精品解析：陕西省商洛市商南县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期教学质量监测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有唯一的选项） 1. 若有意义，则能取的最小整数是（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. —4 2. 若一个等腰直角三角形的斜边长为，则其面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 小文同学将学校歌咏比赛中九位评委的打分经过整理分析后，制成如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） 平均数 众数 中位数 方差 8.6 8.1 8.3 0.15 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ） A. 4，4 B. 3，4 C. 4，3 D. 3，3 7. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 8. 如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ） A. B. C. D. 9. 已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（ ） A B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A 1 B. C. 2 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝_______． 12. 甲、乙两人5次射击的成绩分别如下（单位：环），甲：；乙：．则在这次射击中成绩稳定的是_____． 13. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是______． 14. 如图，在平行四边形中，已知，，，，分别是线段，的中点，则的长为______ ． 15. 已知是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是_______． 16. 如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F．若，，则的长是 ______． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17 计算： （1） （2） 18. 某校为了激发学生对航天知识的兴趣，举行了航天模型制作展，并随机调查了部分班级提交模型作品的件数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图： （1）补全条形统计图，提交模型作品数的中位数是______件，众数是______件； （2）求所调查的班级提交作品件数的平均数； （3）若该校共有60个班级参加活动，且最终要以比例选出优秀模型作品，请你估计本次活动选出优秀模型作品的数量．（结果取整数） 19. 如图，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形，且AE＝2，，求菱形AECF的面积． 20. 如图，直线在平面直角坐标系中与y轴交于点A，点在直线上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线上． （1）求点C的坐标和直线的解析式． （2）已知直线经过点B，与y轴交于点E，求的面积． （3）结合图象直接写出当x为何值时，表示的一次函数值大于表示的一次函数值． 21. 如图，的对角线相交于点平分，过点D作，过点C作交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 23. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/，12元/，这两种苹果的销售额（元）与销售量之间的关系如图所示． （1）求甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式； （2）求点的坐标，并写出点表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1650元，求的值． 24. 如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 25. 某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生． （1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？ （2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期教学质量监测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有唯一的选项） 1. 若有意义，则能取的最小整数是（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. —4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：二次根式的被开方数为非负数，则4x+1≥0，则x≥－，则x的最小整数时0. 考点：二次根式的性质 2. 若一个等腰直角三角形的斜边长为，则其面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的知识，难度不大，掌握等腰直角三角形的性质是关键．设其直角边长为x，则，从而可得出两直角边的长度，进而得出面积． 【详解】设其直角边长为x，则． ∴， ∴（负值舍去）， 则面积． 故选：B． 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式运算法则计算，逐一验证即可． 【详解】A．，运算正确，不符合题意； B．，运算正确，不符合题意； C．，运算正确，不符合题意； D．，但原式结果为2，显然错误，符合题意． 故选：D． 4. 小文同学将学校歌咏比赛中九位评委的打分经过整理分析后，制成如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） 平均数 众数 中位数 方差 8.6 8.1 8.3 0.15 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数，众数，中位数和方差，掌握它们定义是解题的关键． 去掉最高分和最低分后，数据个数由9变为7，平均数、众数、方差均可能受极端值影响而变化，而中位数因中间位置不变，故保持不变． 【详解】解：A．原平均数是所有数据之和除以9，去掉两个数据后，总和改变，且新平均数为剩余7个数据之和除以7，可能变化，排除A； B．原众数为出现次数最多的数，若去掉的数中包含众数，则剩余数据中众数可能改变，排除B； C．原数据排序后，第5个数为中位数（8.3），去掉最高和最低分后，剩余7个数据的中位数为第4个数，仍为原数据的第5个数（即8.3），故中位数不变，C正确； D．方差依赖平均数，若平均数变化，方差必然变化，排除D． 故选：C． 5. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】如图：菱形中，分别是的中点， ， 故四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形． 故选：C． 6. 一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ） A. 4，4 B. 3，4 C. 4，3 D. 3，3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数4， ∴x=4， 将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4， 则平均数=（1+2+3+3+4+4+4）÷7=3， 中位数为：3． 故选D． 【点睛】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键． 7. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小， ∴当时，，原说法错误，符合题意； C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意； D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选B． 8. 如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 9. 已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两条直线关于y轴对称，则它们的对应点关于y轴对称，点关于y轴对称的点的坐标为，利用对称性求出直线关于y轴对称的直线的解析式，与直线比较后建立方程求解。 【详解】直线关于y轴对称的直线的解析式为：， ∵直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称， ∴，， 即，， 故选：C. 10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝_______． 【答案】3ab 【解析】 【分析】将 【详解】=3=3=3ab. 【点睛】此题主要考查二次根式的计算. 12. 甲、乙两人5次射击的成绩分别如下（单位：环），甲：；乙：．则在这次射击中成绩稳定的是_____． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查求方差并用方差判定稳定性，掌握求方差的方法是解题的关键． 先求出甲乙的方差，再判定即可． 【详解】甲的平均成绩：， 甲的方差：； 乙的平均成绩：， 乙的方差：； ∵，即乙的方差较小， ∴这次射击中成绩稳定的是乙， 故答案为：乙． 13. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形三边的特征，斜边比直角边长可知，分两种情况讨论，利用勾股定理求出第三边后再求周长即可得到答案． 【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3和4， 分两种情况：①3和4均为直角边；②3为直角边和4为斜边， 当3和4均为直角边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是； 当3为直角边和4为斜边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是； 综上所述，这个三角形的周长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，根据题中所给条件分类讨论是解决问题的关键． 