专题07 有理数90道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

第07讲 有理数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题 题型八 有理数的规律计算题 题型九 有理数的新定义运算 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算：． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）用简便方法计算： 4．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 8．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 9．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 10．（24-25七年级上·安徽六安·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【经典计算题二 有理数的减法计算】 11．（24-25七年级上·安徽六安·期中）计算：． 12．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 13．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 14．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 17．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 18．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 19．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）同学们都知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算：______． (2)若，求x的值． (3)表示数轴上所对应的点到4和所对应的两点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，并写出解题过程． 20．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 21．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算和猜想∶ (1) (2) 22．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 25．（2024七年级上·安徽亳州·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 26．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试） 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）对于整数a，b，规定一种新的运算，“※”即等于由a开始及其以后连续个整数的积．如，．那么的值等于多少？ 29．（24-25七年级上·安徽池州·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 30．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）阅读与思考 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用运算律解释“负负得正”今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数正数”“负数正数”“正数负数”与“负数负数”四种类型．对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数正数”和“负数正数”，可根据乘法与加法的关系进行． 例如：；① ．② 探索2：对于“正数负数”，可以转化为“负数正数”得出结论． 例如： （依据1：________） ． 即．③ 综合①与②，①与③的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数．【结论】 例如：，而与的结果都是-30，也符合上述结论． 探索3：对于“负数负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数． 对于这一猜想，我分析如下： （依据2：________） ． 所以，，即的积与的积互为相反数．因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数． …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：________；依据2：________； (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 31．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算：． 32．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 34．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 35．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）脱式计算．（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)． 37．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以． 请你运用小明的解法计算：． 38．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在学习了有理数的四则运算后，老师布置了一道计算题，小明的演算过程如下：     第一步     第二步 ． 第三步 请认真阅读小明的解题过程并完成相应任务． (1)小明运算步骤中第一步对应的依据为________． (2)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________． (3)请直接写出正确的结果．   40．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 41．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）计算． 42．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）计算： (1)； (2)． 43．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： 44．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 45．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）火眼金睛（寻找错误并纠正） 计算：．    【陷阱】________． 46．（24-25七年级上·安徽六安·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 47．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 48．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 49．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）阅读下列材料，解决问题． 材料一：对于任意有理数a，b，定义新运算“”：． 例如：； 材料二：规定表示大于x的最小整数，例如：，，根据上述材料解答下列问题： (1)______；______． (2)求的值． (3)若有理数p，q满足，求的值． 50．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算，叫做除方，如等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”． （1）计算：______，______． 【深入思考】 我们知道，在计算有理数的除法时，我们会将有理数的除法转化为乘法，那有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？如（幂的形式）． （2）请仿照上面的算式，将转化为幂的形式，并写出运算过程． （3）计算：． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 51．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算：．              52．（24-25七年级上·广西贺州·期中）计算：． 53．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算： (1)； (2) 54．（2025七年级上·安徽淮北·专题练习）用你喜欢的方法计算． (1)； (2)； (3) (4)． 55．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： ． 56．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若“⊙”表示一种新运算，规定． 例： 请你计算： 57．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）先观察下列等式再完成题后问题． (1)请你猜想：________． (2)探究并计算：． 