2.5.2 圆的切线&教材回归(一) 圆的切线的判定方法-【全效学习】2024-2025学年九年级数学下册同步学练测（湘教版）

第2章圆1 2.5.2 圆的切线 第1课时 圆的切线的判定 长课堂导学 XA组·基础达标 逐点去 知识梳理 知识点 切线的判定 经过半径的 并且 1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线1相切的是 于这条半径的直线是圆的切线。 ( 例题引路 A.以PA为半径的圆 B.以PB为半径的圆 例如图，AB为⊙O的直径，C为 C.以PC为半径的圆 D.以PD为半径的圆 ⊙O上一点，AD⊥CD,垂足为D,AC平 分∠DAB.求证：CD是⊙O的切线. D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，已知⊙O的半径为3，OP⊥EF于点P,则当OP= 【思路分析】由于C是⊙O上一点， 时，直线EF是⊙O的切线 连接OC,证明OC⊥CD即可 3.如图，A,B是⊙O上两点，AC是过点A的一条直线，若 【规范解答】如答图，连楼OC ∠AOB=120°，则当∠CAB= 时，直线AC是⊙O 的切线 4.如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C,连 接BD.已知∠A=∠B=30°，求证：BD是⊙O的切线， D 例题答图 0A=OC, ∴.∠OAC=∠OCA :AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠OAC. .∠DAC=∠OCA. ∴.AD∥OC. AD LCD, ∴OC⊥CD. 点C在⊙O上， .CD是⊙O的切线。 557 数学九年级下册[湘教版] 5.如图，在△ABC中，AB=AC,O是BC的 8.[2024眉山]如图，BE是⊙O的直径，点A在 中点，OD⊥AB,垂足为D,以点O为圆心， ⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC= OD为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切. ∠ABC,AD平分∠BAE交⊙O于点D,连 接DE (1)求证：CA是⊙O的切线： (2)当AC=8,CE=4时，求DE的长. 园B组·能力提升 强化突破 6.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点 D,DE⊥AC于点E,要使DE是⊙O的切 线，还需补充一个条件，则补充的条件不正 确的是 ( A.DE=DO B.AB=AC C.CD=DB D.AC∥OD 7.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点， D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A.求 证：CD是⊙O的切线. 01 56 第2章圆1 的C组·核心素养拓展 (2)点G是半径OB上的点，过点G作OB 素养秀适 的垂线与BC交于点F,与DC的延长线交 9.[2024广安]如图，点C在以AB为直径的 ⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA= 于点E,若mD=台，DA=PG=2,求CE ∠CBA. 的长 (1)求证：DC是⊙O的切线； 577 数学九年级下册[湘教版] 教材回归（一） 圆的切线的判定方法 教材母题（教材P67练习第2题） 点C,且BP=PC,PE⊥AC于点E.求证：PE 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C, 是⊙O的切线. 并且OA=OB,AC=BC.求证：直线AB是 ⊙O的切线， 变形2如图，在四边形ABCD中，AB= AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连 接AC,AC与OD相交于点E,若AC=2BC, 求证：DC与⊙O相切. 【思想方法】证明某直线为圆的切线时： (1)如果该直线与已知圆有公共点，那么 可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半 径，即“连半径，证垂直”； (2)如果不能确定该直线与已知圆有公共 点，那么过圆心作直线的垂线，证明图心到直 线的距离等于半径，即“作垂直，证半径” 一、有公共点·连半径，证垂直 变形1如图，在⊙O中，AB为⊙O的直 径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于 58 第2章圆1 变形3如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 变形4如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D,连 90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D, 接BD. E为BC边的中点，连接DE. (1)求证：∠A=∠CBD: (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AB=10,AD=6,M为线段BC上 (2)若AC=BC,判断四边形OCED的形 一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与 状，并说明理由 ⊙O相切，并说明理由。 