精品解析：河北省保定市清苑区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年第二学期期末质量监测 七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时问120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应題目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”是关于某条直线成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的图形，“把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴”． 【详解】解：ABC选项中，两个字母“E”不关于某条直线成轴对称， 而D选项中，两个字母“E”能沿着直线翻折互相重合，即关于某条直线成轴对称． 故选：D． 2. 的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，据此求解即可． 【详解】解：． 故选C． 3. 嘉嘉去超市买苹果，如图是称重时电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（ ） A. 金额和数量 B. 金额和单价 C. 数量和单价 D. 单价 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量． 根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，金额=单价×数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价是常量，数量与金额是变量， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算、完全平方公式及合并同类项．根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】选项A： ，但选项结果为，指数错误，故A错误． 选项B：，而选项结果为，故B错误． 选项C：中，与的指数不同，无法合并，结果应为，故C错误． 选项D： ，与选项结果一致，故D正确． 故选D． 5. 如图1，长为，宽为长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 6. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容．则回答正确的是（ ） 如图，直线相交于，点O，求证：． 证明：因为，． 所以⊕． A. “”表示平角的定义 B. “”表示同旁内角互补 C. “”表示对顶角相等 D. “”表示同角的余角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义，补角的性质，根据平角的定义和补角的性质解答即可． 【详解】证明：因为（平角的定义）， 所以（补角的性质）． 故选A． 7. 若，则M与N的大小关系是( ) A. 由x的取值而定 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将M和N别去括号计算，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则． 8. 数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠，角平分线． 根据作图分别分析选项即可． 【详解】解：A、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； B、由折叠可知，线段是的角平分线，是的角平分线，符合题意； C、由折叠无法判断线段是角平分线，不符合题意； D、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； 故选：B 9. 如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小 明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据即可证明，可得． 【详解】解：在和中， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 10. 如图是甲和乙两位同学用尺规作∠AOB的平分线的图示，对于两人不同的作法，下列说法正确的是（ ） A. 甲对乙不对 B. 甲乙都对 C. 甲不对乙对 D. 甲乙都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图以及全等三角形的性质与判定进行判断即可． 【详解】解：对于甲同学的作图可知： ∴ 是∠AOB的平分线． 对于乙同学的作图可知： 又 与中 是∠AOB的平分线． 两人的作法都正确． 故选B 【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 12. 已知：如图，，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的证明以及全等的性质．因为且有公共角，所以，结合，，由SAS可知；在与中，有为公共边，，但没有，所以无法证明；由全等三角形对应角相等，可得，，所以=，． 【详解】解：，中，，，， ，都为等腰直角三角形， ， , ， 在与中 （SAS）， 所以①正确； 由可得，， =， ， ， 所以③，④正确； 在与中，有为公共边，，但不能证明，所以无法证明与全等，即不能证明， 所以②错误； 综上，正确的有①，③，④三个， 故选：C． 二、填空题（本大题共四个小题，每小题3分，共12分） 13. 2025年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒120帧，每帧画面仅用时大约0.00833，使得画面效果更加震撼，数据0.00833可用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有_______个红球． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式即可得到结论．熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：袋子中红球的个数为（个． 故答案为：6． 15. 如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的内角和定理及角的和差关系，先构造直角三角形，再利用三角形的内角和及角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，由题意知：垂直于． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是________（填序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴③的面积不会随点的移动而变化； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算完全平方公式，多项式的乘法，再计算加减即可； （2）先计算完全平方公式，再计算加减，最后计算除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线对称； （2）在直线上作一点，使得的值最小： （3）求的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解答本题的关键． （1）利用轴对称性质，作出、、三点关于直线对称的点、、，顺次连接得到； （2）根据两点间线段最短，连接，交直线于点，即，点即为所求． （3）根据题意，得到，分别计算长方形的面积和各个三角形的面积，由此得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，作关于直线对称如下图： 即为所求． 【小问2详解】 如图，点即为所求， 【小问3详解】 如图， ． 19. 在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？ （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）白球20个，黑球20个 （2）10个 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的概率将会接近，所以摸到白球的概率为，据此用球的总个数乘以白球概率可得白球数量，继而可得答案； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：白球的个数：， 黑球的个数：； 【小问2详解】 解：设需要往盒子里再放x个白球，由题意，得 解得， 答：需要再往盒子里放入10个白球． 20 如图，． （1）与平行吗？为什么？ （2）探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）平行，见解析 （2）相等，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质， （1）根据得出结论即可； （2）先证明，得出，进而得出，即可证明结论 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ． ； 【小问2详解】 ，理由如下： ， ， ， ， ． 21. 周末嘉嘉和家人一起驾车从家出发去博物馆，在博物馆内参观了，随后驾车去姑妈家．如图表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是_______，因变量是_______； （2）嘉嘉家与博物馆的距离是_______，博物馆到姑妈家的距离是_______； （3）求嘉嘉一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 【答案】（1）离家的时间，离家的距离 （2）15，25 （3） 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据“速度=路程时间”可得答案． 【小问1详解】 解：上述过程中，自变量是离家的时间，因变量是离家的距离． 故答案为：离家的时间，离家的距离； 【小问2详解】 解：由图象可知，嘉嘉家与博物馆的距离是，博物馆到姑妈家的距离是， 故答案为：15；25； 【小问3详解】 解： 答：嘉嘉一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为． 22. 如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． （1）求证：； （2）求池塘的宽度． 【答案】（1）见解析 （2）10米 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，可证明； （2）由全等得到，再由线段的和差关系即可求解； 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， 即池塘的宽度为． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个新正方形． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：______________；图2：______________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题， （2）已知，求的值； （3）已知，求值． 拓展运用：如图3，C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和． （4）若，直接写出的面积（用含有S，m的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）68；（3）4052；（4） 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式变形求值进行计算，即可解答； （3）设，，则，由，得，故得； （4）设，，则，由，得的面积． 【详解】解：（1）利用图形可以推导出的乘法公式， 图1：； 图2：； 故答案为：；； （2）∵， ∴ ； ∴的值为68； （3）设，， 则， ∵， ∴， ∴ ， ∴的值为4052； （4）的面积． 理由：设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴面积 ． 24. 方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【小问1详解】 解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； 【小问2详解】 证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末质量监测 七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时问120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应題目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”是关于某条直线成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 嘉嘉去超市买苹果，如图是称重时电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（ ） A. 金额和数量 B. 金额和单价 C. 数量和单价 D. 单价 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 6. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容．则回答正确的是（ ） 如图，直线相交于，点O，求证：． 证明：因，． 所以⊕． A. “”表示平角的定义 B. “”表示同旁内角互补 C. “”表示对顶角相等 D. “”表示同角的余角相等 7. 若，则M与N的大小关系是( ) A. 由x的取值而定 B. C. D. 8. 数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小 明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A. B. C. D. 10. 如图是甲和乙两位同学用尺规作∠AOB的平分线的图示，对于两人不同的作法，下列说法正确的是（ ） A. 甲对乙不对 B. 甲乙都对 C. 甲不对乙对 D. 甲乙都不对 11. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 12. 已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共四个小题，每小题3分，共12分） 13. 2025年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒120帧，每帧画面仅用时大约0.00833，使得画面效果更加震撼，数据0.00833可用科学记数法表示为___________． 14. 一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有_______个红球． 15. 如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为_______． 16. 如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算 （1）； （2）． 18. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线对称； （2）在直线上作一点，使得的值最小： （3）求的面积． 19. 在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？ （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 20. 如图，． （1）与平行吗？为什么？ （2）探索与的数量关系，并说明理由． 21. 周末嘉嘉和家人一起驾车从家出发去博物馆，在博物馆内参观了，随后驾车去姑妈家．如图表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是_______，因变量是_______； （2）嘉嘉家与博物馆的距离是_______，博物馆到姑妈家的距离是_______； （3）求嘉嘉一家从博物馆到姑妈家驾车行驶平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 22. 如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． （1）求证：； （2）求池塘的宽度． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个新正方形． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：______________；图2：______________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题， （2）已知，求的值； （3）已知，求值． 拓展运用：如图3，C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和． （4）若，直接写出的面积（用含有S，m的代数式表示） 24. 方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$