精品解析：陕西省延安市洛川县2024-2025学年下学期八年级数学义务教育质量监测

洛川县2024~2025学年度第二学期义务教育质量监测 八年级数学（人教版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 15 3. 如图，在中，，则的大小是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，连接，， ，若的周长是，则的周长是（　　）． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 的坐标是，点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中， 垂直平分于点E，，，则的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____． 10. 如图是甲、乙两支仪仗队队员的身高统计图，设这两支仪仗队队员身高数据的方差为，，则________．（填“”“”或“”） 11. 如图，在正方形 中，点为对角线上一点，若，则的度数为________． 12. 一次函数（为常数，）的图象如图所示，则关于的方程的解是________． 13. 如图，矩形 中，，，为的中点， 为 上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 为开展“暑假安全”教育活动，某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的权重进行评分，每一项满分分．已知八（）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为分， 分，分，求该班的最终得分． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请用尺规作图法在△ABC外求作一点D，使得四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，点在边上，， 为线段上一点， ．求证： ． 19. 无人配送车是基于通信技术的自动驾驶末端物流解决方案．一辆行驶速度恒定的无人配送车从快递公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再次卸完包裹后按原路返回快递公司．已知快递公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同．无人配送车离快递公司的路程（单位：）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题： （1）A驿站距离快递公司_______，B驿站距离A驿站________； （2）在B驿站卸包裹所用的时间为________； （3）这辆无人配送车从B驿站卸完包裹后返回快递公司路上的平均速度是多少？ 20. 光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板 ，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 21. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目名称 测量学校旗杆的高 项目背景 某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 项目方案 ①如图，旗杆垂直地面．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，发现多出了一段绳子．用皮尺测出的长度；②随后小丽同学将绳子末端放置于头顶 处，沿方向后退，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出小丽的身高及点与旗杆底端的水平距离． 测量数据 ，，． 请根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 22. 日前，国家卫生健康委员会负责人表示，将持续推进体重管理年行动．旨在通过建立支持性环境、提升全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，最终改善部分人群体重异常状况．标准体重和身高之间满足一次函数关系，部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高 … … 标准体重 … … （1）求和之间的函数关系式； （2）若一个人的实际体重超过或低于标准体重的（包括）为正常范围．已知李敏的身高是，体重是，请你估计李敏的体重是否在正常范围内？ 23. 课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．学校为了解本校学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了20名本校学生每周用于课外阅读的时间（单位：），按照A．；B．；C．；D．进行分类整理，得到如下结果． ①被调查学生每周用于课外阅读的时间分布情况： 组别 每周用于课外阅读的时间 组中值 频数（人数） A 20 3 B 60 5 C 100 8 D 140 4 ②C组的数据是81，81，82，82，90，100，100，110． 根据以上信息，回答下列问题： （1）这20名学生每周用于课外阅读的时间的中位数落在______组，中位数是______； （2）求这20名学生每周用于课外阅读的时间的平均数；（每组中各数据用该组的组中值代替） （3）王辰每周用于课外阅读的时间为87分钟，结合调查结果，他认为自己每周用于课外阅读的时间在本校属于中等偏上的水平，你认为他的判断是否正确？请说明理由． 24. 如图，在四边形 中，，，对角线， 交于点，平分，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形 为菱形； （2）若，，求的长． 25. 根据素材，完成下面任务． 学农实践活动 活动背景 为贯彻落实国务院下发的《加快建设农业强国规划（2024-2035年）》，洛川农业发展聚焦特色产业培育、科技赋能和生态保护，推动县域农业现代化．某校组织学生去当地果园进行学农实践活动，体验苹果采摘、包装和销售的过程． 素材一 同学们在活动中了解到该果园的苹果大小均匀、甘甜多汁，吸引大量游客前来采摘购买，苹果的原价为5元/ ． 素材二 为回馈新老顾客，果园对于来购买的游客给出以下两种优惠方案： 方案一：一次性购买苹果超过以上的部分按照原价的6折销售； 方案二：所有苹果按照原价的8折销售． 同学们在离开果园前购买了苹果带回去给家人品尝． （1）若选择方案一购买需要花费元，选择方案二购买需要花费元，求，关于的函数解析式； （2）同学们选择哪种方案购买更划算？ 26. 【问题提出】 （1）如图①，在矩形 中， ，，对角线的垂直平分线分别交 ，于点，，连接，则的长为_______； （2）如图②，在矩形 中，对角线的垂直平分线与边 ，分别交于点， ，将矩形 沿直线翻折，使点的对称点与点 重合，点的对称点为点．