专题03 绝对值与相反数重难点题型专训（6个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+11大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 相反数与数轴的结合 题型四 求一个数的绝对值 题型五 绝对值的化简问题 题型六 绝对值的非负性 题型七 绝对值方程 题型八 绝对值的几何意义 题型九 绝对值的其他应用 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）－1的相反数是（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查相反数的基本概念，相反数的定义是：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义直接求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：A 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）写出的相反数： ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）化简得（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了去括号法则：括号前面是负号，括号内的各项符号要改变，主要考查学生的去括号能力．去括号法则：括号前面是负号，括号内的各项符号要改变． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若为，则的相反数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵，   ∴， ∵的相反数是3， ∴的相反数是3． 故答案为：3． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中） 的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，可直接得出答案． 【详解】解： 的绝对值是2， 故选A． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）绝对值不大于的整数有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可确定绝对值不大于的整数，进而可得答案． 【详解】解：绝对值不大于的整数有，共7个， 故答案为：7． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多重符号的化简，掌握同号为正，异号为负的规则是解题的关键．根据同号为正，异号为负可化简多重符号即可． 【详解】A．，故本选项错误； B．，故本选项正确； C．，故本选项错误； D．，故本选项错误； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，化简 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：∵a是有理数 ∴可为正数、负数、零 由绝对值的非负性可知： ∴ 即：的最小值是 故选：C 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，且 ∴最接近标准质量的是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 【答案】五 【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的． 【详解】解:依题意,有 |−0.6|＜|+0.8|＜|−2.5|＜|−3.5|＜|+5| 由于“绝对值越小,距离标准越近” 所以质量接近标准的是五号排球． 【点睛】本题考查了正数与负数，解题的关键是熟练的掌握正数与负数的相关知识． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）的相反数是（　　） A．3 B． C．-3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】的相反数是3． 故选：A． 1．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和倒数，根据相反数和倒数的定义解答即可，掌握相反数和倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数的， ∴的相反数的倒数是， 故选：C． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，根据相反数的定义可得表示a的数与表示b的数到原点的距离相等，再由表示a的数与表示b的数的距离为9且点b在点a左侧即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数，在的右边，且表示的点到表示的点的距离为9， ∴表b的点距离原点的距离为，且在原点左侧， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）若，互为倒数，，互为相反数且，的绝对值等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，相反数，倒数等知识点的应用，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，，则有，，然后然后代入求值即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数且，的绝对值等于， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的运算，正方体展开图的相对面，根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，确定出相对面，进而求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知：的相对面是数字，的相对面是数字2，的相对面的数字3， ∵相对的面上的两个数互为相反数， ∴， ∴． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列有理数中，最小的数是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是化简多重符号，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先化简多重符号，再根据有理数的大小比较，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号，理解新规定的定义是解题关键．先根据有理数的大小可得，再根据新规定的定义求解即可得． 【详解】解：∵是不大于的最大整数， ， 故答案为：12． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 【答案】 3 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； 故答案为：；3；；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【经典例题三 相反数与数轴的结合】 【例3】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，数轴上表示数3的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相反数及数轴上的点表示的数，根据只有符号不同的两个数互为相反数及数轴上的点表示有理数，即可得出结果，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵3的相反数为， ∴数轴上表示数3的相反数的点是点, 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来：如图，数轴上表示数的点如图所示，则把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数、利用数轴比较有理数大小等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据相反数的定义确定的在数轴上的位置，然后比较大小即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， 在数轴上确定表示数的点的位置，如下图所示， 由数轴可知． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为，则这两个点表示的数分别是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，数轴上两点之间的距离等知识点，熟练掌握相反数的定义及数形结合思想是解题的关键． 因为数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，则、分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等，又知这两点间的距离是，因而它们到原点的距离为，于是得解． 