58．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算下面各题． ① ② 59．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)与的和除以与的差，得多少？ 60．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【经典计算题七 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题】 61．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简绝对值： (1)； (2)． 62．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知的相反数是，，求的值． 63．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，的绝对值为2，求．          64．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求代数式的值． 65．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若，的绝对值相等，且，异号，，互为倒数，，是绝对值最小的有理数，求的值． 66．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）列式并计算： (1)与的绝对值的差． (2)加上3与的积所得的和是多少？ 67．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，例如：；当时，例如：，根据以上阅读完成： (1)____________． (2)计算：． 68．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 69．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 70．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法　思路：原式；对吗？答：______． 解法　提示：先计算原式的倒数：，故原式等于． 请你用解法的方法计算：． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 71．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）观察下列算式：，，，，…… 根据上述规律计算：． 72．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）若，， ， ···，照此规律试求： (1) ， (2)计算：； (3)计算： 73．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知：；；；…… (1)探索：第n个式子= ； (2)按上述规律计算：……. 74．（24-25七年级上·安徽六安·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 75．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … 若（都是正整数）满足上面的规律． (1)试确定的值； (2)求的值． 76．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第4个等式：________________； (2)用含有的代数式表示第个等式：________________（为正整数）； (3)求的值． 77．（24-25七年级上·安徽池州·期中）探索规律，观察下面算式，解答问题． ；；；；…… (1)请猜想________ (2)请猜想________：（n是整数且） (3)试计算： 78．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知，按照这个规律完成下列问题： (1)__________________． (2)猜想：______． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 79．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）仔细观察下列三组数： 第一组：，，，，，……； 第二组：，，，，，……； 第三组：，，，，…… (1)这三组数各是按什么规律排列的？ (2)第二组的第个数是第一组的第个数的多少倍？ (3)取每组数的第个数，计算这三个数的和． 80．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：    (1)计算；； (2)计算：． 【经典计算题九 有理数的新定义运算】 81．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）我们定义一种新运算：．求的值． 82．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）我们定义一种新运算：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 83．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）我们定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 84．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a，b为有理数，若规定一种新的运算“”，，请根据新定义的运算计算： (1)； (2)． 85．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．，，，请你想一想： (1)________；________； (2)若，那么________（填入“”或“”）； (3)计算：． 86．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 87．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)试用学习有理数的经验和方法探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 88．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算： ；； ；． 观察上述各式，解答下列问题． (1) ； ． (2)请计算：的值． 89．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 90．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题 题型八 有理数的规律计算题 题型九 有理数的新定义运算 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键．根据有理数的加法运算法则进行计算． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法运算法则即可解答． （1）直接根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据零与任何数的和不变即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，直接利用运算律把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)82； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可； （5）根据有理数的加法运算法则计算即可； （6）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 9．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）参照（1）的解题思路按照有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ， ， 故答案为：；；． （2）解：原式， ， ． 10．（24-25七年级上·安徽六安·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 11．（24-25七年级上·安徽六安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此计算即可，熟知有理数的减法法则是解题的关键． 【详解】 ． 12．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）运用有理数的减法法则运算即可； （2）运用有理数的减法法则运算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 13．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 14．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)21 (4) (5) (6)119 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可 （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 15．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 17．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵, 即, ∴， 故答案为：； （4）解： ． 18．