微专题09 全等三角形中常见的几何模型（角平分线模型)-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题09 全等三角形中常见的几何模型 角平分线模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“角平分线”模型． 模型来源 角平分线模型是初中几何中的重要知识点，角平分线是从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等角的射线，涉及角平分线的性质、相关定理及其应用，结合其他已知条件（如对应角或边相等）来证明三角形全等，是初中平面几何中重要的辅助线技巧和解题模型，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 角平分线模型 一、例题讲模型 例.已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD． 求证：BE=AD． 分析：延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解. 解：证明：延长AC、BE交于F， ∵∠1=∠3，BE⊥AE， 在△AEF和△AEB中，， ∴△AEF≌△AEB(ASA)， ∴FE=BE， ∴BE=BF， ∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE， ∴∠1=∠2， 在△ACD和△BCF中，， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴AD=BF， ∴BE=AD. 二、提炼模型 1．如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP= ． 3．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 4．如图，在四边形中，，若平分，求证：．    模型运用 1．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则 ，②若，，则 . 2．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    3．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 4．如图，平分，于点，．求证：． 5．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 7．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC （1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为 ． （2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长． （3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB． 9．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 10．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题09 全等三角形中常见的几何模型 角平分线模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“角平分线”模型． 模型来源 角平分线模型是初中几何中的重要知识点，角平分线是从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等角的射线，涉及角平分线的性质、相关定理及其应用，结合其他已知条件（如对应角或边相等）来证明三角形全等，是初中平面几何中重要的辅助线技巧和解题模型，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 角平分线模型 一、例题讲模型 例.已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD． 求证：BE=AD． 分析：延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解. 解：证明：延长AC、BE交于F， ∵∠1=∠3，BE⊥AE， 在△AEF和△AEB中，， ∴△AEF≌△AEB(ASA)， ∴FE=BE， ∴BE=BF， ∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE， ∴∠1=∠2， 在△ACD和△BCF中，， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴AD=BF， ∴BE=AD. 二、提炼模型 1．如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵ 则， ， ， ， ∵， ∴ ∵平分 ∴， ∵ ， ∴ 故答案为：D． 2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP= ． 【答案】54° 【详解】 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=36°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-36°）， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-（x-36°）-（x-36°）=72°， ∴∠CAF=108°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA，PF=PM， ∴Rt Rt（HL）， ∴∠FAP=∠PAC=54°． 故答案为：54°． 3．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 【答案】5 【详解】过D作，，交延长线于F， ∵AD平分，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在四边形中，，若平分，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】解：在上截取，使，连接，      是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ． 模型运用 1．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则 ，②若，，则 . 【答案】 110° 70° 【详解】①∵， ∴∠BAC+∠BCA=140°， ∵AI、CI分别是、的角平分线， ∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°， ∴∠AIC=180°-70°=110°； ②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI， ∵CI平分∠ACB， ∴∠ACI=∠BCI， 在△ACI与△DCI中， ， ∴△ACI≌△DCI（SAS）， ∴AI=DI，∠CAI=∠CDI， ∵BC=AI+AC， ∴BD=AI， ∴BD=DI， ∴∠IBD=∠BID， ∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD， 又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线， ∴BI是∠ABC的平分线， ∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI， ∴∠CDI=∠ABC， ∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC， ∵∠ABC=35°， ∴∠BAC=35°×2=70°． 2．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】6 【详解】如图，在上取一点E，使，连接，   是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为6， 故答案为：6． 3．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 4．如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 5．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【答案】见解析 【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠FEC＝90°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCE＝∠BCE． 在△CFE与△CBE中， ∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE， ∴△CFE≌△CBE， ∴BE＝EF＝BF． 在△CFE与△CAD中， ∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°， ∴∠F＝∠ADC． 在△BFA与△CDA中， ∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC， ∴△BFA≌△CDA， ∴BF＝CD． ∴BE＝CD． 7．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 8．如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC （1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为 ． （2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长． （3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB． 【答案】（1）22.5°；（2）6；（3）见解析 【详解】解：（1）∵∠C＝2∠B，∠C＝90°， ∴∠B＝45°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝45°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAC＝22.5°， 故答案为：22.5°； （2）由（1）知，∠B＝∠BAC， ∴AC＝BC， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠C， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC， 又∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC，DE＝CD， ∴△DBE的周长=BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝6； （3）如图③，在AB上取一点F，使AF＝AC， ∵∠DAB＝∠DAC，AD=AD， ∴△DAF≌△DAC（SAS）， ∴DF＝CD，∠AFD＝∠C， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AFD＝2∠B， ∵∠AFD＝∠B+∠BDF， ∴∠BDF＝∠B， ∴BF＝DF， ∴BF＝CD， ∴AC+CD＝AF+BF＝AB． 9．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°． 【详解】解：（1）、分别是与的角平分线， ， ， ， （2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD， 由（1）得， ， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴， ∴， ∴， ∴ 在与中， ， ， ， ， ； ∵，， ∴ （3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 10．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K， ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，作，，在上取一点，使． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接． ∵，分别是和的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$