专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（5个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若一个四位正整数各数位上的数字均不相等，且满足千位数字与百位数字的积等于十位数字与个位数字的积，则称这个数为“等积数”，例如：数字各数位数字均不相等，且，所以是“等积数”．那么，最大的“等积数”是 ；“等积数”共计有 个． 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）运用运算律填空． （1）( )． （2）[( )( )]． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·开学考试）时时 分，毫升＝ 升 立方米． 知识点五：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）下列算式中，正确的一项是（   ） A． B． C． D．   2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定：，请计算： ． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算的结果是（        ） A．6 B． C．8 D． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知a、b是有理数，且，同时，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）有44名学生要租车去春游，每辆中巴车限坐21人，租金160元；每辆小巴车限坐12人，租金120元，租车最便宜需要 元． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036． 图2表示一个三位数与一个两位数相乘，根据图2中现有数据进行推断： (1)______，______； (2)写出是哪个三位数与哪个两位数相乘，并用图1中的计算方法和我们学过的有理数的乘法两种方法计算它们的积． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若三个有理数，5，的积是一个负数，则的值可以是（   ） A． B．0 C．10 D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）二个自然数除了1和它本身以外的因数叫做这个数的真因数．在自然数的真因数前面加上负号，定义其为的假因数，若的所有假因数的乘积大于本身，则称为“飞跃数”．如12的所有假因数乘积是，大于12本身，故12是一个“飞跃数”．规定没有假因数的自然数不是“飞跃数”，则从2到100的自然数中，“飞跃数”的个数是 ． 4．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列各数中，倒数最大的是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）的绝对值的倒数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）最大的负整数与倒数等于本身的数的积是 ． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 2．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试） 折． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）用表示组成的所有数字的乘积，例如：，．则 ． 4．（24-25七年级上·安徽六安·开学考试）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 1．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）小明在计算乘法时，不慎将乘数63错写成36，那么，计算结果比正确答案少（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）将十进制数36化为七进制数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）我们知道：相同加数的和用乘法表示，相同因数的积用乘方表示.类比拓展：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（−3）÷（−3）÷（−3）÷（−3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（−3）÷（−3）÷（−3）÷（−3）记作，读作“−3的圈4次方”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作a，读作“a的圈n次方”．根据所学概念，求的值是 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 3．（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km -8 -10 -14 0 +24 +31 +35 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·安徽池州·期中）果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在长方形中，长为，宽为，内部放置2个相同的正方形（两边和长方形的两边重合），且边长是长方形边长的，则阴影部分的面积是 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间（分钟） 若每台车床停产一分钟造成经济损失元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：；；中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 1．（2024七年级上·安徽池州·专题练习）小马从A地到B地自驾游，如果驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元；驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，从A地到B地的路程是（    ）千米． A．100 B．150 C．180 D．200 2．（2024七年级·安徽安庆·模拟预测）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是 cm． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表是每人打字所用的时间． 小美 小峰 小丽 小明 打字所用的时间/分钟 30 40 50 80 打字速度/（字/分钟） 80 30 (1)把上表补充完整； (2)打字的速度和所用的时间成什么比例关系？为什么？ (3)刘老师打这份稿件用了32分钟，她平均每分钟打多少个字？ 【经典例题九 有理数四则混合运算】 【例9】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 3．（2025·安徽池州·模拟预测）用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则 4．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)与的和除以与的差，得多少？ 