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【答案】(1)3 (2) (3)168 (4) (5)7 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ． 19．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）同学们都知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算：______． (2)若，求x的值． (3)表示数轴上所对应的点到4和所对应的两点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，并写出解题过程． 【答案】(1)14 (2)或9 (3)，，0，1，2，3，4，见解析 【分析】（1）利用绝对值的意义求解； （2）利用绝对值的意义求解； （3）由绝对值的几何意义可知，的最小距离是6，则，求出此范围内的整数即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 故答案为：14； （2）解：表示与3的距离是6， 与3或9与3在数轴上所对应的两点之间的距离是6， 或9， 的值为或9； （3）解：表示数轴上表示的点与表示4的点和表示的点的距离和， 和间的距离是6， ， 是整数， 的值为，，0，1，2，3，4． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值和有理数的意义，解答本题的关键是掌握绝对值的几何意义． 20．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】(1)正，负，把绝对值相减 (2)；答案不唯一 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 故答案为：正，负，把绝对值相减； （2）解： ， 故答案为：； 答案不唯一， 设，，， 左边， 右边， ， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 21．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算和猜想∶ (1) (2) 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题主要考查了有理数和零相乘，掌握任何数与零的积均为零成为解题的关键． （1）直接根据任何数与零的积均为零即可解答； （2）直接根据任何数与零的积均为零即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 22．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 23．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 24．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 25．（2024七年级上·安徽亳州·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)； (7)1； (8) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． （1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （6）根据两数相乘，异号得负进行计算； （7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算； （8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 26．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 27．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试） 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，计算括号内的加法后，利用乘法交换律和结合律进行计算即可. 【详解】解： 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）对于整数a，b，规定一种新的运算，“※”即等于由a开始及其以后连续个整数的积．如，．那么的值等于多少？ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 则． 29．（24-25七年级上·安徽池州·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 【答案】(1) (2)，，不满足结合律 【分析】（1）利用新定义得到，然后进行有理数的混合运算； （2）利用新定义计算出，，则可判定运算“@”不满足结合律． 本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，即； 而，，即， 所以，所以运算“@”不满足结合律． 30．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）阅读与思考 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用运算律解释“负负得正”今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数正数”“负数正数”“正数负数”与“负数负数”四种类型．对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数正数”和“负数正数”，可根据乘法与加法的关系进行． 例如：；① ．② 探索2：对于“正数负数”，可以转化为“负数正数”得出结论． 例如： （依据1：________） ． 即．③ 综合①与②，①与③的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数．【结论】 例如：，而与的结果都是-30，也符合上述结论． 探索3：对于“负数负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数． 对于这一猜想，我分析如下： （依据2：________） ． 所以，，即的积与的积互为相反数．因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数． …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：________；依据2：________； (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． 【答案】(1)乘法交换律，乘法分配律 (2)见详解 【分析】（1）根据解答过程可知依据1是运用了乘法交换律，依据2 是运用了乘法结合律． （2）仿照“探索3”的思路，解答即可． 本题主要考查了运用运算律解释“负负得正”，理解阅读内容是解题的关键． 【详解】（1）解： （依据1：乘法交换律） ． （依据2：乘法分配律） ． 故答案为：乘法交换律，乘法分配律． （2）解： （乘法分配律） ． 所以，， 即的积与的积互为相反数． 因为， 所以． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 31．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，去括号先计算乘法再相加即可 【详解】解：原式 ； 32．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除，0除以任何不为0 的数都得0，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数除法，掌握有理数除法运算法则，是解答本题的关键． 33．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 34．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2)10 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则． （1）先确定符号，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 36．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）脱式计算．（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先计算小括号里面的加法；然后计算中括号里面的乘法；最后计算中括号外面的除法即可； （2）首先把每个分数都化成两个分数的差的形式；然后根据加法结合律计算即可； （3）首先把化成；然后根据一个数除以分数的运算方法计算即可． 此题主要考查了有理数的乘除法混合运算，加法运算，分数混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 37．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以． 请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算．根据题意利用小明解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】解：原式的倒数为 ； ∴． 38．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在学习了有理数的四则运算后，老师布置了一道计算题，小明的演算过程如下：     第一步     第二步 ． 第三步 请认真阅读小明的解题过程并完成相应任务． (1)小明运算步骤中第一步对应的依据为________． (2)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________． (3)请直接写出正确的结果． 