第十三讲 全等三角形判定四（2个知识点4大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点4大典例） 第十三讲 全等三角形判定四（解析版） 知识点梳理 知识点1 直角三角形的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 要点诠释： 1.适用范围 仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法。 2.判定条件  需满足：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等。 3.定理本质 可转换为“SSS”判定：已知直角三角形三边满足勾股定理（下册将学到） 本质是“边边角”（SAS）的特殊情况，因直角确保了夹角相等。 4.证明步骤 先通过“HL”证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的性质（如对应边相等）完成后续证明。 5.注意事项 书写时需明确标注“Rt”以强调直角条件。 不能与一般三角形的“SSA”混淆，后者在非直角三角形中不可判定全等 知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 . 确定全等三角形对应元素的方法 （1） 符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。 （2） 位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角） 要点诠释： 证明与计算要点 1.条件转化 通过旋转、中位线等性质构造全等三角形，如将线段中点连接转化为SAS条件； 利用外角性质、平行线性质辅助证明角度相等。 2.逻辑推理 从已知条件出发，逐步推导出全等条件（如通过角平分线、中线性质）； 结合三角形内角和、外角和定理辅助证明。 3.计算应用 全等后对应边相等、对应角相等，用于线段长度计算或角度求解；  典例精讲 题型1 添加条件能够运用HL证全等 例1．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    名师支招 1.仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法。  2.需满足：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的条件。 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想．根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 针对训练1 1．如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合， 故选：B． 2．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 3．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 【答案】（或） 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 4.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意； B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意； C．∵BA∥EF， ∴∠A＝∠ACF， 由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意； D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意． 故选：D． 题型2 利用HL证明三角形全等 例1．如图，在四边形中，已知，.求证：. 名师支招 . 直接判定 ：通过“HL”条件直接得出两个三角形全等，无需转换其他定理。 等价转换 ：可转换为“SSS”（三边相等）或“SAS”（两边及夹角相等）进行证明。例如，已知斜边和一条直角边相等，利用勾股定理可推导出另一条直角边也相等，从而满足SSS条件。 注意事项 书写规范 ：证明时需明确标注直角符号（Rt），并注意对应顶点的位置。 常见错误 ：避免混淆“HL”与“SSA”等无效判定定理，后者仅适用于非直角三角形。 答案：见解析 解析：证明：连接， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ； . 针对训练2 1．如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：. 答案：见解析 解析： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）. 2．如图，已知在和中，点E在边上，，，，求证：. 答案：证明见解析. 解析：证明：在和中， ， ∴. 3．已知：如图,,,,E,F是垂足.求证：； 答案：证明见解析 解析：证明：∵, ∴, ∴. ∵,, ∴. 在和中, , ∴, ∴. 4．课本第82页课内练习第1题：如图,在中,D为BC边上一点,,于点E,于点F,且,求证：. 【探究思考】同学们完成这道题目后,在老师的启发下对问题进行了反思探究,提出了如下思考： ①把题中的条件“”和结论“”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“D为BC上一点”改为“D为内部一点”,是否仍能得到？ 【问题解决】 (1)请你对上述两个问题作出判断,直接在横线上写“是”或“否”； (2)选择其中一个问题画出图形,并说明理由. 答案：(1)是 (2)是. 解析：(1)①是,②是 (2)①, 理由：如图1,连接AD, ∵, ∴, ∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F,, ∴, 在和中, , ∴中, ∴, ②,理由：如图2,点D是内部一点,连接DB,DC,过点D分别作,,E,F分别是垂足, 由题意可得:,, 在和中, ∴, ∴,, ∴, ∴, ∴, 5．如图,四边形中,,E是的中点,平分. (1)判断、、之间的数量关系,并证明； (2)若,,求和的面积之和. 答案：(1),证明见解析 (2)20 解析：(1),证明如下： 证明：如图,过点E作于点F, ∵, ∴, ∵平分,,, ∴, 又∵E是的中点, ∴, ∴, 在与中, , ∴, ∴, 在与中, , ∴, ∴, 又∵, ∴； (2)∵,, ∴, ∵, ∴, ∴和的面积之和梯形的面积的面积 , , . 题型3 利用全等三角形判定、性质证明和计算 例3．如图所示，在和中，给出以下4个论断： （1）； （2）； （3）； （4）． 以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程． 已知：________； 求证：________．    【答案】见解析（答案不唯一） 【知识点】全等三角形的性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意选出3个作为条件判定，再利用全等性质即可得到本题所证． 【详解】解：已知：，，， 求证：． 证明：在和中， ， ， 即， 则 针对训练3 1．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 【答案】见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、判断命题真假 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：、、、，本题共有四种情况，、、、均可以作为命题的结论，当或作结论时，其余三个条件的位置关系是不能证明三角形全等，所以不能得到真命题，只有把、作为结论时，得到的是真命题． 【详解】情况一、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ； 情况二、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ． 2．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接，求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据题意证得，可得，即可求解． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ， 平分． 3．如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 4．如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 【答案】(1)①；③；②（或①；②；③） (2)详见解析 【知识点】全等三角形的性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可； （2）根据选择的条件进行证明． 【详解】（1）解：解法一：选的条件是：①，③，结论是②； 解法二：选的条件是：①，②，结论是③； （2）解：解法一证明： ， ， 在和中， ， ， ． 解法二证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 5．如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 题型4 利用全等三角形判定找全等三角形 例4．如图，平分，于E，于D，与的交点为C，则图中全等三角形共有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 名师支招 1.明确已知条件  仔细分析题目中给出的边、角关系，优先选择匹配的判定定理。例如，若已知三边长度，优先用SSS；若已知两角及夹边，用ASA。 2.标记对应顶点 在证明时需明确对应顶点、边、角，避免混淆。例如，用字母顺序统一标记（如△ABC≌△DEF），便于后续推理。 排除常见错误 AAA（角角角） ：仅角相等不能判定全等。 SSA（边边角） ：非直角三角形中，此条件不能判定全等。 3.多角度验证 若图形复杂，可尝试从不同顶点或边寻找全等条件，确保不遗漏任何可能的全等三角形对。 答案：C 解析：平分， ， 又于E，于D， ， 又， ， ，， 又， ， ，， ， ， 又， ， 综上可知，图中全等三角形共有4对， 故选：C. 针对训练4 1．如图已知于于，则图中全等的三角形有_______对. 答案：3 解析：于，AE=CF ∴ Rt△ABE≌Rt△CDF（HL） ∴BE=DF ∴BF=DE ∴△BCF≌△BAE（SAS） ∴BC=AD ∴△ABD≌△CDB（SSS） 3对 2．如图，已知点C在OA上.点D在OB上，,AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有 对. 答案：4 解析： 3．如图，已知AO平分，，，图中全等三角形有( ). A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 答案：D 解析：AO平分， ， 在和中，， ， ，； 在和中，， ； 在和中，， ； 在和中，， ； 由上可得，图中全等三角形有4对， 故选：D. 4．如图，，，E是AC的中点，则图中全等的三角形有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 答案：B 解析：，，，，.又，，同理.故选B. 5．如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 答案：D 解析：，， ，， 是公共边， ， ， ，， ， ， ，， ， ，，， ， ， ，， ， ，，OD是公共边， ， ，，， ， 一共7对 故选D. 6．如图所示，已知，，于F，于E，则图中全等的三角形共有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 答案：A 解析：于E，于F ， ； ， ； ， ； ， ， . 故选：A. 创新拓展能力提升 1．如图,在五边形中,,. (1)请你添加一个与角有关的条件,使得,并说明理由； (2)在(1)的条件下,若,,求的度数. 答案：(1)添加一个角有关的条件为,使得,理由见解析 (2)的度数为 解析：(1)添加一个角方面的条件为,使得. 在和中 ∵,,, ∴； (2)在(1)的条件下∵, ∴, 若,, 则, ∴, ∴, 即的度数为. 2．如图，，点D在AC上，BC与DE交于点P. （1）若，，求的度数； （2）若，，D是AC的中点，求与的周长之和. 答案：（1） （2）15.4 解析：（1），， . ，， ， . （2）， ，， 和的周长之和为 . 3．如图，在中，，平分，交的平分线CE于点O.试判断BE，CD，BC之间的数量关系，并说明理由. 答案：.理由见解析 解析：.理由如下： 如图，在BC上截取，连接OF. 因为BD平分，所以. 在和中， 所以， 所以. 因为，，分别平分和， 所以 ， 所以， 所以，所以， 所以. 因为CE平分，所以. 在和中， 所以，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点4大典例） 第十三讲 全等三角形判定四 知识点梳理 知识点1 直角三角形的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 要点诠释： 1.适用范围 仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法。 2.判定条件  需满足：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等。 3.定理本质 可转换为“SSS”判定：已知直角三角形三边满足勾股定理（下册将学到） 本质是“边边角”（SAS）的特殊情况，因直角确保了夹角相等。 4.证明步骤 先通过“HL”证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的性质（如对应边相等）完成后续证明。 5.注意事项 书写时需明确标注“Rt”以强调直角条件。 不能与一般三角形的“SSA”混淆，后者在非直角三角形中不可判定全等 知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 . 确定全等三角形对应元素的方法 （1） 符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。 （2） 位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角） 要点诠释： 证明与计算要点 1.条件转化 通过旋转、中位线等性质构造全等三角形，如将线段中点连接转化为SAS条件； 利用外角性质、平行线性质辅助证明角度相等。 2.逻辑推理 从已知条件出发，逐步推导出全等条件（如通过角平分线、中线性质）； 结合三角形内角和、外角和定理辅助证明。 3.计算应用 全等后对应边相等、对应角相等，用于线段长度计算或角度求解；  典例精讲 题型1 添加条件能够运用HL证全等 例1．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    名师支招 1.仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法。  2.需满足：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的条件。 针对训练1 1．如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 3．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 4.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 题型2 利用HL证明三角形全等 例1．如图，在四边形中，已知，.求证：. 名师支招 . 直接判定 ：通过“HL”条件直接得出两个三角形全等，无需转换其他定理。 等价转换 ：可转换为“SSS”（三边相等）或“SAS”（两边及夹角相等）进行证明。例如，已知斜边和一条直角边相等，利用勾股定理可推导出另一条直角边也相等，从而满足SSS条件。 注意事项 书写规范 ：证明时需明确标注直角符号（Rt），并注意对应顶点的位置。 常见错误 ：避免混淆“HL”与“SSA”等无效判定定理，后者仅适用于非直角三角形。 针对训练2 1．如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：. 2．如图，已知在和中，点E在边上，，，，求证：. 3．已知：如图,,,,E,F是垂足.求证：； 4．课本第82页课内练习第1题：如图,在中,D为BC边上一点,,于点E,于点F,且,求证：. 【探究思考】同学们完成这道题目后,在老师的启发下对问题进行了反思探究,提出了如下思考： ①把题中的条件“”和结论“”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“D为BC上一点”改为“D为内部一点”,是否仍能得到？ 【问题解决】 (1)请你对上述两个问题作出判断,直接在横线上写“是”或“否”； (2)选择其中一个问题画出图形,并说明理由. 5．如图,四边形中,,E是的中点,平分. (1)判断、、之间的数量关系,并证明； (2)若,,求和的面积之和. 题型3 利用全等三角形判定、性质证明和计算 例3．如图所示，在和中，给出以下4个论断： （1）； （2）； （3）； （4）． 以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程． 已知：________； 求证：________．    针对训练3 1．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 2．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接，求证：平分． 3．如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 4．如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 5．如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 题型4 利用全等三角形判定找全等三角形 例4．如图，平分，于E，于D，与的交点为C，则图中全等三角形共有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 名师支招 1.明确已知条件  仔细分析题目中给出的边、角关系，优先选择匹配的判定定理。例如，若已知三边长度，优先用SSS；若已知两角及夹边，用ASA。 2.标记对应顶点 在证明时需明确对应顶点、边、角，避免混淆。例如，用字母顺序统一标记（如△ABC≌△DEF），便于后续推理。 排除常见错误 AAA（角角角） ：仅角相等不能判定全等。 SSA（边边角） ：非直角三角形中，此条件不能判定全等。 3.多角度验证 若图形复杂，可尝试从不同顶点或边寻找全等条件，确保不遗漏任何可能的全等三角形对。 针对训练4 1．如图已知于于，则图中全等的三角形有_______对. 2．如图，已知点C在OA上.点D在OB上，,AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有 对. 3．如图，已知AO平分，，，图中全等三角形有( ). A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4．如图，，，E是AC的中点，则图中全等的三角形有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 5．如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 6．如图所示，已知，，于F，于E，则图中全等的三角形共有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 创新拓展能力提升 1．如图,在五边形中,,. (1)请你添加一个与角有关的条件,使得,并说明理由； (2)在(1)的条件下,若,,求的度数. 2．如图，，点D在AC上，BC与DE交于点P. （1）若，，求的度数； （2）若，，D是AC的中点，求与的周长之和. 3．如图，在中，，平分，交的平分线CE于点O.试判断BE，CD，BC之间的数量关系，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$