第2章对称图形——圆自主检测试卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上册【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】同步练习课时作业

第2章对称图形——圆自主检测试卷 （时间：60分钟 满分100分） 一．选择题（每小题5分，共30分） 1．（2024•翔安区二模）如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板30°角的顶点落在鼓面圆上任意一点P，三角板的两边分别交圆于点A、B，若测量得到弦AB的长为16cm，则鼓面圆的直径为（　　） A．16cm B．30cm C．32cm D．36cm 2．（2022秋•临清市期末）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D的度数为（　　） A．42° B．66° C．76° D．82° 3．（2024秋•赣榆区期中）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，AB∥CD，若OB＝16cm，OC＝12cm，则BE+CG等于（　　） A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 4．（2022•宽城县一模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 5．（2023•娄星区校级一模）如图，直线yx与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20 二．填空题（每小题5分，共20分） 7．（2024秋•中山市期末）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为10cm，瓶内液体的最大深度CD＝4cm，则截面圆中弦AB的长为　 　 cm． 8．（2020•绵竹市模拟）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为40°，则∠B+∠D的度数是　 　 ． 、9．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 A．π B．π C．π﹣2 D．π 10．（2023•大庆模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 　 ． 三．解答题（共50分） 11．（8分）（2023秋•遵义校级月考）已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动，只转动，当它转动A→A′时，顶点A所经过的路线长等于多少？ 12．（14分）（2023秋•射阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）． （1）请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 　 　 ；⊙P的半径为 　 ； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系； （3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 13．（14分）（南昌中考）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP． （1）求△OPC的最大面积； （2）求∠OCP的最大度数； （3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线． 14．（14分）（2024秋•新吴区期末）“等弦”的探究． （1）如图①，在⊙O中，AB，CD是弦，且AB＝CD．由此，你能发现什么？小明发现点O到AB，CD的距离相等．小红发现延长AB，CD交于点P，则PA＝PC．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知△ABC，⊙O与△ABC各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的⊙O．（保留作图痕迹，写由必要的文字说明）若AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙O的半径为r，则r的取值范围是 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章对称图形——圆自主检测试卷 （时间：60分钟 满分100分） 一．选择题（每小题5分，共30分） 1．（2024•翔安区二模）如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板30°角的顶点落在鼓面圆上任意一点P，三角板的两边分别交圆于点A、B，若测量得到弦AB的长为16cm，则鼓面圆的直径为（　　） A．16cm B．30cm C．32cm D．36cm 【分析】设鼓面圆的圆心为O，连接OA、OB，则OA＝OB，因为∠AOB＝2∠APB＝60°，所以△AOB是等边三角形，则OA＝AB＝16cm，所以⊙O的直径为32cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：设鼓面圆的圆心为O，连接OA、OB，则OA＝OB， ∵∠APB＝30°，AB＝16cm， ∴∠AOB＝2∠APB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝16cm， ∵⊙O的半径为16cm， ∴⊙O的直径为32cm， 故选：C． 【点评】此题重点考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．（2022秋•临清市期末）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D的度数为（　　） A．42° B．66° C．76° D．82° 【分析】连接OB，OC，根据点O是△ABC的内心，∠A＝84°，可得∠BOC＝90°A＝132°，再根据点O也是△DBC的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵点O是△ABC的内心，∠A＝84°， ∴OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBCABC，∠OCBACB， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°A＝132°， ∵点O也是△DBC的外心， ∴∠DBOC＝66°， 则∠D的度数为66°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别． 3．（2024秋•赣榆区期中）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，AB∥CD，若OB＝16cm，OC＝12cm，则BE+CG等于（　　） A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 【分析】根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°，再由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长． 【解答】解：连接OF， 根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG， ∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝16cm，OC＝12cm， ∴BC20cm， ∵OF⊥BC， ∴BE＝BF，CG＝CF ∴BE+CG＝BF+CF＝BC＝20cm． 故选：D． 【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．由勾股定理可求得BC的长是关键． 4．（2022•宽城县一模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝15°，则边数n＝360°÷中心角． 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°， ∵BC是⊙O内接正八边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷8＝45°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°﹣45°＝15°， ∴n＝360°÷15°＝24； 故选C． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键． 5．（2023•娄星区校级一模）如图，直线yx与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】求出函数与x轴、y轴的交点坐标，求出函数与x轴的夹角，计算出当⊙P与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围． 【解答】解：令y＝0，则， 解得x＝﹣3， 则A点坐标为（﹣3，0）； 令x＝0，则y， 则B点坐标为（0，）， ∴tan∠BAO， ∴∠BAO＝30°， 作⊙P′与⊙P″切AB于D、E， 连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB， 则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2， 同理可得，AP″＝2， 则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5， ∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1， ∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）． 故选：A． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，根据一次函数的解析式求点的坐标，熟悉一次函数的性质和切线的性质是解题的关键． 6．