专题08 有理数数轴上的动点问题模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题08 有理数数轴上的动点问题模型专训 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 1．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试）已知数轴上、两点对应数分别为、，且，为数轴上一动点，对应数为，当点到、距离和为10时，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点，若P到A、B的距离的比为时，则点P表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法：①相反数等于本身的数只有0；②若，则；③一列数：-2，4，-8，16，-32…按规律．第n个数为；④，则．其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为，b，则两点之间的距离． (1)【问题情境】已知数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为___________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为___________． (2)【情境应用】如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则___________； ②的最小值为___________； (3)【综合运用】在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为3． 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7                     1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，18，点P为数轴上一动点．如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动．若t分钟时点P到点M，N的距离相等，则t的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）已知数轴上两点、对应的数分别为，点为数轴上一动点．其对应的数为． (1)当时，求点到点、点的距离的和； (2)当点到点、点的距离之和为时，求的值； (3)若点以个单位长度/秒向右运动、点以个单位长度/秒的速度同时向左运动，点以个单位长度/秒的速度同时从点向左运动，当点与点相遇时立即以原速返回，与点相遇时又立即返回，如此反复，当点与点重合时，求点所运动的路程； (4)借助于此数轴，若，则的最小值为_____． 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，一条数轴上点A表示，点B表示10，点C表示20．动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）当 秒时，点P运动到O点． （2）当 秒时，． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数4，下列各数，0，1，2所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是______． (2)点A表示数，点B表示数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，则点P表示的数为______． (3)若数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为28，一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”？ 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知在数轴上有三点，点表示的数是，点表示的数是，是动点．若的最小值是5，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）阅读理解，问题解决 【方法指导】数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之的距离，，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离用线段AB的长度表示，有． 问题解决：如图，在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为t秒． (1)当时，线段的长为________；线段的长为________． (2)在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时； (3)当t为何值时，两点间的距离． 【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽六安·期末）同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式表示的是（   ） A．如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为____； B．图中长方形的周长为_____； C．若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为_____； D．分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有_____只． 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．    (1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）． (2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示） (3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，点表示，点表示，点表示，我们称点和点相距个单位长度．动点，同时出发，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒，问：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等时，的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； (3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒． (1)求点A，B两点在数轴上对应的数，及A，B之间的距离． (2)若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉头向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，三点立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？ (3)若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位/秒，点M，N分别是，的中点，设运动的时间为，在运动过程中的值是否发生改变？若不变，请直接写出答案，若改变，说明理由． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作AB． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； (3)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数满足等式，有理数在数轴上分别用点表示，若动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点，则动点从点到达点时，经过的时间是 秒． 