597 数学九年级下册[湘教版] 变形5如图，已知在△ABC中，AB= 二、无公共点→作垂直，证半径 AC,AE是∠CAB的平分线，BM平分∠ABC 变形6如图，在△ABC中，O为AC上 交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC 一点，以点O为圆心，OC的长为半径作圆，与 于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径 BC相切于点C,过点A作AD⊥BO,交BO (1)求证：AE与⊙O相切； 的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.求证： (2)当BC=4,osC=号时，求⊙0的 AB为⊙O的切线， 半径. 0 60 第2章圆Y 第2课时 圆的切线的性质 卡课堂导学 XA组·基础达标 逐正清废 知识梳理 圆的切线 于过切点的半径. 知识点 切线的性质 例题引路 1.[2024山西]如图，已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC 例如图，AB是⊙O的直径，CD与 ⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点 于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°，则 D,DE⊥AD且与AC的延长线交于 点E. ∠C的度数为 () (1)求证：DC=DE: A.30 B.40° C.45 D.50° (2)若tan∠CAB= 2,AB=3,求 BD的长. 【思路分析】(1)利用切线的性质结 第1题图 第2题图 第3题图 合等腰三角形的性质得出∠DCE一∠E,2.如图是不倒翁的轴截面示意图，不倒翁的圆形脸恰好与帽 进而得出答案；(2)设BD=x,则AD= AB+BD=3+,OD=OB+BD=1.5+ 子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是 x,利用勾股定理得出BD的长 【规范解答】(1)证明：如答图，连 圆心O.若∠OAB=28°，则∠APB的度数为 () 接OC. A.28 B.50° C.56 D.62 3.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD垂直于过点C的切线， 垂足为D.若∠CAD=37°，则∠CAB的度数为 4.[2023邵阳]如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC 例题答图 ,CD是⊙O的切线， 与⊙O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°，则∠BOD .∠OCD=90°， 的度数为 ,∴.∠ACO+∠DCE=90 又'ED⊥AD,,.∠EDA=90°， ∴∠EAD+∠E=90 'OC=OA,,∠ACO=∠EAD, ∠DCE=∠E, .DC=DE. 0 (2)解：设BD=x,则AD=AB+BD 3+x,OD=OB+BD=1.5+z. 第4题图 第5题图 在Rt△EAD中，：an∠CAB=2, 1 5.将以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图所示 AD=3+). ·ED=J 的方式摆放，直角顶点B在量角器的零刻度线所在的直线 由(1)知，DC=DE=2(3+x): 1 ED上，且量角器与三角板只有一个公共点P.若点P的读 在Rt△OCD中，OC+CD=DO2, 数为35°，则∠CBD的度数为 「1 即1.5+23+习=1.5+z, 6.如图，在△ABC中，D是AC上一点， 解得x1=一3（含去），x,=1. 以AD为直径的半圆O恰好切CB于 故BD=1. 【点悟】已知的切线时，常连接圆 点B,连接BD,若∠CBD=21°，则 心和切，点，得到半径垂直于切线，通过构 造直角三角形来解决问题，即“见初线，连 ∠C的度数为 半径，得垂线”. 617 十数学九年级下册[湘教版 7.如图，已知⊙O的直径AB的长为4cm,C (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B 是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O 作⊙O的切线，交CE于点F.(不写作法， 的切线交AB的延长线于点P,求BP 保留作图痕迹，标明字母)》 的长 (2)在(1)的条件下，求证：BD=BF 昌带点未注意分类讨论而出错 11.如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长 8.[2023滨州]如图， 线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为 PA,PB分别与⊙O 点C,连接AC,BC,过点A作AD⊥EC 相切于A,B两点，且 交EC的延长线于点D. ∠APB=56°，若点C (1)求证：∠BCE=∠CAD; 是⊙O上异于点A,B的一点，则∠ACB D 的度数为 邑B组·能力提升 强化突成 9.[2024福建]如图，已知点A, B在⊙O上，∠AOB=72°， 直线MN与⊙O相切，切点 为C,且C为AB的中点，则∠ACM= A.18° B.30°C.36° D.72° 10.[2023连云港]如图，在△ABC中，AB= AC,以AB为直径的⊙O交边AC于点 D,连接BD,过点C作CE∥AB. 62 第2章圆1 (2)若BE=2,CE=4,求AD的长. (1)若点O沿AB向点B移动，以点O为 圆心，OB为半径的圆仍交BC于点D,DE⊥ AC,垂足为E,AB=AC不变（如图②）， 那么DE与⊙O有什么位置关系？请写出 你的结论并证明； (2)在(1)的条件下，若⊙O与AC相切于 点F,交AB于点G(如图③)，⊙O的半径 为3，CE=1,求AF的长. 的C组·核心素养拓展 第养浅透 12.【运算能力】[2024凉山州]如图，⊙M的圆 心为M(4,0),半径为2，P是直线y=x十 4上的一个动点，过点P作⊙M的切线， 切点为Q,则PQ的最小值为 Y,y=x+4 13.【推理能力】如图①，在△ABC中，AB= AC,O为AB的中点.以点O为圆心，OB为 半径的圆交BC于点D,过点D作DE⊥ AC,垂足为E,我们可以证得DE是⊙O 的切线。 ② 637口年直，点白坐标为一1,0O成一1n1填C7,非 1一女函数的表达大为y一-一，抽品前酒象作对 称轴为直线方一：票点维标为：一利 2存车：直Q路常每0：一4盛4N-1及1 1.5二次适数的应用 第：时成立二衣西数校草 【4金·系品地标】 Let。 【非度：越方成件】 制随保门 点0重上数玉器里处 U0的长为明物 第生西时利两二大函时制清号面有类的装都同明 A速+嘉减力 L■2A 1(1带刺标湖金连价龙，显8格每鱼选餐的汽 口以无于x轴商能表越文为)=一+1u一男网 佳<工Gy的道夫望有10N无 夏：能方澳并】 411￥=一1十规，5一了r+ )国食纳城系纯罐南利存在最大重，是大度为第，列 。的当 -(-）'号 宵减本量租时，能制产目图同利面为生指用风 青路传题是1时，可存即量大利到响大利面品3方酒 本章复习退 LB3.Ay-+- L能相迪的调首梨式★5”一4他山平1，副看抽为点直 气直延新 白进销线养里有事际为（行一之】 其CAi%D 的汽A斜有际海同是前方北耐，A岸青两一天的身4 3LC11程老置简解青式为方=十上1】 C5根客：直P9量标(2，】度14。=5 项日化学习 保务货得名立人每工素"里果，7书上人知工“风国 装名工人工“工”里，图可孩大时 第2章风 速·■方赛年 【标+留才洗并】 2.1医的对序性 (1-,A0-O-44 1三11区P两作经与1 师说能理】 C平体脑青有为日 3定有宽帮周化等是 直线A与C的青美系相 机(1山使现箱G打30的单整为手 C里1e=14 3为上并 “1.3稀径定 [师更规厘】 1(11片#=含时，点线4与E40日 【面：香硅这标】 11期”据达棒】 1集1一5，的成190 11H集方有重A证，AD L第L排复灯4Cn(C 有堂线一，知，店强有欢，尼等，化里有玩 (起通健指，8A在线有坠有A的时气共号 1L1 土51园的门顿 【和写·箱内黄开】 (1山两■高gO销甲量￥为34 LC LI 2来需要漏题聚0间海 外垂直 2车成C的甲帮为1时.aD在国C无 专题相练五】与题的基本性质有关的 计算与证明 4.祖明每 1∠的- 上.】性明商2发文证明障 1.们1整到略40西精身：C里-Li 北标至：量去道光1 22圆心角，医周角 4》明商42A卢+ 2.21民心角 【提速灌理1 40-￥ 教材回归（一）夏的切城的判定方法 1.复重 行标通塑M调每 【a面r惠陈过标] 2.4过不共线三点作园 烟状被厘】 麦面证感 1,山1△C皇等题三有卷：理白略2引显有略 1厘 变形3小》址期暗 .到2雪有6 【4粗-者花达标】 1.书2D 查4CU证g 证有的 国白眼风函0利证方果，难制脑 2,2,1图周角 原1器时因面角2高神经 80n整为号 烟说理】 西配里军新 ■上制义 4D I.C LT 3国到有算 【1象·量方两月】 【无速花理】 【L星·香随跳短门 L1制电(2△AC降国的申轻为1 1.41∠且D=2Mm塔 4D3C1Pr4”L4时 品，△A是等追三果，证明每 e明● 和屋，能方洗丹】 C31W边后A0为电园，m请第 L了在A 红证聘 mA-t4i-+道 2.5直线与夏的位置美系 能？单时围两黑定速的维地子见西门健器总际的性明 2.5.1直丝与周的位置关系 【能国键重】 知说装理】 1.直直检 (2山显有将 1可异 【L■：题品】 cAD-号 1C4■104B14h 1.保1化k34C表A 1127 学九下到老程】考满南一利一