若 ，，求折痕的长； 【问题解决】 （3）如图③， 是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，， 分别为边 ，的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，， ，米，， ，为两个饲料储存点，其中为的中点，点 在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛川县2024~2025学年度第二学期义务教育质量监测 八年级数学（人教版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的化简．根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断即可． 【详解】解：A项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意； B项，，本项是最简二次根式，故符合题意； C项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意； D项，，本项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：观察统计表中“个数”对应的“人数”，个数出现 次，个数出现次，个数 出现次，个数出现次，个数出现 次 ．因为，即个数 出现的次数最多． ∴“引体向上”的个数的众数是11， 故选C 3. 如图，在中，，则的大小是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 由平行四边形的性质证明，结合，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∵， ． ∵， ． 由三角形的内角和定理，得． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在 中，D，E，F分别是，，的中点，连接， ， ，若 的周长是，则的周长是（　　）． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 由于分别是，的中点，则是 的中位线，那么 ，同理有，于是易求的周长． 【详解】解：∵D，E分别是 的边，的中点， ∴ ， 同理，， ． 故选B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 的坐标是，点在 轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，关于 轴对称的点的坐标特点，由菱形 关于所在的直线即 轴对称，从而可得答案. 【详解】解：∵菱形 ， ∴菱形 关于所在的直线即 轴对称； ∵顶点 的坐标是， ∴， 故选：A 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，分和两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可． 【详解】解：当时，的图象过一、二、三象限；的图象过二、四象限； 当时，的图象过二、三、四象限；的图象过一、三象限； 可见，符合条件的只有B． 故选：B． 8. 如图，在中， 垂直平分 于点E，，，则的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接 交于点F． ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，根据有意义的条件列不等式，再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 二次根式有意义， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟练的利用二次根式有意义的条件列不等式是解题的关键. 10. 如图是甲、乙两支仪仗队队员的身高统计图，设这两支仪仗队队员身高数据的方差为，，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据方差反映的是数据的波动程度，根据数据的波动越大，方差越大，数据的波动越小，方差越小进行解答即可． 【详解】解：由统计图可知，甲队身高数据波动比乙队身高数据的波动小， 所以甲的方差比乙的小，即． 故答案为：． 11. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为________． 【答案】 ##20度 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的外角性质，根据正方形的性质求出，然后利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∴， 故答案为： ． 12. 一次函数（为常数，）的图象如图所示，则关于 的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为 时对应自变量的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时，， ∴关于 的方程的解为， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，， ，为的中点，为 上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹． 如图，取 中点 ，连接 交于 ，连接，由中位线定理可得即为点的运动轨迹，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【详解】解：如图，取 中点 ，连接 交于 ，连接，连接， 四边形是矩形， ， ， ∵矩形中，点是中点，点 是 中点， ，四边形 是矩形， ， 四边形 是矩形， 点 是的中点， 又 是的中点， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， 过点作，垂足为点H， ， 的最小值为； 故答案为： 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算. 先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 15. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式的运算，先根据平方差公式，完全平方公式进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 为开展“暑假安全”教育活动，某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的权重进行评分，每一项满分分．已知八（ ）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为分， 分，分，求该班的最终得分． 