【详解】解：数轴上的点和点表示的两个数互为相反数， 、分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等， 这两点间的距离是， 它们到原点的距离为， 这两个点表示的数分别是和， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．    【答案】0 【分析】本题主要考查了相反数、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．首先确定点表示的数是，再根据“向右移动，加；向左移动，减”的原则，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数， ∵点表示的数是1， ∴点表示的数是， 一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度， 此时该点表示的数为， 再向左移动4个单位长度到达点， 则点表示的数为． 故答案为：0． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【答案】(1)，0，2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据数轴的意义，写出有理数即可： （2）根据数轴的意义，，再数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上，靠近右边的数大于其左边的数，解答即可． 本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据数轴的意义，得数轴上A，B，C各点分别表示的有理数为：，0，2． （2）解：，数轴表示如下： （3）解：根据题意，得． 【经典例题四 求一个数的绝对值】 【例4】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）的绝对值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数，进行解答即可． 【详解】解：的绝对值是9． 故选：D． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．先根据数轴确定点A所表示的数，再求绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，点A所表示的数是， 的绝对值是1 数轴上点A所表示的数的绝对值是1, 故选：C． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义进行化简计算即可求解； 【详解】解：， 或， ， ； ， ， ； 故答案为：； 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知非零有理数，，满足，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查绝对值的概念，由绝对值的概念，即可求解，解题的关键是掌握正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零． 【详解】解：∵非零有理数，，满足， ∴，或，， 当，时， ， 当，时， ， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）画一条数轴，把下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，0， 【答案】见解析， 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先将每个数化简，然后表示在数轴上，再根据从左到右的顺序用“＜”连接起来即可． 【详解】解：，， 如图： 用“”把它们连接起来为． 【经典例题五 绝对值的化简问题】 【例5】（2025七年级上·安徽阜阳·模拟预测）下列化简结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的知识，绝对值的性质．分别化简各选项，判断结果是否为正数，即可． 【详解】解：A．，结果为负数； B．，结果为负数； C．，负负得正，结果为正数； D．，结果为负数． 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，化简绝对值，列举出所有可能结果，逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，所有的“调整和差操作”共有12种形式，运算A时，需考虑6种情况；运算B时，需考虑12种情况．得出： （1）当，时，； （2）当，时，； （3）当，时，； （4）当，时，； （5）当，时，； （6）当，时，； （7）当，时，； （8）当，时，； （9）当，时，； （10）当，时，； （11）当，时，； （12）当，时，； 综上，得8种不同运算结果，因此题目的说法③不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的和为，因此题目的说法①不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的差为，因此题目的说法②正确； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【答案】(1)，的值为3 (2)满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想（根据绝对值内式子的符号分段化简），要求对绝对值的性质深度理解，且能严谨分类求解． 根据绝对值的几何意义与分类讨论思想展开，由x的取值范围化简绝对值求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ， 解得，即的值为3． （2）解：当时，， 则，解得， 点表示的数为； 当时，，故不符合题意； 当时，由（1）可知，点表示的数为3． 综上所述，满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3． 【经典例题六 绝对值的非负性】 【例6】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性，绝对值的非负性得到为非负数，则：是非正数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴为非负数， ∴是非正数， 故选C． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【答案】(1)，，； (2)①；②． 【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方，解题的关键是： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得，，，求出a，b的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为，当点B与点A相遇时，根据可求得，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离是 ， 故答案为：，，； （2）解：①秒时，点对应的数为， 故答案为：； 点以每秒个单位长度的速度向左运动， 秒时，点对应的数为， 当点与点相遇时，则， 解得， 当时，点在点的右侧， ， 答：点与点之间的距离． 【经典例题七 绝对值方程】 【例7】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）使成立的条件是（    ） A．A为任意实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值方程．分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 当， ，满足题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，不成立； ∴； 故选D． 1．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可． 【详解】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有 ∵当点P位于点A、B之间时，， ∴将x从向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有 此时，或 \故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时，可化为，解得：； 当时，可化为，解得：； 综上，a的值为或． 故答案为：或． 3．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）已知，，且，则m的值为 ；n的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值方程，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的相关知识及运算法则是解题的关键． 