2.3二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

人教A版2019必修第一册 二次函数与一元二次方程、不等式 第 2 章 2.3 二次函数与一元二次方程不等式(第2课时) 学习目标 1.熟练掌握分式不等式的解法． 2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系． 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 目录 CATALOG 01.三个“二次”的关系及应用 03.题型强化训练 02.一元二次不等式的实际应用 04.小结及随堂练习 01 二次函数与一元二次方程、不等式 三个“二次”的关系及应用 外卖平台的“满减陷阱” 导入新知 “某平台满减规则： 订单金额满x元减20元，实付金额需不低于原价80%。若原价为100元，求x的范围。” 外卖平台的“满减陷阱” “开发商用栅栏围矩形车位，一边靠墙，三边总长 20 米，要求面积≥48 平方米，求靠墙边长 x 的范围。”。 导入新知 “开发商用栅栏围矩形车位，一边靠墙，三边总长20米，要求面积≥48平方米， 求靠墙边长x的范围。” 小区车位的“黄金分割线” 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 分式不等式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 一元二次不等式的概念及辨析 导入新知 例4：一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系： y=-20x2+2200x， 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车， 根据题意，得 导入新知 例4：一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系： y=-20x2+2200x， 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得60000元以上的收益． 学习新知 变式：某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式． (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 解不含参数的一元二次不等式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 解含有参数的一元二次不等式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 学习新知 解不等式应用题的步骤 读 建 解 答 02 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式的实际应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 一元二次不等式在几何中的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 一元二次不等式的实际应用 学习新知 学习新知 学习新知 问题2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围． 学习新知 问题2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由一元二次不等式的解确定参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 总结新知 三个“二次”的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤 求方程 f(x)＝0的解 有两个不等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 总结新知 {x|x＜x1或x＞x2}　 R　 {x|x1＜x＜x2}　 ∅　 ∅　 03 题型强化训练 二次函数与一元二次方程、不等式 能力提升 题型一：简单方式不等式的解法 能力提升 分式不等式的解法 能力提升 题型二：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 能力提升 小结 能力提升 题型三：一元二次不等式的实际应用 能力提升 题型三：一元二次不等式的实际应用 能力提升 解不等式应用题的步骤 能力提升 题型四：一元二次不等式恒成立问题 能力提升 题型四：一元二次不等式恒成立问题 能力提升 题型四：一元二次不等式恒成立问题 能力提升 解题方法（一元二次不等式恒成立问题） 04 小结及随堂练习 二次函数与一元二次方程、不等式 课堂总结 二次函数与 一元二次方程 不等式(第2课时) 课堂总结2 1．知识清单： (1)简单的分式不等式的解法． (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用． (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：转化法、恒等变形法． 3．常见误区： (1)解分式不等式要等价变形． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． 作业 二次函数与一元二次方程、不等式 (1)整理本节课的题型； (2)课本P54的练习1~3题； (3)课本P55的习题2.3的5~6题. 练习（第54页） 练习（第54页） 2．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽应为多少米？ (第2题) 练习（第54页） 3．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 所以售价应大于或等于15元，且小于20元． 练习2.3（第55页） 练习2.3（第55页） (1)解：依题意得 x 练习2.3（第55页） x (2)解：依题意得 解得 练习2.3（第55页） 练习2.3（第55页） 答：能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2.04 秒. 练习2.3（第55页） 练习2.3（第55页） 6.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将收到热带风暴的影响，影响时间大约多长（精确到0.1h） 码头 热带风暴中心 所以,经过约13.7小时码头将受到风暴的影响,影响时间为15.0小时. 复习参考题2（第57页） 1．某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5项．若只选择A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；若每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来． 复习参考题2（第57页） ＞ ＜ ＞ 复习参考题2（第57页） ＞ ＜ ＞ 复习参考题2（第57页） ＞ ＜ ＞ 复习参考题2（第57页） ＞ ＜ ＞ 复习参考题2（第57页） 3．(1)在面积为定值S的扇形中，半径为多少时扇形的周长最小？ (2)在周长为定值P的扇形中，半径为多少时扇形的面积最大？ 复习参考题2（第57页） 复习参考题2（第57页） 复习参考题2（第57页） 复习参考题2（第57页） 7．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ 复习参考题2（第57页） 7．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ (2)公寓的采光效果变好了． 复习参考题2（第57页） 8．相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题．请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由． 相等关系 不等关系 相等关系的命题 不等关系的命题 判断正误 正确 错误 错误 错误 复习参考题2（第57页） 9．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/ m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/ m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/ m2．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）．当x为何值时，S最小？并求出这个最小值． 复习参考题2（第57页） 复习参考题2（第57页） 10.两次购买同一种商品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。哪种购物方式比较经济?能把所得结论作一些推广吗? 复习参考题2（第57页） 10.