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20 【分析】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O， 在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5， ∴BD2＝AB2+AD2＝41， S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆 ＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2 20 ＝20， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提． 二．填空题（每小题5分，共20分） 7．（2024秋•中山市期末）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为10cm，瓶内液体的最大深度CD＝4cm，则截面圆中弦AB的长为　16　 cm． 【分析】根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【解答】解：在Rt△AOC中，设OA＝10cm，则OC＝10﹣4＝6（cm），由勾股定理得， AC8（cm）， ∴AB＝2AC＝16cm， 故答案为：16cm． 【点评】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键． 8．（2020•绵竹市模拟）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为40°，则∠B+∠D的度数是　160°　 ． 【分析】连接AB，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠ABE，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：连接AB， ∵的度数为40°， ∴∠ABE＝20°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴∠CBE+∠D＝180°﹣20°＝160°， 故答案为：160°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π﹣2 D．π 【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOBπ，再根据三角形面积公式求出S△AOB，进而求出阴影部分的面积． 【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB， 由题意可知：∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴AB＝AO＝BO＝2 ∴S扇形AOBπ， ∵OC⊥AB， ∴∠OCA＝90°，AC＝1， ∴OC， ∴S△AOB， ∴阴影部分的面积为：π； 故选：B． 【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 10．（2023•大庆模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 　　 ． 【分析】连接BD，取BD的中点O，连接ON，可知ON为△DMB的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形ABCD中，根据进而得出答案． 【解答】解：连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC， ∵N为MD的中点， ∴ON为△DMB的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形ABCD中，， ∴CN的取值范围为， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 三．解答题（共50分） 11．（8分）（2023秋•遵义校级月考）已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动，只转动，当它转动A→A′时，顶点A所经过的路线长等于多少？ 【分析】矩形ABCD在直线AP上转动一周，顶点A经过的路线是三段弧，这三段弧的圆心角都是90°，半径分别是4，5和3，利用弧长公式计算求出点A经过的路线长． 【解答】解：L＝L1+L2+L3π×4π×5π×3＝6π． 答：当它转动A→A′时，顶点A所经过的路线长等于6π． 【点评】本题考查的是弧长的计算，分析题意得到点A经过的路线是三段弧，并且知道弧的半径和圆心角，利用弧长公式计算求出这三段弧长，它们的和就是点A经过的路线的长． 12．（14分）（2023秋•射阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）． （1）请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 　（2，﹣1）　 ；⊙P的半径为 　　 ； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系； （3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【分析】（1）利用网格特点画出BC和AB的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算PA长得到⊙P的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出PM，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明△PAC为直角三角形，∠APC＝90°，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可． 【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（2，﹣1）， ， 即⊙P的半径为； 故答案为：（2，﹣1），； （2）∵P（2，﹣1），M（﹣1，1）， ∴， ∵， ∴PM的长小于圆的半径， ∴点M在⊙P内； （3）∵，， ∴PA2+PC2＝AC2， ∴△PAC为直角三角形，∠APC＝90°， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得． 【点评】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理，正确记忆相关内容是解题关键． 13．（14分）（南昌中考）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP． （1）求△OPC的最大面积； （2）求∠OCP的最大度数； （3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线． 【分析】（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大；观察图形，当OP⊥OC时满足要求； （2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得； （3）连接AP，BP通过△APB≌△CPO可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线． 【解答】（1）解：∵AB＝4， ∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4． 在△OPC中，设OC边上的高为h， ∵S△OPCOC•h＝2h， ∴当h最大时，S△OPC取得最大值． 观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示： 此时h＝半径＝2，S△OPC＝2×2＝4． ∴△OPC的最大面积为4． （2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示： ∵sin∠OCP， ∴∠OCP＝30° ∴∠OCP的最大度数为30°． （3）证明：如答图3，连接AP，BP． ∴∠A＝∠D＝∠APD＝∠ABD， ∵， ∴， ∴AP＝BD， ∵CP＝DB， ∴AP＝CP， ∴∠A＝∠C， 在△APB与△CPO中 ， ∴△APB≌△CPO（SAS）， ∴∠APB＝∠OPC， ∵AB是直径， ∴∠APB＝90°， ∴∠OPC＝90°， ∴DP⊥PC， ∵DP经过圆心， ∴PC是⊙O的切线． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 14．（14分）（2024秋•新吴区期末）“等弦”的探究． （1）如图①，在⊙O中，AB，CD是弦，且AB＝CD．由此，你能发现什么？小明发现点O到AB，CD的距离相等．小红发现延长AB，CD交于点P，则PA＝PC．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知△ABC，⊙O与△ABC各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的⊙O．（保留作图痕迹，写由必要的文字说明）若AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙O的半径为r，则r的取值范围是 　2＜r≤2　 ． 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作△ABC角平分线的交点即可；②因为得满足⊙O与三边相交，所以找临界值相切时r值，再看OA、OB、OC最短的，就作为另一个临界值． 【解答】解：（1）①选择小明． 理由：如图，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，连接OA、OC， ∵OE⊥AB，且OE过圆心O， ∴AE＝EB， ∵OF⊥CD，且OF经过点O， ∴CF＝DF， ∵AB＝CD， ∴AE＝CF， ∵∠AEO＝∠CFO＝90°，OA＝OC， ∴Rt△OEA≌Rt△OFC（HL）， ∴OE＝OF， 即O到AB、CD的距离相等； ②选择小红． 证明：如图，连接AC， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC； （2）如图②中，⊙O即为所求． ∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 当⊙O是△ABC的内切圆时，设此时半径为h， 则有•（6+8+10）•h6×8， 解得h＝2， ∴OCh＝2， 又因为⊙O得满足与三边相交， ∴2＜r≤2． 故答案为：2＜r≤2． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$