解绝对值方程可得，，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 【经典例题八 绝对值的几何意义】 【例8】（2025·安徽六安·模拟预测）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论． 【详解】解：由图可知：点到原点的距离最短， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是． 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）已知，则的相反数的绝对值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想． 根据两点之间的距离和绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和， 当在数与5之间时，的和为7， 当在的左侧或5的右侧时，， 的最小值为7， 故答案为：7． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【详解】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 【经典例题九 绝对值的其他应用】 【例9】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】∵， 又∵， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项B中的元件． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知整数a1， a2， a3， a4， …，满足下列条件：a1＝－1，a2＝－|a1＋2|，a3＝－|a2＋4|，a4＝－|a3＋6|，…，依此类推，则a2020的值为 ． 【答案】－2019 【分析】先去绝对值计算出 a1， a2， a3， a4， a5， a6的值，总结出规律，得出n项的一般关系式，利用此关系式即可求出a2020的值． 【详解】解：∵ a1＝－1， ∴a2＝－|a1＋2|＝－1， a3＝－|a2＋4|＝－3， a4＝－|a3＋6|＝－3， a5＝－|a4＋8|＝－5， a6＝－|a5＋10|＝－5，… ∴a2n＝a2n－1＝－2n＋1， ∵2020÷2＝1010， ∴a2020＝1010×（－2）＋1＝－2019， ∴a2020＝－2019． 故答案为：－2019． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的项的值． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．则AB=|a－b|．所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= ； （2）式子|x－3|+|x+2|的最小值为 ； （3）若|x－3|+|x+2|=7，则x= ．    【答案】（1）2；（2）5；（3）4或-3． 【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x-5|是数轴上表示数x的点与表示数5的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数-1的点之间的距离，若|x-5|=|x+1|，则此点必在-1与5之间，故x-5＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可． （2）求|x-3|+|x+2|的最小值，由线段的性质，两点之间线段最短，可知当-2≤x≤3时，|x-3|+|x+2|有最小值． （3）由于x-3及x+2的符号不能确定，故应分x＞3，-2≤x≤3，x＜-2三种情况解答． 【详解】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在-1与5之间， 故x-5＜0，x+1＞0， ∴原式可化为5-x=x+1， ∴x=2， 故答案为：2． （2）根据题意，可知当-2≤x≤3时，|x-3|+|x+2|有最小值, ∴|x-3|=3-x，|x+2|=x+2， ∴|x-3|+|x+2|=3-x+x+2=5； 故|x-3|+|x+2|最小值是5； 故答案为：5． （3）根据题意，可知： 当x＞3时，x-3+x+2=7，解得x=4， 当-2≤x≤3时，3-x+x+2=7，无解， 当x＜-2时，3-x-x-2=7，解得x=-3， 故答案为：4或-3． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离； （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案； 弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或2； 故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等； 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ， 的值为； 故答案为：． 【经典例题十 有理数的大小比较】 【例10】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）下列各数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，据此求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴四个数中，最大的数为， 故选：B． 1．（2024七年级·安徽安庆·模拟预测）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）用“”或“”或“”填空： （1） ； （2） 0； （3） ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数比较大小． （1）化简后根据正数大于负数即可得到答案； （2）根据负数小于0,进行解答即可； （3）根据两个负数绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：（1），， ∴； 故答案为： （2）， 故答案为： （3）∵，，， ∴ 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·开学考试）（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的方法，熟练掌握该方法是解题的关键．必须明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）首先根据，，且，可得，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （2）首先根据，，且，可得，，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （3）根据已知得出为负数，为正数，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：（1），，且， ， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （2），，且， ，， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （3），，且， 为负数，为正数，， ，， 用“”号把、、、连接起来为； 故答案为：；；． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题十一 有理数大小比较的实际应用】 【例11】（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）以下是四个城市在某一天同一时刻的气温，其中气温最低的是（   ） A．大同： B．朔州： C．忻州： D．太原： 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数的绝对值越大的反而越小，进行分析作答即可． 【详解】解：依题意，且， ∴气温最低的是大同：， 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）生产同样的产品，小王三分钟可生产五个，小李五分钟可生产三个，则下列说法正确的是（   ） A．小王的工作效率高 B．小李的工作效率高 C．两人的工作效率一样高 D．无法比较两人的工作效率 【答案】A 【分析】本题考查工效问题，涉及“工作总量工作时间工作效率”、有理数比较大小等知识，根据题意，分别求出小王和小李的工作效率，再由有理数比较大小的方法求解即可得到答案，熟记“工作总量工作时间工作效率”及有理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：生产同样的产品，小王三分钟可生产五个，小李五分钟可生产三个， 小王的工作效率为；小李的工作效率为； ， 小王的工作效率高， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． 