【答案】(1)除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数 (2)二，运算符号错误（答案不唯一，合理即可） (3) 【分析】本题考查有理数的除法以及乘法分配律； （1）根据有理数的除法法则回答即可； （2）根据乘法法则求解即可； （3）先把除法化为乘法，再利用乘法分配律求解即可 【详解】（1）小明运算步骤中第一步对应的依据为：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数； （2）小明的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是运算符号错误； （3）           ． 40．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)甲 (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握运算方法是解题的关键． （1）根据解题过程判断即可； （2）先求出代数式的倒数，再求原数解题即可． 【详解】（1）解：乙； （2）解：原式倒数为 ； 原式． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 41．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）计算． 【答案】当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握“负数的偶数次方为正数，负数的奇数次方为负数”是解答本题的关键．根据“负数的偶数次方为正数，负数的奇数次方为负数”计算即可． 【详解】解：当为偶数时，；当为奇数时，． 42．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是乘方运算，根据乘方运算的运算法则是解本题的关键； （1）由，再计算即可； （2）由，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 43．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 44．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 45．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）火眼金睛（寻找错误并纠正） 计算：．    【陷阱】________． 【答案】见解析 【分析】利用有理数的乘方运算法则即可求解． 【详解】没有正确分清底数，导致出错． 【正解】． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 46．（24-25七年级上·安徽六安·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【答案】(1)连线见详解， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算，连线，找出规律即可； （2）根据（1）中的规律，先展开，再根据分数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：连线如图所示， ∴； （2）解： ． 47．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【答案】(1)①，②1.331，1331000 (2)移动规律：①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数的乘方的定义是解题的关键； （1）根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）观察（1）的计算结果，即可得出移动规律． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：1.331，1331000； （2）解：观察（1）的计算结果，我们可以得到①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位，②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位． 48．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方； （1）根据有理数的乘方和对数的定义求解即可； （2）根据结合对数的定义可得，进而可求m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵，而， ∴， ∴． 49．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）阅读下列材料，解决问题． 材料一：对于任意有理数a，b，定义新运算“”：． 例如：； 材料二：规定表示大于x的最小整数，例如：，，根据上述材料解答下列问题： (1)______；______． (2)求的值． (3)若有理数p，q满足，求的值． 【答案】(1)，25 (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，乘方运算，有理数的加减混合运算，理解和的定义是解题的关键． （1）根据和的定义计算即可； （2）根据的定义，原式可变形为，再进行加减运算即可； （3）根据可得，进而可得求出p的值，再根据的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，25； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 50．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算，叫做除方，如等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”． （1）计算：______，______． 【深入思考】 我们知道，在计算有理数的除法时，我们会将有理数的除法转化为乘法，那有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？如（幂的形式）． （2）请仿照上面的算式，将转化为幂的形式，并写出运算过程． （3）计算：． 【答案】（1）；；（2），运算过程见解析；（3）． 【分析】（1）根据除方的定义进行求解即可； （2）根据除方的定义列出对应的式子，再把除法变成乘法即可得到答案； （3）根据除方的定义列出对应的式子，再根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； ； 故答案为：；； （2），运算过程如下： ； （3） ． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 51．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘除法运算法则是关键． 根据有理数的混合运算，先算乘除，再算加减，注意符号变化． 【详解】解：                  ． 52．（24-25七年级上·广西贺州·期中）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算法则． 先算乘法，再算加减即可． 【详解】解：原式． 53．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，在处理这类问题时，首先应简化表达式，利用算术法则进行变形，然后逐步计算，最后得到结果.尤其需要注意运算顺序，先处理括号内的运算，然后是乘法和除法，最后是加法和减法.在计算过程中，正确处理正负号和绝对值，确保计算的准确性. （1）直接利用有理数的加减法运算法则进行化简计算即可； （2）利用乘法分配律去括号，进一步运算有理数的乘法与绝对值运算，最后计算有理数的加减法即可. 【详解】解：（1） 原式 （2） 原式 54．（2025七年级上·安徽淮北·专题练习）用你喜欢的方法计算． (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）利用乘法分配律即可求解． （2）将百分数化为分数，除法变成乘法，逆用乘法分配律即可求解． （3）将原式化为，利用乘法分配律即可求解． （4）利用有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 55．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据裂项相消法即可解答 【详解】解： 56．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若“⊙”表示一种新运算，规定． 例： 请你计算： 【答案】6 【分析】本题考查的是有理数的混合运算和新定义，理解新定义，列出混合运算的式子是解答此题的关键．根据新运算规定，列出式子求解即可． 【详解】解： ． 57．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）先观察下列等式再完成题后问题． (1)请你猜想：________． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法及加减法运算是解题的关键． （1）根据题意找到规律，根据规律进行求解； （2）由（1）中的规律，裂项相消可进行求解； 【详解】（1）解： （2）解： 58．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算下面各题． ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，把相同的算式看作一个整体进行计算是解题的关键． ①设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可； ②设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：①设，，则 原式 ． ②设，，则 原式 ． 