1．（2024七年级上·安徽亳州·专题练习）我们可以把理解为数轴上表示x的点到表示y的点距离．若，则的最小值和最大值分别为（　　） A．4，8 B．4，9 C．5，8 D．5，9 【答案】A 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时， ， 当时，最小值为4， 当时，最大值为5； ②当时， 当时，最小值为5， 当时，最大值为8． 综上所述，的最小值和最大值分别为4，8． 答案：A． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）有一个四位数，它的个位上的数是a，十位上的数是b，百位上的数是c，千位上的数是d．且有，则式子的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据去绝对值符号，然后可得当，时，式子取最大值，然后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴当，时，式子取最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 【答案】 2 7 【分析】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：（1）由图可知：，， ∴， ∴原式； 故答案为：； （2）∵两数的倒数是他们自身， ∴， ∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和， ∴当时，有最小值为：； 故答案为：；2； （3）由（2）知：当时，有最小值为， 当时，有最小值为， ∵， ∴，， ∴的最大值为3，的最大值为， ∴的最大值为：； 故答案为：7． 4．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知实数a，b，c满足：． (1)求a，b，c中的最小者的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了代数式的求值，绝对值的意义，一元二次方程的解，根的判别式等知识，根据题意列出等式是解题的关键． （1）不妨设a是a，b，c中的最小者，即，由题设知，且，，于是b，c是一元二次方程的两实根，由根的判别式进行判断即可； （2）用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】（1）解：不妨设a是a，b，c中的最小者，即，由题设知， 且，，于是b，c是一元二次方程的两实根， 即△， 则 ∴， 所以； 又当时，满足题意． 故a，b，c中最小者的最大值． （2）因为，所以a，b，c为全小于0或二正一负． ①当a，b，c为全小于0，则由（1）知，a，b，c中的最小者不大于，这与矛盾． ②若a，b，c为二正一负，设，则， 当时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6 【经典例题四安徽六安绝对值中最值问题的应用】 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．﹣6 【答案】A 【分析】利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c＝0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可． 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c＝0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵＝， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m＝﹣1﹣2+3＝0； 当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，即m＝1﹣2﹣3＝﹣4， ∴x+y＝0+（﹣4）＝﹣4． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝−a． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）将1，2，3，…200这200个自然数，任意分成100组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b代入中进行计算，求出结果，可得到100个值，则这100个值的和的最大值为 ． 【答案】 【分析】分别计算和时的值，可得的值为和中较大的数，有最大值，即最大值为，计算即可得答案． 【详解】解：当时，=， 当时，， ∴将每组中的两个数a，b，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较大的数． ∴这100个值的和的最大值为：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，若求和的最大值，得出的值为和中较大的数，找出分组的规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是 ． 【答案】16 【分析】若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，再代入计算即可求解． 【详解】解：若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为， 的最大值． 故答案为：16． 【点睛】此题考查了绝对值，要使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 【经典例题五安徽六安已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符合，首先根据实数在数轴上的对应点位置确定两者的大小，易得，然后根据绝对值的性质即可获得答案． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴， ∴． 故选：C． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．①根据“Q运算”的运算方法进行运算，即可判定；②首先根据“Q运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定；③先分析得出为使两两差绝对值最小，则q应位于不含q的数列的中位数附近时运算结果最小，根据中位数即可判断． 【详解】解：①对n，，1进行“Q运算”的结果是8， 则， ， 当时，， 解得：； 当时，，方程无解； 当时，， 解得：； 故或2，则①错误； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确； ③若对4，5，6，7，，2025，进行“Q运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项， 为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为， 则当时，运算结果最小，故③错误； 故选：B 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知实数a的范围是，则化简 的结果为 ． 【答案】 【分析】根据a的取值范围判断、与0的关系，再去绝对值化简即可． 【详解】解：∵数a的范围是， ∴，， ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值化简及整式的混合运算，解题的关键是根据已知条件去绝对值． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，利用数轴表示数的方法得到，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， (1)试化简：； (2)若a，c两数的倒数是他们自身，求的最小值；以及取最小值时x范围． 【答案】(1) (2)的最小值为2；此时最小值时x范围为 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，倒数的定义，解决本题的关键是掌握对数轴上的点进行大小的比较和观察各自的符号． （1）根据数轴判断a、b、c各自的大小进而去化简题目即可； （2）结合数轴得出a、c的值，根据绝对值的意义，进而计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， 则， ∴ ． （2）解：∵a，c两数的倒数是他们自身，且，， ∴，， ∴， ∵表示在数轴上点到表示1和两个点的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为． 