14. 如图，在平行四边形中，已知，，，，分别是线段，的中点，则的长为______ ． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出的AO和DO长，再利用勾股定理得出的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出的长． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ，， 故, 、分别是线段、的中点， 是的中位线， ∴，， 则的长为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出的长是解题关键． 15. 已知是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是_______． 【答案】m＜1 【解析】 【分析】由（x1-x2）（y1-y2）＜0可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m-1＜0，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵（x1-x2）（y1-y2）＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴m-1＜0， ∴m＜1． 故答案为：m＜1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F．若，，则的长是 ______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先利用正方形的选择证明和全等可得，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得： ． 故答案为：25． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 某校为了激发学生对航天知识的兴趣，举行了航天模型制作展，并随机调查了部分班级提交模型作品的件数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图： （1）补全条形统计图，提交模型作品数的中位数是______件，众数是______件； （2）求所调查班级提交作品件数的平均数； （3）若该校共有60个班级参加活动，且最终要以的比例选出优秀模型作品，请你估计本次活动选出优秀模型作品的数量．（结果取整数） 【答案】（1）图见解析；4，4 （2）件 （3）件 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图，众数、中位数、平均数等统计量，样本估计总体等知识，准确提取有用信息是关键． （1）根据4件作品的班级数和所占比例求出抽查的总班数，再算出交3件的班级数，补全条形统计图，再根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义进行求解即可； （3）用所调查的班级提交作品件数的平均数乘以及即可得出最后结果． 【小问1详解】 解：提交模型作品的班级数为：（个）， 交3件的班级数为：（个）， 补全统计图如图所示： 因为提交模型作品4件的班级最多，所以提交模型作品数的众数是4件． 因为第个数据均是4件，所以提交模型作品数的中位数是件． 故答案为：4，4； 【小问2详解】 解：所调查的班级提交作品件数的平均数为（件）； 【小问3详解】 解：由题意可得，（件） 答：估计本次活动选出优秀模型作品的数量为件． 19. 如图，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形，且AE＝2，，求菱形AECF的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，且AD＝BC，再证AF＝EC，即可得出结论； （2）连接EF，交AC于O，由菱形的性质得OA＝OC，OE＝OF，AC⊥EF，再由勾股定理得OE＝1，则EF＝2OE＝2，然后由菱形面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∴AF∥EC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图，连接EF，交AC于O， ∵四边形AECF是菱形，， ∴OA＝OCAC，OE＝OF，AC⊥EF， ∴OE1， ∴EF＝2OE＝2， ∴菱形AECF的面积AC•EF22＝2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，直线在平面直角坐标系中与y轴交于点A，点在直线上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线上． （1）求点C的坐标和直线的解析式． （2）已知直线经过点B，与y轴交于点E，求的面积． （3）结合图象直接写出当x为何值时，表示的一次函数值大于表示的一次函数值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据平移与坐标的关系求出点C的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）先求的解析式，再求点和的坐标，最后求的面积； （3）根据一次函数的图象及性质求解即可． 【小问1详解】 由平移法则得：C点坐标为，即， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 把B点坐标代入得， ，解得：， ∴， 当时，， ∴点E的坐标为， 当时，， ∴点A坐标为， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 观察图象可得：当时，表示的一次函数值大于表示的一次函数值． 21. 如图，的对角线相交于点平分，过点D作，过点C作交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证，利用等角对等边，结合菱形的判定求证即可； （2）根据菱形的性质证是矩形，根据勾股定理和矩形的性质求解即可． 【小问1详解】 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴， 四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，， ． 22. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 【答案】（1）16， （2）是直角，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）勾股定理求出各边长，求出周长即可，分割法求出面积即可； （2）连接，勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图可知：四边形的面积； 由勾股定理，得：， ， ∴四边形的周长为：； 【小问2详解】 是直角，理由见如下： 连接，由勾股定理，得：， 由（1）知：，， ∴； ∴是直角． 23. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/，12元/，这两种苹果的销售额（元）与销售量之间的关系如图所示． （1）求甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式； （2）求点的坐标，并写出点表示的实际意义； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1650元，求的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为，点表示的实际意义是当销售量为时，甲和乙的销售额相同，都是1200元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象设甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式是，将代入解析式，求出的值即可； （2）当时，设乙对应的函数解析式为，将点，代入解析式，得出的值，再联立方程组，即可得出点的坐标，再写出点表示的实际意义即可； （3）根据利润（售价进价）销售量，然后列出相应的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象，设甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式是； 【小问2详解】 解：当时，设乙对应的函数解析式为， ∵点，在该函数图象上， ， 解得， ∴当时，乙对应的函数解析式为， 联立，得， 解得， 即点的坐标为， 点表示的实际意义是当销售量为时，甲和乙的销售额相同，都是1200元； 【小问3详解】 解：由图象可得，甲种苹果的销售单价为（元）， 当时，乙种苹果的销售单价为（元）， 当时，乙种苹果的销售单价为（元）， ∴， 解得． 24. 如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴ ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 证明：∵，而由（1）得 ∴， ∵平分， ∴． 和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，二次根式的运算，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 25. 某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生． （1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？ （2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？ 【答案】（1）甲种客车每辆元，乙种客车每辆元 （2）租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用最低为2200元 【解析】 【分析】（1）可设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可； （2）设租车费用为元，租用甲种客车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，依题意知， ，解得 ， 答：甲种客车每辆元，乙种客车每辆元； 【小问2详解】 解：设租车费用为元，租用甲种客车 辆，则乙种客车 辆， ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 取整数， 最大为2， 时，费用最低为（元， （辆． 答：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用最低为2200元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$