两次购买同一种商品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。哪种购物方式比较经济?能把所得结论作一些推广吗? 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济. 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】不等式 的解集为 ． 【解析】由 ，得 ，所以 或 ， 故不等式得解集为 或 ． 故答案为： 或 ． 【练习2】不等式 的解集是 A． B． C． 或 D． 或 【解析】由 得：      或 不等式 的解集为： 或 故选D. 【练习3】（多选题）下列四个不等式中，解集为 的是（    ） A． B． C． D． 【解析】A选项， ，所以 的解集不可能为空集； B选项， ，而 开口向上，所以 解集为空集； C选项， 的解集为 ，所以不为空集； D选项， 当且仅当 a = 2时等号成立，而 开口向下，所以 为空集； 故选：BD 【解析】(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x) (0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当即 解不等式组，得0＜x＜． 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为． 【练习4】（多选题）与不等式 的解集相同的不等式有（    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，二次函数的图象开口朝上，所以不等式 的解集为 ， A. ，二次函数的图象开口朝下，所以 的解集为 ； B. ，二次函数的图象开口朝上，所以不等式 的解集为 ； C. ，二次函数的图象开口朝上，所以不等式 的解集为 ； D. ，所以 或 ，与已知不符. 故选：ABC 【练习5】（多选）不等式 （ ）的解集不可能是（ ） A． 或 B．R C． D． 或 【解析】因为方程 （ ）的判别式 ， 所以函数 的图象与x轴有两个交点， 又 ，所以原不等式的解集不可能是B，C. 故选：BC 【练习6】关于x的不等式 对 恒成立， 则实数m的取值范围为 ． 【解析】原不等式等价于 对 恒成立． 当 时， 对 恒成立； 当 时，由题意得 ，解得 . 综上所述，m的取值范围为 ．故答案为： . 【练习7】若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 【解析】由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立， 可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立， 又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数， ∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C． 【练习8】在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 （单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设矩形的另一边长为 m，则由三角形相似知， ， 所以 ，因为 ，所以 ， 即 ，解得 .故选:C 【练习9】某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为 ，生产x件所需成本为C（元），其中 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【解析】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．故选：B． 【练习10】若关于 的不等式 的解集 ，则 的值为 . 【解析】显然 ，且 是方程 的两根， 由韦达定理得 ，解得 . 故答案为： . 【练习11】已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． 的解集为 C． D． 的解集为 【解析】因为关于 的不等式 的解集为 或 ，所以 且方程 的两个根为 ， ，即 .因此选项A正确；因为 ， ，所以由 ，因此选项B不正确；由 可知： ，因此选项C不正确；因为 ，所以由 ，解得： ，因此选项D正确， 故选：AD 【练习12】已知不等式 的解集是 ，则（    ） A． B． C． D．不等式 的解集是 【解析】因为不等式 的解集是 ，所以 是方程 的两个根，所以 ，且 ，所以A正确；所以 ，所以 ，所以B错误；当 时，此时 ，所以C正确；把 代入不等式 ，可得 ，因为 ，所以 ，即 ，此时不等式的解集显然不是 ，所以D不正确.故选：AC. 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤 画函数y＝f(x)图象的示意图 f(x) ＞0 ______________ ____________ _________ f(x)＜0 ______________ _______ ________ 　 【练习1】解下列不等式： (1) eq \f(x＋1,x－3)≥0； (2) eq \f(5x＋1,x＋1)<3. 【解析】(1)不等式 eq \f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3.即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式eq \f(5x＋1,x＋1)<3可改写为eq \f(5x＋1,x＋1)－3<0，即eq \f(2x－1,x＋1)<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次 不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分 母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． 【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， 求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 【解析】∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2，)) 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.解得x<eq \f(1,2)或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)或x>1)))). 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集， 求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税 10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购 公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可 增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取 值范围． 【解析】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%) 万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得： y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)． 依题意得eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2.即x的取值范围为{x|0<x≤2}． 【练习4】 (1)如果方程 的两根为 和3且 ，那么不等式 的解集为____________． (2)已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范 围是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【解析】 （1）由韦达定理得 ， ，代入不等式 ， 得 ， ，消去 得 ，解该不等式得 ， 因此，不等式 的解集为 ，故答案为： . 【解析】 （2）当 时，不等式为 恒成立，符合题意； 当 时，若不等式 对任意 恒成立， 则 ，解得 ； 当 时，不等式 不能对任意 恒成立。 综上， 的取值范围是 . 1、恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定 的取值范围，进而求参数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零） 2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. $$