59．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)与的和除以与的差，得多少？ 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数四则混合运算法则是解题的关键， （1）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （2）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （3）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （4）根据题意列出式子，再利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：由题可得： ． 60．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 【经典计算题七 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题】 61．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简绝对值： (1)； (2)． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中． 根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，判断即可． 【详解】（1）∵ ， ∴， ∴． （2）∵ ， ∴， ∴． 62．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知的相反数是，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了相反数，有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相反数的定义得出的值，进而得到的值，然后代入计算即可． 【详解】解：的相反数是， ， ， ， ． 63．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，的绝对值为2，求． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数及绝对值的意义，根据题意可得，，，代入原式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵m、n互为相反数， p、q互为倒数，     ∴，，     ∴的绝对值为2， ∴， ∴，     ∴． 64．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求代数式的值． 【答案】或 【分析】本题考查了相反数、绝对值、乘方、倒数的概念及运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据a，b互为相反数得到，根据c，d互为倒数得到，根据m的平方为4得到，再代入原式即可求解． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∵的平方为4， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 65．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若，的绝对值相等，且，异号，，互为倒数，，是绝对值最小的有理数，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值，倒数；根据题意得到，，，，分别代入到原式计算即可． 【详解】解：依题意，得，，，， 所以， 所以当时，原式； 当时，原式． 综上所述，原式． 66．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）列式并计算： (1)与的绝对值的差． (2)加上3与的积所得的和是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的减法与有理数的加法． （1）先表示出的绝对值，再表示出，最后化简计算即可； （2）先表示出3与的积，再表示出与3与的积的和，最后再计算即可． 【详解】（1） ； （2） 67．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，例如：；当时，例如：，根据以上阅读完成： (1)____________． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减计算，正确去绝对值是解题的关键． （1）由得到，再根据绝对值的意义可得答案； （2）先去绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： = =． 68．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查相反数、倒数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及倒数可直接进行求解、的值， （2）根据（1）及绝对值的非负性可得、的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， 故答案为；； （2）由题意，得， 所以， 所以． 69．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】根据运算律，倒数的定义解答即可． 本题考查了有理数的除法，运算律的应用，倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式的倒数是 ． 故原式． 70．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法　思路：原式；对吗？答：______． 解法　提示：先计算原式的倒数：，故原式等于． 请你用解法的方法计算：． 【答案】不对， 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，倒数等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．仿照解法，先求出原式的倒数，然后即可得出答案． 【详解】解：解法不对， 除法没有分配律，故解法不对， 故答案为：不对； 按解法计算，先计算原式的倒数： ， 故原式等于． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 71．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）观察下列算式：，，，，…… 根据上述规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据规律将原式化为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，…… ∴ ． 72．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）若，， ， ···，照此规律试求： (1) ， (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对者的意义，有理数的加减混合运算，理解规律是解答本题的关键． （1）根据规律化简即可； （2）先根据规律化简，再算加减； （3）先根据规律化简，再算加减． 【详解】（1）∵，， ， ···， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ， ···， ∴ ； （3）∵，， ， ···， ∴ ． 73．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知：；；；…… (1)探索：第n个式子= ； (2)按上述规律计算：……. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了探索数与式的规律，解题的关键是要找出数与式之间的规律． （1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为，； （2）解：+…+ ． 74．（24-25七年级上·安徽六安·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义先计算，再计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 75．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … 若（都是正整数）满足上面的规律． (1)试确定的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据所给算式就出的值是解答本题的关键． （1）观察所给算式特点即可求出的值； （2）把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； …； ∴中． （2）解：∵， ∴． 76．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第4个等式：________________； (2)用含有的代数式表示第个等式：________________（为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目中的式子的特点，可以写出第4个等式； （2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式； （3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值． 