7．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足．若点是的中点，为原点，数轴上有一动点，分别表示数轴上与，与两点间的距离，则的最小值是 ． 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在如图所示的数轴上，点表示的数为−7，点表示的数为5． （1）点与点之间的距离为 ． （2）若一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为秒，当，之间的距离为8个单位长度时，的值为 ． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两点的“欢乐点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，2，3，满足，此时点B是点A，C的“欢乐点”．    （1）若数轴上点M表示，点N表示1，点，，分别对应，和4，则点M，N的“欢乐点”为 点； （2）已知P为数轴上一动点，若点N是点P，M的“欢乐点”，则此时点P表示的数为 ． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在数轴上，，两点对应的数分别为，，有一动点从点出发第一次向左运动个单位；然后在新位置做第二次运动，向右运动个单位；在此位置做第三次运动，向左运动个单位，……按照如此规律不断左右运动． （1）当作第次运动后，点对应的数为 ； （2）如果点在某次运动后到达某一位置，使点到点的距离是点到点的距离的倍，此时点的运动次数为 ． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，数轴上、两点对应的数分别为和，点为数轴上的一个动点，表示的数为． (1)数轴上、两点之间的距离是 ． (2)若点到、两点的距离相等，那么 ． (3)使取最小值时的所有整数的和为 ． (4)若点以每秒个单位的速度从原点出发向右运动，秒后，点到点的距离恰好是点到点的距离的倍，求此时的值？（要写出解答过程） 13．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数轴上点表示，点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为_________；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离_________（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离_________（用含有的代数式表示）；_________时，、两点相遇； (2)当、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求的值． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于________； 联系拓广： （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则________；若，则点P表示的数x为________；由此可得：当取最小值时，整数x的所有取值的和为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 有理数数轴上的动点问题模型专训 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据点的移动方向列式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得点表示的数为， 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试）已知数轴上、两点对应数分别为、，且，为数轴上一动点，对应数为，当点到、距离和为10时，则的值为 ． 【答案】3或/或3 【分析】根据题意可得，，进行分类讨论①当时，②当时，③当时，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ①当时， 由图可知，此时， ∵， ∴，则； ②当时， 由图可知，此时， 不符合题意，舍去； ③当时， 由图可知，此时， ∵， ∴，则； 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据题意，画出图形，进行分类讨论，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及绝对值的意义． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点，若P到A、B的距离的比为时，则点P表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解绝对值方程，设点P表示的数是x，根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】解：设点P表示的数是x， 则，， ∵P到A、B的距离的比为， ∴， ∴或， 解得：或0， ∴点P表示的数是或0， 故答案为：或0． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 【答案】(1)7，3 (2)①；②2或 (3)11 【详解】（1）解：根据A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为， 则数轴上表示-2和5的两点之间的距离， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离． 故答案为7，3． （2）解：①数轴上A，B两点表示的数分别为x和， A，B两点之间的距离． ②， ， 解得或． （3）解：点P在线段上，因此x的取值范围为， 计算的值： 当时，； 当时，， 因此： 【点睛】此题综合考查了数轴距离、绝对值性质、绝对值方程、动点问题以及数轴上的几何意义等多个知识点，要求学生具备较强的数形结合能力和代数运算能力． 【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵， ∴， ∴在数轴上表示的数为， 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法：①相反数等于本身的数只有0；②若，则；③一列数：-2，4，-8，16，-32…按规律．第n个数为；④，则．其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用相反数的定义对①进行判断；根据值的意义对②进行判断；根据数列的规律对③进行判断；运用验证法可对④进行判断． 【详解】解：①相反数等于本身的数只有0，所以①正确； ②若，则，所以②错误； ③一列数：-2，4，-8，16，-32…按规律．第n个数为，所以③错误； ④当x=10时，，所以④错误； 正确的说法只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质以及数的规律，综合性较强，有一定的难度． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为，b，则两点之间的距离． (1)【问题情境】已知数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为___________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为___________． (2)【情境应用】如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则___________； ②的最小值为___________； (3)【综合运用】在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为3． 