【经典例题六安徽六安未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即；安徽六安②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是；②若，则一定是非正数；③若，则式子的化简结果为2；④若，，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】绝对值的非负性判断①②；有理数的乘法法则，绝对值的意义判断③；将转化为度，分，秒的形式，比较大小，判断④． 【详解】解：∵， ∴代数式的最小值是；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：一定是非正数；故②正确； 若，则：或， ∴或；故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，有理数的运算，角的大小比较，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）若，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，化简绝对值． 根据题意求出、的范围，再化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、绝对值等知识点，掌握相关定义和性质成为解题的关键． （1）直接根据算术平方根的定义求解即可； （2）直接根据二次根式的性质求解即可； （3）先判断的正负，然后根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）由，则． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的比较大小，有理数的除法运算． （1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的减法法则判断即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴； （2）解：∵， ∴； 【经典例题七安徽六安绝对值化简的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）定义一种新运算：，如，则的结果是（   ） A． B．10 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 根据，可以计算出的值． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，“有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算”，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案． 【详解】由题意可得： 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·开学考试）用“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有，则： （1） ．（2）若，则n的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，解绝对值方程，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 根据题意可得，，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则：，在， ，，，，，，，，，，，，这个数中：任取三个数作为，，的值，进行“”运算，则所有计算结果中的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据绝对值得性质分情况讨论得出当时，为最小时，值最小，由此选取相应的数据进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 当最小时，值最小， 当时，最小值为， 当时， ， 当为最小时，值最小， 最小值为， ， 计算结果中的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，绝对值得性质，熟练掌握新定义下的运算法则是解答本题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)①④；③⑤ (3)0 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，得到，从而通或，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴或， ∵方程无解， 解方程得， ∴x的值为0． 【经典例题八安徽六安绝对值化简问题综合】 【例8】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴对、5、9进行“非负差值运算”的结果是24，故①正确； ②当时，、、6的“非负差值运算”结果为，故②错误； ③∵x、y、z的“非负差值运算”结果为， ∴时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 同理，时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； ∴x、y、z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③错误； ∴正确的有1个． 故选：B． 1．（2024·安徽滁州·模拟预测）对多项式添加1个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如：，称为对多项式的一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作”，…… 下列说法正确的个数是（   ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，再进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：，且，则， ∴原式； 第二种情况：， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 第三种情况，， ∵， ∴，则原式； 第四种情况：， ∵， ∴原式； 再进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：， ∵，则， ∴当时，原式； 当时，原式； 第二种情况：， 当时，原式； 当时，原式； 第三种情况：， ∵， ∴原式； 第四种情况： ∵， ∴原式； 综上所述，经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果不可能为， ∴①错误； 进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：（为任意实数）； 第二种情况：（为任意实数）； 第三种情况：； 第四种情况：； 第五种情况：（为任意实数）； 第六种情况：（为任意实数）； 综上所述，化简结果有4种， ∴②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种，故错误； 经过一次“绝对操作”后的结果有： ；；；； 经过二次“绝对操作”后的结果有： ；；；；；；； 综上所述，③错误； ∴正确的个数是0个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·开学考试）如图，数轴上点分别表示数，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】根据数轴上有理数的位置，绝对值的化简，合并同类项，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，绝对值的化简，合并同类项，熟练掌握数绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果是解题的关键．（1）根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数即可求解；（2），凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围． 