【答案】该班的最终得分为 分． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，加权平均数，根据加权平均数，结合扇形统计图得出，然后求解即可，掌握加权平均数的计算是解题的关键． 【详解】解：由扇形统计图可知，该班的最终得分， ∴该班的最终得分为 分． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请用尺规作图法在△ABC外求作一点D，使得四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】分别以 ，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图 复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 如图，在中，点在边上，，为线段上一点， ．求证： ． 【答案】 证明：∵ 是平行四边形， ∴， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；先根据平行四边形的性质得到 ，然后利用 得到 ，即可得到结论． 【详解】略 19. 无人配送车是基于通信技术的自动驾驶末端物流解决方案．一辆行驶速度恒定的无人配送车从快递公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再次卸完包裹后按原路返回快递公司．已知快递公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同．无人配送车离快递公司的路程（单位：）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题： （1）A驿站距离快递公司_______，B驿站距离A驿站________； （2）在B驿站卸包裹所用的时间为________； （3）这辆无人配送车从B驿站卸完包裹后返回快递公司路上的平均速度是多少？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查从函数图象提取相关信息； （1）根据图中纵坐标解答即可； （2）根据图中的横坐标数值计算解答即可； （3）根据速度路程 时间解答即可． 【小问1详解】 解：由图中纵坐标可知A驿站距离快递公司，B驿站距离A驿站， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由横坐标可得B驿站卸包裹所用的时间为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：这辆无人配送车从B驿站卸完包裹后返回快递公司路上的平均速度是． 20. 光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板 ，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用，数形结合表示出阴影部分矩形的长和宽，并运用二次根式乘法运算求解是解决问题的关键．先由题中两个正方形面积分别为和，直接开平方得到边长，进而表示出阴影部分矩形长和宽，再由矩形面积公式代值求解，由二次根式乘法运算计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，正方形 的面积为，则边长为； 正方形的面积为，则边长为； 阴影部分矩形长为，宽为，则屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为， 答：屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为． 21. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目名称 测量学校旗杆的高 项目背景 某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 项目方案 ①如图，旗杆 垂直地面．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，发现多出了一段绳子．用皮尺测出的长度；②随后小丽同学将绳子末端放置于头顶 处，沿方向后退，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出小丽的身高及点与旗杆底端的水平距离． 测量数据 ，，． 请根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆 的高． 【答案】学校旗杆的高为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设，过点 作于点，在中根据勾股定理求出 的值即可． 【详解】解：过点 作于点， ， ∴四边形是矩形， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得： 即 解得， ， 答：学校旗杆的高为． 22. 日前，国家卫生健康委员会负责人表示，将持续推进体重管理年行动．旨在通过建立支持性环境、提升全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，最终改善部分人群体重异常状况．标准体重和身高之间满足一次函数关系，部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高 … … 标准体重 … … （1）求和 之间的函数关系式； （2）若一个人的实际体重超过或低于标准体重的（包括）为正常范围．已知李敏的身高是，体重是，请你估计李敏的体重是否在正常范围内？ 【答案】（1） （2）在正常范围内 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （ ）设和 之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可求解； （ ）把代入（ ）所得函数解析式求出的值，再求出实际体重超过或低于标准体重百分比，进而即可判断求解； 【小问1详解】 解：设和 之间的函数关系式为， 把，分别代入， 得， 解得， 和 之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当身高时，， ， ∴李敏的体重在正常范围内． 23. 课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．学校为了解本校学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了20名本校学生每周用于课外阅读的时间 （单位：），按照A．；B．；C．；D．进行分类整理，得到如下结果． ①被调查学生每周用于课外阅读的时间分布情况： 组别 每周用于课外阅读的时间 组中值 频数（人数） A 20 3 B 60 5 C 100 8 D 140 4 ②C组的数据是81，81，82，82，90，100，100，110． 