【答案】(1)①；② (2)①或；② (3)经过或3秒后P、Q两点之间的距离为3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）①根据点A表示的数和求解即可；②根据题意得到点C在点A和点B中间，然后列式求解即可； （2）①根据题意得到表示的是有理数x到有理数8的距离为2，然后分x在8左边和x在8右边两种情况，然后分别列式求解即可； ②根据题意得到表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离，然后得出当有理数x在和8之间时，的值最小进而列式求解即可； （3）设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ∴数轴上点B表示的数为； ②∵数轴上有一点C到点A、点B的距离相等， ∴点C在点A和点B中间 ∵点A表示的数为2，点B表示的数为 ∴C表示的数为； （2）解：①表示的是有理数x到8的距离为2 ∴当x在8左边时，； 当x在8右边时，； 综上，或； ②表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离， ∴当有理数x在和8之间时，的值最小 ∴此的最小值为； （3）解：设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴ 整理得， ∴或 ∴或， ∴经过或3秒后P、Q两点之间的距离为3． 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据列方程，求解即可．找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：动点所表示的数是， 是线段的中点， 点所表示的数是， ， ， ，或， 解得或． 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据数轴正确列方程是解题关键．设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数分别为，根据、两点间的距离列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数分别为， 、两点间的距离为12个单位长度， ， 解得：， ∴点在数轴上表示的数为 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离．根据题意易得动点表示的数为，动点表示的数为，则，，列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，动点表示的数为，动点表示的数为， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【答案】(1)或；； (2)经过或秒时动点到点和点的距离之和为； (3)或或． 【分析】本题主要考查了绝对值与数轴的综合应用，两点之间的距离公式，一元一次方程，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，再根据绝对值的意义分三种情况讨论，三种情况分别是当时，当时，当时，分别求解即可； （3）设经过的时间为，当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，，再分两种情况讨论，当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得：或， ， 或， 解得：（前一方程无解）， 故答案为：或；； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，点对应的数可以表示为， ①当时，点在点B左侧， ，， 由题意得：， 解得：； ②当时，点在点和点中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点在的右侧．，， 由题意得：， 解得：； 综上所述，经过或时动点到点和点的距离之和为； （3）设经过的时间为， 当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为 又点到点的距离为， ， 解得：或， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为， 又点到点的距离为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或． 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】B 【分析】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论．先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，18，点P为数轴上一动点．如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动．若t分钟时点P到点M，N的距离相等，则t的值为 ． 【答案】4或24 【分析】此题主要考查了数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用．设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即，点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是，再建立方程求解即可. 【详解】解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ∴，． ∴， ∴或， 解得：或． 综上所述，t的值为或． 故答案为：或 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）已知数轴上两点、对应的数分别为，点为数轴上一动点．其对应的数为． (1)当时，求点到点、点的距离的和； (2)当点到点、点的距离之和为时，求的值； (3)若点以个单位长度/秒向右运动、点以个单位长度/秒的速度同时向左运动，点以个单位长度/秒的速度同时从点向左运动，当点与点相遇时立即以原速返回，与点相遇时又立即返回，如此反复，当点与点重合时，求点所运动的路程； (4)借助于此数轴，若，则的最小值为_____． 【答案】(1) (2)或 (3)个单位长度 (4) 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可求解； （）由题意可得，分，和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由题意可得点与点经过秒重合，进而即可求出点所运动的路程； （）由绝对值的几何意义可得当时，的最小值为，当时，的最小值为， 进而可得当，时，取最小值，据此解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的性质和意义，解一元一次方程，有理数混合运算的实际应用，掌握绝对值的性质和意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对应的数分别为，点对应的数为， ∴， 即点到点、点的距离的和为； （2）解：由题意得，， 即， 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或； （3）解：∵（秒）， ∴ 点与点经过秒重合， ∵个单位长度， ∴当点与点重合时，点所运动的路程为个单位长度； （4）解：由绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为，当时，的最小值为， ∵， ∴，满足 ， ∴当，时，取最小值，最小值， 故答案为：． 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离．分当点在点的左侧和点在点的右侧时，两种情况讨论，根据点、两点之间的距离为7个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或； 故选：D． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，一条数轴上点A表示，点B表示10，点C表示20．