【经典例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例10】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）学校要买40盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同，甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（   ）商店最合算． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明用一根绳子测量一口枯井有多深．他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有12米．小明又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有2米．那么这根绳子长 米． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）某校七年级上有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点， 第三次将点向左移动9个单位长度到达点， …按照这种移动规律进行下去，第2024次移动到点，那么点所表示的数为（   ） A． B． C．3033 D．3037 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和；． (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）若一个数的绝对值与这个数的商为，那么这个数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）在日常生活中，我们经常遇到需要合理安排工作和时间的问题．某地铁站甲、乙、丙、丁四台自动售票机出现故障停用需要维修，一名工人维修好甲、乙、丙、丁四台售票机所需的时间分别为18、21、14、27分钟．如果每台售票机停用1分钟造成经济损失12元，修复好后即可正常使用，为了使经济损失最少，这名修理工的维修顺序应该是（    ） A．丁→丙→甲→乙 B．丙→丁→甲→乙 C．丁→乙→甲→丙 D．丙→甲→乙→丁 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）生活中常用的十进制是用0∼9这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机也用八进制来表示字符代码，它是用0∼7这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数365对应十进制的数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试）年中国政府在第七十五届联合国大会上提出，中国争取年前实现碳中和，就是要通过植树等方式，将排放的二氧化碳全部抵消掉． 关于碳排放有以下数据： 一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克： 一台电脑每年间接排放二氧化碳千克： 一台洗衣机每年间接排放二氧化碳千克： 一台冰箱每年间接排放二氧化碳千克： 假设某中等城市里的某户人家使用家用电器有：台电脑、台洗衣机、台冰箱． 请回答：要达到碳中和，这家人要种几棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉？ 【拓展训练四 有理数乘除法的新定义问题】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）【定义新运算】如果规定，那么 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）的倒数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，将，，，3分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）的倒数是 ． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： ． 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）我们把记作，记作． （1） （2） 9．（2025·安徽亳州·模拟预测）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    10．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试）两个完全相同的三角形叠放如图所示（单位：厘米），则阴影部分的面积是 ． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）计算题．（写出必要的计算过程．能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？ 观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到， 发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即，由此可知，所以根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有是负数， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若一个四位正整数各数位上的数字均不相等，且满足千位数字与百位数字的积等于十位数字与个位数字的积，则称这个数为“等积数”，例如：数字各数位数字均不相等，且，所以是“等积数”．那么，最大的“等积数”是 ；“等积数”共计有 个． 【答案】 9263 40 【分析】本题考查了新定义的运用，有理数的乘法运算，理解新定义，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据“等积数”的定义，列出等积数即可求解． 【详解】解：一个四位正整数各数位上的数字均不相等，千位数字与百位数字的积等于十位数字与个位数字的积，则称这个数为“等积数”， ∴，则“等积数”为：，，，，，，，，共8个， ，则“等积数”为：，，，，，，，，共8个， ，则“等积数”为：，，，，，，，，共8个， ，则“等积数”为：，，，，，，，，共8个， ，则“等积数”为：，，，，，，，，共8个， ∴最大的“等积数”是，“等积数”共计有个， 故答案为：①；② ． 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）运用运算律填空． （1）( )． （2）[( )( )]． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算的交换律和结合律． （1）根据乘法交换律进行求解即可； （2）根据乘法的结合律进行求解即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解：， ． 故答案为：2；． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键； 乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可； 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题属于较为基础的相反数与倒数的概念填空题，主要考查了相反数与倒数的判断，考生做此类题时一定要认真，细心，抓住细节，防止出错． 