例如：， ．试探索： ， 【答案】 【分析】本题考查了整数、取整函数的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据取整函数的定义分别计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， 故答案为：， 3．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 【答案】能 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过，该货车车重（包含货物），进行比较即可解答． 【详解】解：由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过， ， 该货车能通过这座桥， 故答案为：能． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）以下结论：①有理数包括所有正数、负数和；②若两个数互为相反数，则它们相加的和等于；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的数是非负数；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，错误的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和，故①错误； ②若两个数互为相反数，则它们相加的和等于，②正确； ③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数，故③错误； ④绝对值等于其本身的数是非负数，④正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故⑤错误； 综上所述错误的共有个， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有三种情形：或或或， 当时，原式； 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：②③④． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥； （2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据含有字母的绝对值化简，解答即可． 本题考查了绝对值的化简，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解：由，得， ∴， ∴， 故A. ，不符合题意；     B. 0，不符合题意；     C. 2，不符合题意；     D. 4，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了绝对值的化简．分和两种情形计算即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 故答案为：0或1． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设运动的时间为秒，表示出点、点在数轴上所表示的数，进而求出线段，、、、，即可作出选择． 【详解】解：设运动的时间为秒， 运动后点所表示的数为，点所表示的数为， ， 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度始终是的整数倍，本选项符合题意． 故选：． 【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和数轴上两点之间距离的计算方法是正确得出答案的关键． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）数轴上有A、B两点，点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，3秒后，点P到点A的距离为 个单位长度． 【答案】8或2 【分析】求出点A、B所表示的数，再根据点P移动后所表示的数，由数轴上两点距离的计算方法求出结果即可． 【详解】解：∵点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数， ∴点A表示的数是-5，点B表示的数是0， 点P移动的距离为1×3=3（单位长度）， ①若点P从点B向右移动，则点P所表示的数为3，此时PA=|-5-3|=8， ②若点P从点B向左移动，则点P所表示的数为3，此时PA=|-5+3|=2， 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，符号和绝对值是确定有理数的必要条件． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 【答案】(1)15 (2)点M到A，B两点的距离之和 【分析】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和数轴上两点间距离． （1）代入两点间的距离公式即可求得的长； （2）根据表示的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，10， ∴； 故答案为：15； （2）解：式子表示的意义为：点到A，B两点的距离之和； 故答案为：点到A，B两点的距离之和． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，即可判断，正确理解绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：最大值是，故正确； 若，则为正数或，故错误； 若，则的值为非正数，故正确； 若，则，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了绝对值的性质，理解题意是解题的关键，根据题意，可以表示出的值，然后根据的最大值为2025，可以得到的值，从而可以得到的最小值． 【详解】不妨设， ∵输入的三个数为x，y，2， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵的最大值为2025， ∵， 最大， ∴或2027 ， ∴m的最小值是2021 故答案为：2021． 3．（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）式子的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案． 【详解】解：当绝对值最小时，式子有最小值， 即|x-2|=0时，式子最小值为0+1=1． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，任意数的绝对值为非负数，即绝对值最小为0，进而求得式子的最小值． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为 . 【答案】1 【分析】因为P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，即P的值与x无关，因此化简后不含x项，根据绝对值的意义化简得出答案． 【详解】的值恒为一常数， P的值与x无关， , 且且且且， ， = =1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查绝对值的意义和计算方法，理解并掌握绝对值的意义和计算结果为常数的意义是解此题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键． 根据相反数定义即可选出答案． 【详解】解： A ． 和互为倒数，不符合题意； B．原式，故的相反数为，符合题意； C．和相等，故不符合题意； D．不是的相反数，故不符合题意． 故答案为：B． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算以及化简多重符号与绝对值，正确的计算是解题的关键，分别计算各数，即可求解． 【详解】解：A. 与，不相等，故该选项不符合题意；     B. 与，不相等，故该选项不符合题意；     C. 与，不相等，故该选项不符合题意；     D. 与，相等，故该选项符合题意；     故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，数轴上点表示的数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴表示有理数，求一个数的绝对值，根据点表示的数是，进而根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：点表示的数是， ∴数轴上点表示的数的绝对值是， 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可. 【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6， ∴点A表示的数为﹣6， 故选：B. 【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键. 5．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）规定：，如，下列结论中正确的是 （   ） A．若则的值为8或2 B．若则 C．若取得最小值时，则的取值范围为 D．若则 【答案】B 【分析】本题考查绝对值方程，代数式求值；根据绝对值的性质计算可得x的值，可对A选项进行判断；根据绝对值的性质去绝对值计算可对B选项进行判断；根据绝对值的几何意义可对C选项进行判断；利用绝对值的非负数性质可求出x，y的值，可对D选项进行判断；综上即可得答案． 【详解】解：A、若，则， ∴或，故本选项错误； B、， 当时，，故本选项正确； C、， ∵当时，由最小值， ∴取得最小值时，y的取值范围是，故本选项错误； D、若，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故本选项错误． 故选：B 6．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）9的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的概念，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的概念，只有符号不同的两个数，可得结果． 【详解】解：9的相反数是； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·安徽淮北·期末） （填、或） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，绝对值，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查绝对值和有理数大小比较，关键是掌握绝对值的性质；找出绝对值不小于2且小于的所有负整数即可得解． 【详解】解：绝对值不小于2且小于的整数包括：，，，， ∴绝对值不小于2且小于的负整数有：，，，． 故答案为：，，，． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）化简下列各数的符号： ； ； ； ． 【答案】 1.3 3 【分析】此题考查了化简绝对值和多重符号，根据绝对值和相反数的性质求解即可． 【详解】解：；；；． 故答案为：，1.3，3，． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 的相反数 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较；先化简计算，再根据有理数的大小比较排列即可求解． 【详解】解：∵，的相反数是 ∴． 得到单词是：， 故答案为：． 11．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 【答案】，9，0，， 【分析】该题主要考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数．特别地，0的相反数是0．一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是．a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零”是解题的关键． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的相反数是9， 0的相反数是0， 的相反数是， 的相反数是． 12．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据正数大于负数即可比较大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴． 13．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）[教材练习3变式] (1)绝对值是6的数有几个，各是什么？ (2)绝对值是0的数有几个，各是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 【答案】(1)2个，和6 (2)1个，0 (3)没有．因为任何数的绝对值都大于或等于0，所以没有绝对值是的数 【分析】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及性质是解题的关键． （1）根据绝对值的定义以及性质得出答案即可； （2）根据绝对值的定义以及性质得出答案即可； （3）根据绝对值的非负性得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴绝对值是6的数有2个，分别是和6． （2）解：∵只有0的绝对值是0， ∴绝对值是0的数有1个，是0． （3）解：没有．因为任何数的绝对值都大于或等于0，所以没有绝对值是的数． 14．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ 【答案】(1)张兵和蔡伟做的合乎要求 (2)蔡伟做的质量最好；李明做的较差 【分析】（1）绝对值大于0.02的就都是不合格的，所以张兵、蔡伟合格； （2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟最好、李明最差． 【详解】（1）解：，，，，，， ，，，，，， ∵直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为符合要求，张兵的是−0.017，蔡伟的是−0.011不超过0.02毫米的误差， ∴张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的； （2）解：， ∴6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王芳、李明， ∴蔡伟做的质量最好，李明同学做的质量最差， 答：蔡伟做的质量最好；李明做的较差． 【点睛】本题考查正数与负数的实际运用，涉及绝对值运算，弄清题意是解本题的关键． 15．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数有______个． 【答案】(1)， (2)或 (3)无数 【分析】（1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）根据绝对值的性质，结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：与的两点之间的距离是， 与的两点之间的距离是， 故答案为：，． （2）解： 当时，；当时，； ∴或， 故答案为：或． （3）解：根据材料提示两点之间距离公式，则表示为，即点到表示的点，与点到表示的点的距离和为，如图所示，    ∴在点之间的任何数都可以， 故答案为：无数． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离的计算，绝对值的性质的综合，掌握绝对值的性质计算数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+11大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 相反数与数轴的结合 题型四 求一个数的绝对值 题型五 绝对值的化简问题 题型六 绝对值的非负性 题型七 绝对值方程 题型八 绝对值的几何意义 题型九 绝对值的其他应用 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）－1的相反数是（   ） A．1 B．0 C． D．2 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）写出的相反数： ． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）化简得（　　） A．2024 B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若为，则的相反数是 ． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中） 的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）绝对值不大于的整数有 个． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，化简 ． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ， ． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．7 2．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）的相反数是（　　） A．3 B． C．-3 D． 1．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）若，互为倒数，，互为相反数且，的绝对值等于，则 ． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，求的值． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期末）下列有理数中，最小的数是（   ） A．0 B． C．2 D． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题三 相反数与数轴的结合】 【例3】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，数轴上表示数3的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来：如图，数轴上表示数的点如图所示，则把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为，则这两个点表示的数分别是 和 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．    4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【经典例题四 求一个数的绝对值】 【例4】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）的绝对值是（   ） A． B． C． D．9 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知非零有理数，，满足，则 ． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）画一条数轴，把下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，0， 【经典例题五 绝对值的化简问题】 【例5】（2025七年级上·安徽阜阳·模拟预测）下列化简结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【经典例题六 绝对值的非负性】 【例6】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【经典例题七 绝对值方程】 【例7】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）使成立的条件是（    ） A．A为任意实数 B． C． D． 1．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知，则 ． 3．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）已知，，且，则m的值为 ；n的值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【经典例题八 绝对值的几何意义】 【例8】（2025·安徽六安·模拟预测）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）已知，则的相反数的绝对值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【经典例题九 绝对值的其他应用】 【例9】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A．   B．   C．   D．   1．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知整数a1， a2， a3， a4， …，满足下列条件：a1＝－1，a2＝－|a1＋2|，a3＝－|a2＋4|，a4＝－|a3＋6|，…，依此类推，则a2020的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．则AB=|a－b|．所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= ； （2）式子|x－3|+|x+2|的最小值为 ； （3）若|x－3|+|x+2|=7，则x= ．    4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【经典例题十 有理数的大小比较】 【例10】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）下列各数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 1．（2024七年级·安徽安庆·模拟预测）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）用“”或“”或“”填空： （1） ； （2） 0； （3） ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·开学考试）（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【经典例题十一 有理数大小比较的实际应用】 【例11】（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）以下是四个城市在某一天同一时刻的气温，其中气温最低的是（   ） A．大同： B．朔州： C．忻州： D．太原： 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）生产同样的产品，小王三分钟可生产五个，小李五分钟可生产三个，则下列说法正确的是（   ） A．小王的工作效率高 B．小李的工作效率高 C．两人的工作效率一样高 D．无法比较两人的工作效率 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． 例如：， ．试探索： ， 3．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）以下结论：①有理数包括所有正数、负数和；②若两个数互为相反数，则它们相加的和等于；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的数是非负数；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，错误的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）数轴上有A、B两点，点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，3秒后，点P到点A的距离为 个单位长度． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 3．（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）式子的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为 . 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与          3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，数轴上点表示的数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 5．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）规定：，如，下列结论中正确的是 （   ） A．若则的值为8或2 B．若则 C．若取得最小值时，则的取值范围为 D．若则 6．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）9的相反数是 ． 7．（24-25七年级上·安徽淮北·期末） （填、或） 8．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）化简下列各数的符号： ； ； ； ． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 的相反数 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是 ． 11．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 12．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 13．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）[教材练习3变式] (1)绝对值是6的数有几个，各是什么？ (2)绝对值是0的数有几个，各是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 14．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ 15．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数有______个． 学科网（北京）股份有限公司 $$