【详解】（1）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； ∴第4个等式：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； 第4个等式：； ∴第个等式：， 故答案为： ； （3）解：． ． 77．（24-25七年级上·安徽池州·期中）探索规律，观察下面算式，解答问题． ；；；；…… (1)请猜想________ (2)请猜想________：（n是整数且） (3)试计算： 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，解题的关键是： （1）（2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解； （3）用从1开始到2023的和减去从1开始到99的和，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 78．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知，按照这个规律完成下列问题： (1)__________________． (2)猜想：______． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 【答案】(1)225，5，6 (2) (3)41075 【分析】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． （1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律； （3）转化为后利用总结的规律即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：225，5，6； （2）猜想： 故答案为： （3）解：原式 79．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）仔细观察下列三组数： 第一组：，，，，，……； 第二组：，，，，，……； 第三组：，，，，…… (1)这三组数各是按什么规律排列的？ (2)第二组的第个数是第一组的第个数的多少倍？ (3)取每组数的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)第一组按照：，，，，，的规律排列；第二组按照：，，，，，的规律排列；第三组按照：，，，，，的规律排列 (2) (3) 【分析】（1）根据上述三组数据，得到规律，根据规律进行解答； （2）根据得到第一问的规律，得出第二组的第个数的数值和第一组的第个数的数值，即可； （3）根据得到第一问的规律，求出每组数的第个数的数值，即可． 【详解】（1）第一组：，，，，，……分别是，，，，，第个数就等于 ∴第一组按照：，，，，，的规律排列； 第二组：，，，，，……分别是，，，，，第个数就等于 ∴第二组按照：，，，，，的规律排列； 第三组：，，，，……分别是，，，，，第个数就等于的倍； ∴第三组按照：，，，，，的规律排列． （2）∵第一组按照：，，，，，的规律排列， ∴第一组的第个数是：； ∵第二组按照：，，，，，的规律排列， ∴第二组的第个数是：； ∴ ∴第二组的第个数是第一组的第个数的倍． （3）第一组的第个数为：，第二组的第个数为：，第三组的第个数为：， ∴这三个数的和为：． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是读取上述数据，找到规律，按照规律进行解答． 80．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：    (1)计算；； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （2）由（1）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查规律性的计算；根据数形结合的方法得到每个分数可以分成的哪2个分数之差是解决本题的关键． 【经典计算题九 有理数的新定义运算】 81．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）我们定义一种新运算：．求的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、根据可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵ ∴ 82．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）我们定义一种新运算：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)3 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题． （1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）根据题目中的新定义，先计算出中括号里的式子，然后再计算中括号外面的式子． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 83．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）我们定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查了有理数的乘法和加减运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据新定义运算列出算式，然后利用有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）根据新定义运算列出算式，然后利用有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 84．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a，b为有理数，若规定一种新的运算“”，，请根据新定义的运算计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)16 【分析】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型．解题的关键是弄清楚新定义的运算规则； （1）根据新定义的运算规则直接求解即可； （2）根据新定义的运算规则先求，再求即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 85．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．，，，请你想一想： (1)________；________； (2)若，那么________（填入“”或“”）； (3)计算：． 【答案】(1)28； (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可； （2）先根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则将和计算出来，再用作差法比较即可； （3）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：总结规律得：；； 故答案为：28，． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 86．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)189 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握新定义的法则，是解题的关键． （1）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可； （2）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式 ． 87．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)试用学习有理数的经验和方法探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)2 (2)这种新运算“”不具有交换律，见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接根据新定义的含义列式，再计算即可； （2）根据新定义可得，，从而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：这种新运算“”不具有交换律． 理由如下：方法一：因为 所以 所以，即． 所以这种新运算“”不具有交换律． 方法二：学生举具体的例子说明也可给分．比如： 因为； ； 所以 所以这种新运算“”不具有交换律． 88．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算： ；； ；． 观察上述各式，解答下列问题． (1) ； ． (2)请计算：的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义的运算，根据题意得出新运算的运算法则，熟练掌握有理数的混合运算和整式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算，得到答案． （2）根据新定义的运算法则进行计算，得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， 故答案为：，． （2） ． 89．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 90．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）根据题意先得出a、b、c的值，然后再代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$