根据题意，相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数． 据此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 的倒数为； 故答案为：，． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·开学考试）时时 分，毫升＝ 升 立方米． 【答案】 40 85 【分析】本题考查了单位的换算，有理数的乘除混合运算，掌握其运算法则，单位之间的进率是解题的关键． 【详解】解：∵小时分，升毫升立方分米，立方米立方分米， ∴时分钟，即时时分，毫升升立方米， 故答案为：，， ． 知识点五：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）下列算式中，正确的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A． ，此选项不正确，不符合题意；     B． ，此选项正确，符合题意；     C． ，此选项不正确，不符合题意； D． ，此选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定：，请计算： ． 【答案】 【分析】根据定义新运算的法则，有乘方的先乘方，再算括号里的，最后利用有理数的加减即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，解题的关键是有理数的混合运算法则． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算的结果是（        ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0．据此计算即可． 【详解】解：． 故选C． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）已知a、b是有理数，且，同时，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0是解题的关键．根据，知道，同号，又根据，知道，都为负数． 【详解】解： ，同号， 又， ，都为负数， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据新定义运算法则进行逐步计算即可． 【详解】解：根据新定义运算法则可得， 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）有44名学生要租车去春游，每辆中巴车限坐21人，租金160元；每辆小巴车限坐12人，租金120元，租车最便宜需要 元． 【答案】400 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据学生人数，分租用2辆中巴车，1辆小巴车或租用1辆中巴车，2辆小巴车或租用4辆小巴车，3种方案，进行计算，判断即可． 【详解】解：∵学生人数为44人，每辆中巴车限坐21人，每辆小巴车限坐12人， ∴可以租用2辆中巴车，1辆小巴车或租用1辆中巴车，2辆小巴车或租用4辆小巴车， ∴租用2辆中巴车，1辆小巴车，需：（元）； 当租1辆中巴车，2辆小巴车时，需：（元）； 租4辆小巴车时，需：（元）； 故最低费用为：400； 故答案为：400 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036． 图2表示一个三位数与一个两位数相乘，根据图2中现有数据进行推断： (1)______，______； (2)写出是哪个三位数与哪个两位数相乘，并用图1中的计算方法和我们学过的有理数的乘法两种方法计算它们的积． 【答案】(1)，； (2)，，，计算过程见解析． 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，新定义运算的含义； （1）根据题干信息，设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，再进一步可得答案； （2）利用乘法运算计算，再仿照题干计算方法画出图形，再计算即可． 【详解】（1）解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： ， 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴． （2）解：， 用图1中的计算方法如图所示， ． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若三个有理数，5，的积是一个负数，则的值可以是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，多个非零有理数进行乘法运算时，当负因数的个数为奇数个时，乘积的结果为负数，据此可得答案． 【详解】解：∵三个有理数，5，的积是一个负数， ∴一定是正数， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选；C． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意或，根据，得出或，求出m的值即可． 【详解】解：∵a、b、c是三个不同整数，（不妨设），m为整数， ， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）二个自然数除了1和它本身以外的因数叫做这个数的真因数．在自然数的真因数前面加上负号，定义其为的假因数，若的所有假因数的乘积大于本身，则称为“飞跃数”．如12的所有假因数乘积是，大于12本身，故12是一个“飞跃数”．规定没有假因数的自然数不是“飞跃数”，则从2到100的自然数中，“飞跃数”的个数是 ． 【答案】33 【分析】根据题目要求，找出25个自然数不是飞跃数，排除，根据飞跃数还有一个要求：a的所有假因数的乘积大于本身，确定从2到100的自然数中的飞跃数即可． 【详解】解：根据题目要求，要想成为飞跃数，其本身要有除了1和它本身以外的因数，从2到100的自然数中，因数只有1和它本身的自然数共25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97这25个自然数不是飞跃数，排除， 题干中飞跃数还有一个要求：a的所有假因数的乘积大于本身，故a的因数除去1和它本身以外的个数应该是偶数个，且偶数个的个数大于2，若等于2，则假因数乘积等于a不是飞跃数， 综上则从2到100的自然数中，飞跃数是：12，18，20，24，28，30，32，40，42，44，45，48，50，52，54，56，60，63，66，68，70，72，75，76，78，80，84，88，90，92，96，98，99共33个． 故答案为：33． 【点睛】本题考查的是新定义，正确理解题意是解题关键． 4．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键． （1）先确定积的负号，然后进行计算即可； （2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列各数中，倒数最大的是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先计算倒数，后比较大小，选择解答即可． 【详解】因为的倒数是2，的倒数是，1的倒数是1，2的倒数是， 且， 故选：A． 【点睛】本题考查了倒数即乘积为1的两个数，有理数大小的比较，熟练掌握倒数的定义，活用有理数大小比较的法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）的绝对值的倒数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值和倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：，的倒数是5， 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）最大的负整数与倒数等于本身的数的积是 ． 【答案】 【分析】最大的负整数是，倒数等于本身的数是，据此计算有理数的乘法即可得． 【详解】解：∵最大的负整数是，倒数等于本身的数是， ∴最大的负整数与倒数等于本身的数的积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了倒数、有理数的乘法，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 【答案】的相反数是 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出，，再结合得出，从而求得的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：的倒数是，的绝对值是最小的正整数， ，， ， ， ， 的相反数是． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试） 折． 【答案】 六 【分析】本题考查分数的换算，熟练掌握分数的换算是解题的关键；根据分数的换算计算即可求解； 【详解】解： 六折， 故答案为：；；六 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）用表示组成的所有数字的乘积，例如：，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是根据题意，，，……，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 4．（24-25七年级上·安徽六安·开学考试）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律即可求得答案； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得遮盖的算式为：， 则； （2）解：原式 ． 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）小明在计算乘法时，不慎将乘数63错写成36，那么，计算结果比正确答案少（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数乘法和混合运算，关键是能准确理解并运用相关知识进行列式、计算． 设另一个乘数为a，由题意列式进行求解即可． 【详解】解：设另一个乘数为a，得 ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）将十进制数36化为七进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了进位制之间的转化，解题的关键是掌握“除k取余法”． 把所给的十进制数除以7，得到商和余数，继续除以7，直到商为0，把余数倒序写下来即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）我们知道：相同加数的和用乘法表示，相同因数的积用乘方表示.类比拓展：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（−3）÷（−3）÷（−3）÷（−3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（−3）÷（−3）÷（−3）÷（−3）记作，读作“−3的圈4次方”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作a，读作“a的圈n次方”．根据所学概念，求的值是 ． 【答案】/﹣0.25 【分析】根据题中的新定义除方运算进行计算即可． 【详解】解：=(-4) ÷(-4) ÷(-4) = 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的除法运算，解答本题的关键是明确有理数除法运算的计算方法． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤． 【详解】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 【答案】 【分析】利用题中的新定义列式，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 ． 【答案】10或64 【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【详解】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km -8 -10 -14 0 +24 +31 +35 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 【答案】(1)408k (2)36.72元 【分析】（1）先算出以为标准天的基础路程，再加上每天与差值的和，得到总行驶路程． （2）根据总路程算出耗电量，再结合每千瓦时电费，求出总电费． 本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的运算法则，理清题目中的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ． ∴李明家的新能源汽车这7天一共行驶了． （2）解：． ∴李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是36.72元． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·安徽池州·期中）果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 【答案】A 【分析】根据题意，得到等量关系苹果树的棵数=桃树 ，梨树的棵数=苹果树 ，分别代入即可求解． 【详解】 （棵） 答：梨树有144棵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，根据题意得出等量关系，列出算式并进行计算即可． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 【答案】C 【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为（元），进而可求； 【详解】解：假设取暖器原价为100元， 则现价为（元）， ∵， ∴取暖器的现价比原来涨了． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，列出算式并正确计算是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在长方形中，长为，宽为，内部放置2个相同的正方形（两边和长方形的两边重合），且边长是长方形边长的，则阴影部分的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的减法和乘法运算，求阴影部分的面积，理解题意是解题的关键．根据题意，先求出正方形的边长，再根据正方形边长相等，长方形的长相等，宽相等，求出阴影部分长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图： ， 因为2个相同的正方形的边长是长方形边长的， 所以， 所以，， 所以，， 所以阴影部分的面积是， 故答案为：8． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间（分钟） 若每台车床停产一分钟造成经济损失元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：；；中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 【分析】本题考查了逻辑推理，有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （）一名修理工修按的顺序修，另一名修理工修按，修复时间最短，据此计算即可； 【详解】解：（）要使经济损失最少，就要使总停产最短即可， 则先修复时间短，让机器尽快回复运转， ∴，即修复车床的顺序：， 故答案为：； （）一名修理工修理5分钟，分钟，分钟，另一名修理工修理7分钟，理分钟， ∴五台机器总停产时间为（分）， ∴则最少经济损失为（元）， 故答案为：． 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 【答案】 ② 64 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； （2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 1．（2024七年级上·安徽池州·专题练习）小马从A地到B地自驾游，如果驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元；驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，从A地到B地的路程是（    ）千米． A．100 B．150 C．180 D．200 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，用原来的燃油汽车所需的油费减去新购买的纯电动汽车的油费，再除以即可得到答案． 【详解】解：千米， ∴从A地到B地的路程是150千米， 故选：B． 2．（2024七年级·安徽安庆·模拟预测）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将m用含q的式子表示，再由m、n、p、q为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ，，， ， ∵m、n、p、q为正整数， ∴q的最小值为8，则，，， ∴， 的最小值为65． 故答案为：65 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是 cm． 【答案】12 【分析】根据图形，得到3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长，小正方形的边长小长形的长小长方形的宽，得到小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长，结合阴影部分的面积求出小长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：由图可知：3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长， 小正方形的边长小长形的长小长方形的宽， 所以小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长， 因为三块阴影部分的总面积是，． 所以单个小正方形面积为． 所以小正方形的边长是cm． ， 所以小长方形长为，宽为， 所以小长方形周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查有理数的运算．解题的关键是正确的识图，得到小长方形的长和宽与小正方形的边长的关系． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表是每人打字所用的时间． 小美 小峰 小丽 小明 打字所用的时间/分钟 30 40 50 80 打字速度/（字/分钟） 80 30 (1)把上表补充完整； (2)打字的速度和所用的时间成什么比例关系？为什么？ (3)刘老师打这份稿件用了32分钟，她平均每分钟打多少个字？ 【答案】(1)见解析 (2)反比例关系，理由见解析 (3)平均每分钟打75个字 【分析】本题考查了有理数才乘法、除法的应用，解题的关键为： （1）先根据小美或小明的数据求出这份稿件的总字数，然后根据打字速度=总字数除以打字时间求解即可； （2）打字的速度和所用的时间的积为定值判断即可； （3）根据打字速度=总字数除以打字时间求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得这份稿件的字数为字， 则小峰打字速度为字/分钟，小丽打字速度为字/分钟， 补表如下： 小美 小峰 小丽 小明 打字所用的时间/分钟 30 40 50 80 打字速度/（字/分钟） 80 60 48 30 （2）解：打字的速度和所用的时间成反比例关系， 理由：由（1）知：打字的速度和所用的时间的积为2400，是定值， ∴打字的速度和所用的时间成反比例关系； （3）解：， 答：平均每分钟打75个字． 【经典例题九 有理数四则混合运算】 【例9】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 根据新定义列算式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（2025·安徽池州·模拟预测）用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，要熟练掌握混合运算顺序是解题的关键．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)与的和除以与的差，得多少？ 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数四则混合运算法则是解题的关键， （1）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （2）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （3）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （4）根据题意列出式子，再利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：由题可得： ． 【经典例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例10】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）学校要买40盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同，甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（   ）商店最合算． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据优惠方式列式计算出三家商店所需费用，比较大小即可． 【详解】解：甲商店：（元）， 乙商店：（元）， 丙商店：（元）， ， 因此选择丙商店最合算． 故选C． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明用一根绳子测量一口枯井有多深．他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有12米．