根据以上信息，回答下列问题： （1）这20名学生每周用于课外阅读的时间的中位数落在______组，中位数是______； （2）求这20名学生每周用于课外阅读的时间的平均数；（每组中各数据用该组的组中值代替） （3）王辰每周用于课外阅读的时间为87分钟，结合调查结果，他认为自己每周用于课外阅读的时间在本校属于中等偏上的水平，你认为他的判断是否正确？请说明理由． 【答案】（1）C， （2） 分钟 （3）正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查统计表，中位数，计算平均数； （1）根据中位数的定义解答即可； （2）利用组中值和加权平均数的计算公式解答即可； （3）根据中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：把这组数据排列后居于中间的第个和 个数据都落在C组，故中位数落在C组； 这时第个和 个数据为81，82，故中位数为（分钟）， 故答案为：C，； 【小问2详解】 解：平均数为（分钟）； 【小问3详解】 解：正确，理由为： 由于这组数据的中位数为分钟，故学校每周用于课外阅读的时间中位数为分钟 而王辰每周用于课外阅读的时间为87分钟大于分钟， ∴王辰每周用于课外阅读的时间在本校属于中等偏上的水平． 24. 如图，在四边形中，，，对角线， 交于点 ，平分，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行的性质判断出，再根据角平分线的定义得到，等量代换判断出，得出，先判定四边形是平行四边形，再判定四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， 在中，，则由勾股定理可得， ． 【点睛】本题主要考查四边形综合，涉及平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 25. 根据素材，完成下面任务． 学农实践活动 活动背景 为贯彻落实国务院下发的《加快建设农业强国规划（2024-2035年）》，洛川农业发展聚焦特色产业培育、科技赋能和生态保护，推动县域农业现代化．某校组织学生去当地果园进行学农实践活动，体验苹果采摘、包装和销售的过程． 素材一 同学们在活动中了解到该果园的苹果大小均匀、甘甜多汁，吸引大量游客前来采摘购买，苹果的原价为5元/ ． 素材二 为回馈新老顾客，果园对于来购买的游客给出以下两种优惠方案： 方案一：一次性购买苹果超过以上的部分按照原价的6折销售； 方案二：所有苹果按照原价的8折销售． 同学们在离开果园前购买了苹果带回去给家人品尝． （1）若选择方案一购买需要花费元，选择方案二购买需要花费元，求，关于 的函数解析式； （2）同学们选择哪种方案购买更划算？ 【答案】（1）， （2）当购买苹果超过 时，选择方案一购买更划算；当购买苹果为 时，两种方案购买花费一样；当购买苹果超过 而不足 时，选择方案二购买更划算 【解析】 【分析】本题考查一次函数解应用题，读懂题意，正确得到一次函数表达式是解决问题的关键． （1）由方案一和方案二要求直接求解即可得到答案； （2）分，，分别求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：苹果的原价为5元/ ， 方案一：一次性购买苹果超过以上的部分按照原价的6折销售，则； 方案二：所有苹果按照原价的8折销售：； 【小问2详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得 ， 当时，，解得， ∵， ∴， 综上：当购买苹果超过 时，选择方案一购买更划算； 当购买苹果为 时，两种方案购买花费一样； 当购买苹果超过 而不足 时，选择方案二购买更划算． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在矩形中， ，，对角线的垂直平分线分别交，于点， ，连接 ，则的长为_______； （2）如图②，在矩形中，对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，将矩形沿直线 翻折，使点的对称点与点 重合，点的对称点为点．若，，求折痕 的长； 【问题解决】 （3）如图③， 是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，，分别为边，的中点，在四边形 内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，， ，米，，，为两个饲料储存点，其中为 的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为米 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到 ，由矩形性质得到，，，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）先由折叠性质得到， ，再结合矩形性质得到，进而确定，等量代换得到，则由等腰三角形性质确定 ，由 是对角线的垂直平分线，得到 ，则，设，则，在 中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）先证明四边形 是平行四边形，四边形是平行四边形，从而得证四边形是矩形，即可得到四边形 是菱形，由菱形性质确定点和点关于对称，即 ，则，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为，结合菱形性质得到是等边三角形，由三线合一确定，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：（1）是线段的垂直平分线， ， 在矩形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得，则的长为， 故答案为：； （2）将矩形沿直线 翻折，使点的对称点与点 重合，点的对称点为点，则， ， ， ， 则，即 ， 是对角线的垂直平分线， ， 则， 设，则， 在 中，，则由勾股定理可得， 即， 解得， 过点作 ，如图所示： 四边形 是矩形， 则，， 在中，，则由勾股定理可得； （3）在中，，， ，分别为边，的中点， ，，则， ， 四边形 是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，则， ， 四边形 是菱形， 点和点关于对称，连接，如图所示： 即， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为，连接，如图所示： 在菱形 中，，则， 即是等边三角形， 为 的中点， 米，且由等腰三角形三线合一性质得， 在中， ，米，米，则由勾股定理可得米． 【点睛】本题是四边形综合问题，考查知识点多而杂，难度较大，涉及垂直平分线性质、勾股定理、对称性质、平行线性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短求最值、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $