华师大版八年级下册19.3正方形与特殊的四边形综合题专训（2）

华师大版八年级下册19.3正方形与特殊的四边形综合题专训 1、 正方形与平行四边形综合 试题１、如图，P是正方形ABCD内一点，以正方形ABCD的一条边做为对角线，点P与这条边的两个端点作平行四边形，依次得点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是正方形． 【分析】如图，连接BD、AC．则AC=BD．通过证明△AHE≌△PDB（SAS），推知HE=BD，∠AHE=∠PDB，则HE∥DB．易证四边形EFGH是平行四边形．同理，EF∥HG∥AC，EF=AC=HG，所以EH=EF，EH⊥EF，故四边形EFGH是正方形． 【解答】证明：如图，连接BD、AC．则AC=BD． ∵四边形AHDP和四边形AEBP为平行四边形， ∴AH=DP，AE=BP． 又∵∠HAP+∠APD=180°，∠EAP+∠BPA=180°． ∴∠HAE=∠BPD， 在△AHE与△PDB中， ， ∴△AHE≌△PDB（SAS）， ∴HE=BD，∠AHE=∠PDB， 又∵AH∥PD， ∴HE∥DB． 同理，GF=BD，GF∥BD， ∴HE=GF，HE∥GF∥BD， ∴四边形EFGH是平行四边形． 同理，EF∥HG∥AC，EF=AC=HG， 又AC⊥BD， ∴EH=EF，EH⊥EF， ∴四边形EFGH是正方形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质．证得EF⊥EH是解题的难点． 试题２、（2015春江阴市期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG． （1）求证：EF∥AC； （2）求∠BEF大小； （3）若EB=4，则△BAE的面积为　2　． 【分析】（1）利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决问题； （2）作辅助线构造出一对全等三角形，利用等边三角形的判定及其性质即可解决问题； （3）借助旋转变换将△BCG与△BAE拼接到一起，通过作辅助线求出△BHE的高，问题即可解决． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AE∥CF， 又∵AE=CF， ∴四边形AEFC是平行四边形， 故EF∥AC． （2）连接BG ∵四边形ABCD是正方形，且EF∥AC， ∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°； 故∠CFG=∠DEG=4