小明又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有2米．那么这根绳子长 米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，理解绳子对折前后井外绳子长度的变化与井深的关系是解题的关键． 因“小明把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有2米”，这时绳子在外面的实际长度就是（米），这与第一次井口外的绳长12米就相差了（米），这部分绳长就是井的深度；根据第一次测量情况，绳子长度等于井深加上井外剩余长度，据此即可解答． 【详解】解：第二次井外绳子长度：（米）， 井深：（米）， 绳子长度（米）． 所以这根绳子长20米． 故答案为：20． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）某校七年级上有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解． 【详解】解：依题意得(元)； 设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 则，即， 整理得 ∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低， ∵a，b，c都是正整数， ∴， ∴， 此时最低费用为（元） 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】(1)该商店本周一共销售了1450条 (2)该商场本周共盈利667元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）用7天的标准销量加上7天销量的出入数量即可； （2）用盈利的金额减去亏损的金额即可． 【详解】（1）解：由题意可知 （条） 答：该商店本周一共销售了1450条． （2）解：由题意可知 ＝667（元） 答：该商场本周共盈利667元． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点， 第三次将点向左移动9个单位长度到达点， …按照这种移动规律进行下去，第2024次移动到点，那么点所表示的数为（   ） A． B． C．3033 D．3037 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为偶数时数的表示规律是解题的关键． 从A的序号为偶数的情形中，寻找解题规律：（为偶数），再求解即可． 【详解】解：∵A表示的数为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和；． (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或；③ 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离． （1）①根据两点之间的距离直接列式计算； ②将所得三个数相加即可； （2）①首先根据已知判断出数轴的1个单位长度为，再推出A在B的左边且相距10个单位长度，即可得解； ②求出A、C相距220个单位长度，进一步可得A、D的距离110个单位长度，即可得解； ③求出B、C的距离，再结合最大刻度为，求出，即可得到k的最小整数值． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， ∴； 点A与点C的距离为单位长度； ②， 即点A，B，C所表示的数的和为170； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴的1个单位长度为， ∴当刻度尺上时，代表数轴上2个单位长度， ∴B表示，A在B的左边且相距， 则A在B的左边且相距10个单位长度， 则； ②∵A表示的数为，C表示的数为200， 则A、C相距230个单位长度，即，②或； ∴A、D的距离为，即115个单位长度， ∴D所表示的数为或； ③B表示的数为，C表示的数为200， 则B、C的距离为， ∴， ∵要用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离， ∴，即k的最小整数值为3． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）若一个数的绝对值与这个数的商为，那么这个数为 ． 【答案】负数 【分析】本题主要考查有理数的除法，正数与负数，绝对值，设这个数为，由绝对值的性质及除法的运算法则可知的绝对值与互为相反数，且不等于0，进而可求解． 【详解】解：设这个数为，由题意得， 与互为相反数且， ， ， 这个数是负数． 故答案为：负数． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）解：由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）在日常生活中，我们经常遇到需要合理安排工作和时间的问题．某地铁站甲、乙、丙、丁四台自动售票机出现故障停用需要维修，一名工人维修好甲、乙、丙、丁四台售票机所需的时间分别为18、21、14、27分钟．如果每台售票机停用1分钟造成经济损失12元，修复好后即可正常使用，为了使经济损失最少，这名修理工的维修顺序应该是（    ） A．丁→丙→甲→乙 B．丙→丁→甲→乙 C．丁→乙→甲→丙 D．丙→甲→乙→丁 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算的应用，主要结合有理数的混合运算，理解经济损失与修复时间长短有关是解题的关键．要使经济损失最少，需总停用时间最短．总停用时间为各机器维修完成时间的总和，维修顺序应按照维修时间由短到长排列，以最小化后续机器的等待时间． 【详解】解：四台机器的维修时间分别为：丙14分钟、甲18分钟、乙21分钟、丁27分钟．按时间从小到大排序为丙→甲→乙→丁．此时总停用时间为： 丙：14分钟 甲：（分钟） 乙：（分钟） 丁：（分钟） 总停用时间（分钟），经济损失为元． 其他顺序的总停用时间均大于179分钟， 因此最优顺序为丙→甲→乙→丁． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）生活中常用的十进制是用0∼9这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机也用八进制来表示字符代码，它是用0∼7这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数365对应十进制的数为 ． 【答案】245 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意列式计算即可．结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：245． 3．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试）年中国政府在第七十五届联合国大会上提出，中国争取年前实现碳中和，就是要通过植树等方式，将排放的二氧化碳全部抵消掉． 关于碳排放有以下数据： 一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克： 一台电脑每年间接排放二氧化碳千克： 一台洗衣机每年间接排放二氧化碳千克： 一台冰箱每年间接排放二氧化碳千克： 假设某中等城市里的某户人家使用家用电器有：台电脑、台洗衣机、台冰箱． 请回答：要达到碳中和，这家人要种几棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉？ 【答案】棵 【分析】本题考查小数四则运算的应用，根据题意，这家人使用的家用电器一年排放的二氧化碳量为千克，已知一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克，用除以即可．理解题意，明确题中的数量关系是解题的关键． 【详解】解： （棵）， 答：要达到碳中和，这家人要种棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉． 【拓展训练四 有理数乘除法的新定义问题】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，正确理解题意是解题的关键，根据新定义注意分析即可得出答案 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 当，， 当，时，，故②错误； ，故③错误 故选：B 2．（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）【定义新运算】如果规定，那么 ． 【答案】47 【分析】本题考查新定义运算，有理数四则混合运算，理解新运算的定义是解题的关键． 根据定义新的运算法则计算，得到，再按先做乘法，后计算减法的计算顺序即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：47． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解并按照新运算的规则进行计算． （1）按照新运算规则计算． （2）先计算，再将结果与进行新运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本考查有理数的乘法，根据乘法法则计算即可，注意：若两个乘数的符号相同，则结果为正数，若两个乘数的符号相反则结果为负数． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）的倒数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查倒数的意义和求法，求一个数的倒数只要用1除以这个数即可；要注意：1的倒数是1，0没有倒数． 根据“乘积是1的两个数互为倒数”，所以求一个数的倒数只要用1除以这个数即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：D． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解： ； 故选B． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，将，，，3分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和是解题关键．先求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为2，再求出横上的第四个数，然后求出的值，由此即可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为， ∴横上的第四个数是， ∴， ∴或， ∴或， 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和运算律，掌握有理数乘法运算法则成为解题的关键． 先运用乘法运算律和运算法则进行简便运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）我们把记作，记作． （1） （2） 【答案】 1 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则． （1）根据新定义列出算式，再根据有理数的除法运算法则计算可得； （2）根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除法运算法则计算可得． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2） ， 故答案为：1． 9．（2025·安徽亳州·模拟预测）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数除法的应用，根据“电流＝电压÷电阻”即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 10．（24-25七年级上·安徽池州·开学考试）两个完全相同的三角形叠放如图所示（单位：厘米），则阴影部分的面积是 ． 【答案】51平方厘米 【分析】本题考查三角形的面积，关键是由图形得到阴影的面积梯形的面积． 由图形得到阴影的面积梯形的面积，求出梯形的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图， 由图形和题意得：阴影的面积梯形的面积， 阴影的面积 （平分厘米）． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，先确定符号，再进行绝对值得运算，注意乘法运算时带分数化成假分数． 根据负因数的个数，可得积的符号，根据分子乘分子，分母乘分母，可得答案． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）计算题．（写出必要的计算过程．能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)88 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先将化成，再利用乘法分配律计算，然后计算加减法即可得； （2）利用乘法的交换律与分配律进行计算即可得； （3）先去括号，再计算括号内的减法，然后利用乘法分配律计算即可得； （4）将原式变形为，则式子可变形为，据此计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？ 观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到， 发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即，由此可知，所以根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程． 【答案】(1)4，； (2)；见解析． 【分析】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据材料中方法即可解答； （2）根据材料中方法即可解答； 【详解】（1）解：是以4为循环节的无限循环小数， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4，； （2）∵， 即 ∴． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)元； (2)元； (3)可能，方案见解析，费用为元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，理解题意并正确列式计算是关键． （1）按照电话订购的方式计算即可； （2）按照外卖APP购买方式付款即可； （3）制定方案，计算费用即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，需花费元； （2）（元）， 答：小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费元； （3）可能， 方案：通过外卖APP购买两单，一个三份，一个一份，再通过电话订购40份，需要花费 （元）， 学科网（北京）股份有限公司 $$