动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）当 秒时，点P运动到O点． （2）当 秒时，． 【答案】 6 或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离的含义，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）先表示对应的数，可得，再解方程可得答案； （2）求出Q从C运动到B需要10秒；①P在上运动，此时Q在上，P表示的数为，Q表示的数为，故，方程无解，这种情况不存在；②当P在上运动时，P表示的数为，若Q在上，有，解得；若Q在上，有，解得． 【详解】解：（1）∵从到时表示的数为， 当与重合时， ∴， 解得：； 故答案为：6 （2）∵ （秒）， ∴Q从C运动到B需要10秒； ①P在上运动，即时， 此时Q在上，P表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 方程无解，这种情况不存在； ②当P在上运动时，； P表示的数为， 若Q在上，即，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 若Q在上，即时，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当 秒或 秒时，； 故答案为： 或 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数4，下列各数，0，1，2所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是______． (2)点A表示数，点B表示数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，则点P表示的数为______． (3)若数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为28，一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”？ 【答案】(1)． (2)或或． (3)或 ． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离公式及“联盟点”定义的应用，熟练掌握数轴上两点距离公式（、为数轴上两点表示的数 ），并通过分类讨论不同“联盟点”情况列方程求解是解题的关键． （1）根据“联盟点”定义，计算各点到（表示 ）、（表示 ）的距离，判断是否有一点到另两点距离相等． （2）分三种情况，即是、的“联盟点”，是、的“联盟点”，是、的“联盟点”，利用数轴上两点距离公式列方程求解． （3）先表示出运动秒后、对应的数，再分三种情况（是、的“联盟点”；是、的“联盟点”；是、的“联盟点” ），根据“联盟点”定义列方程求解． 【详解】（1）解：分别计算各点到、的距离： 对于：，，距离不相等，不是． 对于：，，距离不相等，不是． 对于：，，距离相等，是． 对于：，，距离不相等，不是． 故答案为． （2）解：设点表示的数为． 当是、的“联盟点”时： 则或 解得或（与重合，舍去 ）， ∴． 当是、的“联盟点”时： ∴或 解得（与重合，舍去 ）或， ∴． 当是、的“联盟点”时： 或（无解 ） 解得． 综上，表示的数为或或． （3）解：运动秒后，表示的数为，表示的数为． 当是、的“联盟点”时： ∴或 解得或． 在时， P位置：． Q位置：（与B重合），不符合题意． 当是、的“联盟点”时： 则或 解得（舍去 ）或． 当是、的“联盟点”时： 则或 解得或（舍去 ）． 在时， P位置：． Q位置：． P和Q重合（同一点）不符合题意 ， 综上，或 ． 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可． 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，， ，③错误； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，， 当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，， 由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知在数轴上有三点，点表示的数是，点表示的数是，是动点．若的最小值是5，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，绝对值的意义，解一元一次方程等知识，根据题意可知，当点C在之间时，有最小值，最小值为：，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当点C在之间时，有最小值， 最小值为：， ∴，或 解得：或， 故答案为：2或 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）阅读理解，问题解决 【方法指导】数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之的距离，，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离用线段AB的长度表示，有． 问题解决：如图，在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为t秒． (1)当时，线段的长为________；线段的长为________． (2)在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时； (3)当t为何值时，两点间的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用；掌握数轴上两点的距离计算是解题的关键． （1）根据题意表示出点P和点Q表示的数，进而求出时点P和点Q表示的数，再根据两点距离计算公式求值即可； （2）根据题意表示出，的长度，然后根据列方程求解即可； （3）首先表示出，的长度，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）已知点A表示，点B表示，点C表示， 由动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动， 可得动点P表示的数为， 由动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 可得动点Q表示的数为， 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， ，． （2）点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点Q出发后到达点B之前， ， ， 当时，， 或， 解得或． （3）点P表示的数为， 点Q表示的数为， ， ， ， 则， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，不合题意舍去； 综上所述，或时，． 【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25七年级上·安徽六安·期末）同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式表示的是（   ） A．如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为____； B．图中长方形的周长为_____； C．若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为_____； D．分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有_____只． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据题目中所描述的数量之间的关系列出正确的代数式，再进行判断即可． 