【详解】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为， 有， 此常数为， 故答案为：； （2）（为常数）， ， ， 当，时，， 当，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）有理数a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置如图所示， (1)用“>” “=” “<” a___________0， ___________0， ___________0， ___________0， (2)化简：． 【答案】(1)<，<，>，< (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减． （1）根据a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置，结合有理数的加减法法则判断即可； （2）先化简绝对值，再去括号合并同类项． 【详解】（1）∵ ∴，， 故答案为：<，<，>，< （2） 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据含有字母的绝对值化简，解答即可． 本题考查了绝对值的化简，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解：由，得， ∴， ∴， 故A. ，不符合题意；     B. 0，不符合题意；     C. 2，不符合题意；     D. 4，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，根据绝对值的意义，结合，求出的值，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴或； 故选D． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）已知三个数，12，，“它们的和”与“它们的绝对值的和”的差为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减的运算法则是解题的关键．先分别计算三个数的和以及它们的绝对值的和，再求两者的差即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴“它们的和”与“它们的绝对值的和”的差为． 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，，，则；③；④满足的整数的值有3个；⑤若，则，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的化简和求值、有理数加法法则，熟练掌握绝对值的性质和有理数加法法则是解题的关键．根据绝对值的性质逐一判断五个命题的正确性，统计正确个数即可． 【详解】①错误，当时，，即时也成立，故结论不全面； ②正确，，且，则的符号由绝对值大的负数决定，结果必为负； ③正确，，而，两者恒等； ④正确，解得，整数解为、、，共3个； ⑤正确，当且仅当与异号或至少一个为0，故． 综上，②、③、④、⑤正确，共4个． 故选：A． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）0的绝对值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值．根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：根据绝对值的意义，得． 故答案为：0． 7．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．由条件根据绝对值的几何意义，的最大值为，由此可得实数的取值范围． 【详解】解：由于表示数轴上的对应点到对应点的距离减去它到对应点的距离， 故的最大值为， 由题意可得，，即． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知整数同时满足下列两个条件，写出一个符合条件的的值： ． ①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于3且小于5． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，绝对值的意义，根据题意，得到，写出一个符合条件的一个m的值即可． 【详解】解：由题意，得， ∴符合条件的m的值为； 故答案为： 9．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“绝对数”．例如：，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为6，5，1，那么的“绝对数”n为651．则645的“绝对数”为 ；若一个三位正整数x的“绝对数”431，则满足条件的所有x中最大为 ． 【答案】 211 985 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据题意求出符合题意的数值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 根据题意，计算出对应的“绝对数”即可． 【详解】解：∵，，， ∴645的“绝对数”为211； 欲使得x最大，则百位数最大，其次十位数， ∵x的“绝对数”为431， ∴不妨取百位数为9，十位数为8，个位数为5， ∴985的“绝对数”为431，是满足条件的所有x中最大的数． 故答案为：211；985． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若， (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）把x，y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴． 12．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，、在数轴上的位置如图所示，请完成下列各题： (1)则______，______． (2)化简．（用含、的式子表示） 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减，根据数轴判断出式子的正负是解题关键． （1）由数轴可知，，，再根据绝对值的意义求解即可； （2）由数轴可知，，，从而判断和的正负，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知，，， ，， ． 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于有理数a和b，借助有理数的运算法则，定义了一种新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)试用学习有理数的经验和方法探究新运算“”是否具有交换律，请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2)47 (3)不具有交换律，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算， 对于（1），根据新定义的要求解答即可； 对于（2），先根据新定义计算括号内，再根据新定义计算； 对于（3），举一个例子验证即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：不具有交换律，答案不唯一，举出数字或字母例子即可，例如： ， ∵， ∴不具有交换律． 14．2024年6月15 日将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记姆巴佩在跑道上的某一位置为点O，完成下表： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 距点O的距离 提示∶向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定∶向东为正，向西为负 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的乘法，以及绝对值的意义，根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【详解】解：法国球星姆巴佩以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$