【详解】解：A选项：如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为，故A选项中所求的量可以用代数式表示； B选项：图中长方形的周长为，故B选项中所求的量不可以用代数式表示； C选项：若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为，故C选项中所求的量可以用代数式表示； D选项：分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有只，故D选项中所求的量可以用代数式表示． 故选：B． 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．    (1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）． (2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示） (3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ． 【答案】(1) (2) (3)100 【分析】（1）根据线段的和与差可得，即可求得； （2）根据P的速度和矩形的周长，求得P运动的总时间，进一步求得矩形的速度，即可求得； （3）根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度，求解即可． 【详解】（1）解：若矩形速度为l，则点A的速度也为l，则运动的距离为，故， 即的值为 故答案为：． （2）解：点P的速度为2，则运动总时间为（秒）， 从M到N，长度为70，所以矩形运动速度为， 所以当点Р在边上时，点Р对应的数为， 故答案为：． （3）解：点P对应的数不变，说明矩形向右运动，点Р向左运动，二者速度“抵消”了， 所以矩形的运动速度与点P的运动速度相等， 所以， 解得， 故答案为：100． 【点睛】本题看了数轴，矩形的周长，动点问题等，根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，点表示，点表示，点表示，我们称点和点相距个单位长度．动点，同时出发，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒，问：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等时，的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程在数轴上的应用，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏．分为①当点在上，点在上时；②当点在上，点在上时；③当点在上，点在上时；④当点在上，点在上时；四种情况讨论即可求解． 【详解】解：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等有种可能， ①当点在上，点在上时， 则， 解得：； ②当点在上，点在上时， 则， 解得：； ③当点在上，点在上时， 则， 解得：； ④当点在上，点在上时， 则， 解得：； 综上所述，的值为或或或， 故答案为：或或或． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【答案】(1)； (2)3或5秒 (3)4.8或24 【分析】（1）根据两点间的距离可确定点表示的数，根据的运动规律可表示出点表示的数； （2）分别根据、两点的运动规律，用变量表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得； （3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得． 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4， 点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：， 解得：； 若点在点左侧时：， 解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分， 点在点的左侧， ， ， 重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半， ， ∵， ， 解得：； 如图2，均在线段外， ， 重叠部分面积， ， ∵， ， 解得：， 故答案为：4.8或24． 【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键． 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； (3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1；4 (2)存在，的值为或4 (3)24个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，点为点与点的中点，求出点表示的数，设与重合的点为，列出方程解出的值，即可得出答案； （2）分三种情况①点在点的左侧；②点在点和点之间；③点在点的右侧，分别列出方程，求出对应的值，即可解答； （3）设经过分钟后点与点重合，根据题意列出方程，解出的值，即可求出点所经过的总路程． 【详解】（1）解：由题意得，点为点与点的中点， 点表示的数为， 设与重合的点为， 由题意得，， 解得：， 与重合的点为4． 故答案为：1；4． （2）解：若点在点的左侧，则，， 点到点、点的距离之和为6， ， 解得：； 若点在点和点之间，则，， 此时，不符合题意； 若点在点的右侧，则，， 点到点、点的距离之和为6， ， 解得：； 存在点，的值为或4． （3）解：设经过分钟后点与点重合， 由题意得，， 解得：， 当点与点重合时，点所经历的运动时间为4分钟， 点所经过的总路程是个单位长度． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒． (1)求点A，B两点在数轴上对应的数，及A，B之间的距离． (2)若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉头向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，三点立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？ (3)若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位/秒，点M，N分别是，的中点，设运动的时间为，在运动过程中的值是否发生改变？若不变，请直接写出答案，若改变，说明理由． 【答案】(1)点A，B两点在数轴上对应的数分别为，200，A，B之间的距离为300 (2)P走的路程为270 (3)不变， 【分析】本题考查了非负数，数轴，一元一次方程的应用，理解题意，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据题意和非负数的性质可求出x，y的值，即可得； （2）设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度．由题意得，，解得，或，即可得； （3）运动t秒后A，P，B三点所表示的数为,根据得，，，，根据点M，N分别是，的中点得N表示的数为，M表示的数为，可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 即点A，B两点在数轴上对应的数分别为，200，A，B之间的距离为300； （2）解：设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度． 由题意得， 解得：， 则此时点P移动的路程为， 即P走的路程为270； （3）解：运动t秒后A，P，B三点所表示的数为，，， ∵， ∴，，，， ∵M，N分别是，的中点， ∴N表示的数为，M表示的数为， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)①，；②当秒时，恰为线段的中点；③点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度 【分析】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作AB． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； (3)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点R行驶的总路程为；R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数为 (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的意义分析即可； （2）根据题意，三点重合，则只需计算点的位置以及运动时间即可； （3）根据题意分情况讨论，根据情况建立一元一次方程解决问题． 【详解】（1） 故答案为： （2）当点P到达原点O时，动点R从原点O出发， 则到达点需要：秒 则此时点的位置为 设秒后停止运动， 则 解得 此时点的位置在，即点也在点位置，其对应的有理数为： 点的运动时间为，速度为个单位长度每秒，则总路程为 （3）存在，的值为： 理由如下：， 11秒后点停止运动 ①当分别位于的两侧时，如图， 此时， 表示的有理数为，表示的有理数为 解得 ②当重合时，即第一次相遇时，如图， 则 解得 ③当点从点返回时，则点表示的有理数为 若此时点未经过点，则 则 解得，则此种情况不存在 则此时点已经过点，，如图， 则 解得 ④当在点右侧重合时，如图， 则 解得 此时点都已经到达点，此时即三点重合，停止运动 故t的值为： 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，用数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是数轴和有理数的加减，掌握数轴上点的移动和数的大小变化规律是解题的关键． 根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 点向左移动5个单位长度到达点，则点表示的数为， 点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每向左运动秒就向右运动秒，可得每经过秒就向左移动个单位，根据可得答案．正确得出数轴上动点的运动规律是解题关键． 【详解】解：∵动点每向左运动秒就向右运动秒， ∴每经过秒就向左移动个单位， ∴，即经过个秒后，又向左移动秒， ∴个单位， ∴动点运动到第秒时所对应的数是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】规定向右为正，向左为负，构造数的和为3的方式就是不同运动方案 【详解】规定向右为正，向左为负， ∵；； ； ； ； ∴质点的不同运动方案共有5种， 故选D． 【点睛】本题考查了相反意义的量，有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数字类的规律探索，根据题意可知每6秒点P完成一次前进和一次后退运动，且每6秒内点P向数轴正方形运动2个单位，再由即可得到答案． 【详解】解：∵动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动， ∴每6秒点P完成一次前进和一次后退运动，且每6秒内点P向数轴正方形运动2个单位， ∵， ∴为， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的数的运算．根据点在线段上和线段上以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，计算即可． 【详解】解：点在线段上， ， ； 点在线段上， ， ， ， 综上： ∴最大值为，最小值为， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数满足等式，有理数在数轴上分别用点表示，若动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点，则动点从点到达点时，经过的时间是 秒． 【答案】4 【分析】本题主要查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，有理数的减法．根据绝对值的非负性，可得，从而得到点，点间的距离，点，点间的距离，进而求出动点的速度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴点，点间的距离为，点，点间的距离为， ∵动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点， ∴动点每秒移动个单位长度， ∴动点从点到达点时，经过的时间是秒． 故答案为：4． 7．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足．若点是的中点，为原点，数轴上有一动点，分别表示数轴上与，与两点间的距离，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性，数轴上两点之间的距离，根据题意，分别求出的值，点的值，再根据两点之间距离的计算方法即可求解，掌握绝对值的性质，数轴上两点之间的距离的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即点表示的数为， 如图所示， 当点在点的右边时，设为位置，表示的数为， ∴，， ∴，则； 当点在点之间时，设为位置，表示的数为， ∴， ∴， ∴； 当点在点坐标时，设为位置，表示的数为， ∴， ∴； 综上所述，当点在点及点坐标时，有最小值，且最小值为， 故答案为： ． 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在如图所示的数轴上，点表示的数为−7，点表示的数为5． （1）点与点之间的距离为 ． （2）若一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为秒，当，之间的距离为8个单位长度时，的值为 ． 【答案】 或/或 【分析】本题考查数轴上两点间距离，一元一次方程应用． （1）根据题意利用两点间距离公式即可求出； （2）根据题意分情况讨论列出方程解出即可． 【详解】解：（1）∵点表示的数为−7，点表示的数为5， ∴点与点之间的距离为：； （2）由（1）知：， ①当，没有相遇时，之间的距离为8个单位长度， ∴，即：，解得：； ②当，相遇后之间的距离为8个单位长度， ∴根据题意得：，解得：， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两点的“欢乐点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，2，3，满足，此时点B是点A，C的“欢乐点”．    （1）若数轴上点M表示，点N表示1，点，，分别对应，和4，则点M，N的“欢乐点”为 点； （2）已知P为数轴上一动点，若点N是点P，M的“欢乐点”，则此时点P表示的数为 ． 【答案】 或或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离公式分别计算出点，，到点M和到点N的距离，再根据“欢乐点”的定义进行逐一判断即可； （2）设点P表示的数为x，则，根据“欢乐点”的定义可得或，即或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴点是点M，N的“欢乐点”； 同理可得，， ∵，， ∴点，都不是点M，N的“欢乐点”， 故答案为：； （2）设点P表示的数为x， ∵数轴上点M表示，点N表示1， ∴， ∵点N是点P，M的“欢乐点”， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或或， 综上所述，点P表示的数为或或或， 故答案为；或或或． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在数轴上，，两点对应的数分别为，，有一动点从点出发第一次向左运动个单位；然后在新位置做第二次运动，向右运动个单位；在此位置做第三次运动，向左运动个单位，……按照如此规律不断左右运动． （1）当作第次运动后，点对应的数为 ； （2）如果点在某次运动后到达某一位置，使点到点的距离是点到点的距离的倍，此时点的运动次数为 ． 【答案】 -1014 7次 【分析】（1）根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可； （2）设点P对应的有理数的值为x，分情况进行解答：点P在点A的左侧，点P在点A、B之间、点P在点B的右侧三种情况． 【详解】解：（1）由题意可得： -4-1+2-3+4-5+6-7+…+2020-2021， =-4+1010-2021， =-1014． 答：点P所对应的有理数的值为-1014； （2）点P会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的4倍， 设点P表示的为x， 当点P在点A的左边时，8-x=4（-4-x），得x=-8， 当点P在点A和点B之间时，8-x=4[x-（-4）]，解得，x=-（舍去）， 当点P在点B的右边时，x-8=4[x-（-4）]，解得，x=-8（舍去）， 故此时点P表示的有理数为-8． 所以点的运动次数为7次． 【点睛】本题考查数轴和解一元一次方程，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，数轴上、两点对应的数分别为和，点为数轴上的一个动点，表示的数为． (1)数轴上、两点之间的距离是 ． (2)若点到、两点的距离相等，那么 ． (3)使取最小值时的所有整数的和为 ． (4)若点以每秒个单位的速度从原点出发向右运动，秒后，点到点的距离恰好是点到点的距离的倍，求此时的值？（要写出解答过程） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查数轴，绝对值的几何意义，一元一次方程，熟练掌握数轴上两点之间的距离表示方法并会应用是解题的关键． （1）利用两点之间距离求解即可； （2）由点到、两点的距离相等，可知点在、中间，利用，列式求解即可； （3）利用表示点到、两点的距离和，结合数轴分类讨论即可求解； （4）秒后，点的位置为，则点到点的距离为，点到点的距离为，利用点到点的距离恰好是点到点的距离的倍，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵、两点对应的数分别为和， ∴、两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵点到、两点的距离相等， ∴点在、中间， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：∵表示点到点的距离，表示点到点的距离， ∴， 当点在点左侧时，， ∴； 当点在点右侧时，， ∴； 当点在点、点中间时（包括点、点），， ∴； ∴在点、点中间时（包括点、点）最小， 此时所有整数为，，，，，，， 和为， 故答案为：； （4）解：秒后，点的位置为（在点右侧）， 则点到点的距离为，点到点的距离为， 根据题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上，的值为或． 13．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 【答案】(1)①；②； (2)①6或10；②20 (3)或6 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）①根据点A表示的数和求解即可； ②根据题意得到点C在点A和点B中间，然后列式求解即可； （2）①根据题意得到表示的是有理数x到有理数8的距离为2，然后分x在8左边和x在8右边两种情况，然后分别列式求解即可； ②根据题意得到表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离，然后得出当有理数x在和8之间时，的值最小进而列式求解即可； （3）设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ∴数轴上点B表示的数为； ②∵数轴上有一点C到点A、点B的距离相等， ∴点C在点A和点B中间 ∵点A表示的数为8，点B表示的数为 ∴C表示的数为； （2）解：①表示的是有理数x到8的距离为2 ∴当x在8左边时，； 当x在8右边时，； ②表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离， ∴当有理数x在和8之间时，的值最小 ∴此的最小值为； （3）解：设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为 ∴ 整理得， ∴或 ∴或 ∴经过或6秒后P、Q两点之间的距离为2． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数轴上点表示，点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为_________；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离_________（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离_________（用含有的代数式表示）；_________时，、两点相遇； (2)当、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用，用含的代数式表示点运动后所表示的数及分类讨论是解题关键． （1）当时，点表示的数是，点表示的数是，即可求出、两点在折线数轴上的和谐距离；由题意可得时，点、都在折线段上运动，点表示的数为，点N表示的数为，进而即可求出答案． （2）分，和，并根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点表示的数是，点表示的数是， ∴、两点在折线数轴上的和谐距离． 由题意可知，秒时点运动到点，点运动到点，秒时点运动到点， ∴时，点、都在折线段上运动， 点表示的数为， 点N表示的数为， ∴，两点间的和谐距离， 、两点间的和谐距离． ∵、都相遇时，两点表示的数相同， ∴， 解得． 答案为：；；；． （2）解：由（1）知，时点运动到点，点运动到点， ∴当时，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当，即点在折线段运动时， 可得， 解得或， 当时，点从点向点运动，速度为2个单位/秒，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，或． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于________； 联系拓广： （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则________；若，则点P表示的数x为________；由此可得：当取最小值时，整数x的所有取值的和为________． 【答案】（1）13；；或7；（2）6，或6；22 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据P是动点，分析点P的位置，再计算即可． 【详解】解：（1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于； 数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； 若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； 故答案为：13；；或7； （2）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴ ∵， ∴点在线段外， 当P在N左边，即，， 解得，； 当P在M点右边时，即，， 解得，； ∴点表示的数为或6； 当取最小值时，整数x在和7之间，可能为 ∴； 故答案为：6，或6；22． 学科网（北京）股份有限公司 $$