第一章 特殊平行四边形 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 讲义-2025-2026学年九年级上册数学北师大版 学习目标 1.掌握特性：熟练掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定方法。 2.识别关系：能准确识别矩形、菱形、正方形之间的相互关系。 3.应用解决：运用这些特殊平行四边形的知识解决相关的几何证明及计算问题。 知识点梳理 （一）矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.性质： （1）边：对边平行且相等。 （2）角：四个角都是直角。 （3）对角线：对角线相等且互相平分。 3.判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 （二）菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.性质： （1）边：四条边都相等。 （2）角：对角相等。 （3）对角线：对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。 3.判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 （三）正方形 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.性质： （1）边：四条边都相等。 （2）角：四个角都是直角。 （3）对角线：对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。 3.判定： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角的菱形是正方形。 课堂总结 1.性质关联：矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，它们既有平行四边形的一般性质，又各自具备独特的性质，且正方形同时具备矩形和菱形的性质，是最为特殊的。 2.判定要点：牢记各种特殊平行四边形的判定条件，在证明时要根据已知条件准确选择合适的判定方法。 3.应用思路：在解决几何问题时，要善于观察图形特征，分析是否涉及特殊平行四边形，利用其性质和判定进行推理、计算，将复杂问题简单化。 同步练习 一、填空题 1．已知的对角线，相交于点O，是等边三角形，，则的面积等于　 　． 2．如图，在菱形ABCD中， ，对角线 ，则菱形ABCD的面积为　 　. 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC＝　 　°． 4．如图，在中，，，，为边上一动点，作于，于，则的最小值为　 　． 5．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为　 　． 6． 如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝10，∠DAB＝60°，点E为▱ABCD内一点且在CD的垂直平分线l上，连结DE，CE，AE，BE，当∠EBA＝2∠EAB 时，AE的长为 　 　 ． 二、选择题 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=16cm，点D为AB的中点，则CD的长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 8．若菱形ABCD的周长为16，面积为8，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．150° C．30°或150° D．30°或120° 9．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 11．如图，直线，直线与直线之间的距离为2，直线与直线之间的距离为4.正方形的对角线与相交于点，若顶点，，分别在直线，，上，则的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 12．如图，矩形的对角线相交于点．若，则（　　） A． B． C． D． 13．如图，中，对角线、相交于点O，则下列结论中不正确的是（　　） A．， B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当垂直平分时，它是正方形 14．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，下列说法不正确是(　　) A．若，那么四边形是矩形 B．若平分，那么四边形是菱形 C．若且，那么四边形是菱形 D．若，那么四边形是矩形 15．如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE.OE＝5，BD＝12，则菱形的面积为（　　） A．48 B．96 C．24 D．60 16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 三、解答题 17．如图，四边形是菱形中，对角线与相交于O，，，求的长． 18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E. （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）OA=4，OB=3，求CE的长. 19．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 20．如图，在平行四边形ABCD纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于O，将纸△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C， （1）问以A、C、D、B′为顶点的四边形是什么形状的四边形？证明你的结论； （2）若四边形ABCD的面积为20cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积(即△ACE的面积). 答案解析部分 1．【答案】 2．【答案】24 【解析】【解答】解：如图，记AC、BD的交点为点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD=6， ∴AC⊥BD， ， ∴ ， ∴ ， ∴菱形的面积= AC•BD= ×8×6=24. 故答案为：24. 【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD， ，再根据勾股定理求出AO的长，进而得出AC的长，根据菱形的面积= AC•BD，即可得出结果. 3．【答案】70 【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD＝AB， ∴∠A＝∠DCA＝35°， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝70°. 故答案为：70. 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得AD＝CD，由等腰三角形的性质两底角相等得∠A=∠DCA＝35°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠BDC＝∠A+∠DCA，据此计算. 4．【答案】 5．【答案】67.5° 【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BA，∠DAF=∠B=∠ADC=90°，∠BAC=45° ， ∵BE=AF， ∴△ADF≌△BAE(SAS)， ∴∠ADF=∠BAE； ∵平分， ∴， ∴∠ADF=∠BAE=22.5°， ∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90°−22.5°=67.5°． 故答案为：67.5°． 【分析】先证出△ADF≌△BAE(SAS)，可得∠ADF=∠BAE，再结合角平分线的定义求出∠ADF=∠BAE=22.5°，最后利用角的运算求出的度数即可。 6．【答案】2 【解析】【解答】解：∵l是CD的垂直平分线， ∴， 过点C作CG⊥AB于点G， ∴∠G=∠GHM=∠AHE=90° ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，CD//AB，CB=AD=4， ∴∠CBG=∠DAB =60°，∠CMH=∠AHE=90°， ∴四边形CGHM是矩形， ∴GH=CM=5， Rt△CBG中，∠BCG=30°， ∴， ∴BH=5-2=3， 在AB上取一点F，连接EF，使AF=EF ∴∠FAE=∠AEF， 设∠FAE=x，则∠BFE=2x， ∵∠ABE=2∠EAB=2x， ∴∠ABE=∠BFE， ∴BE=EF. ∵EH⊥AB， ∴FH=BH=3， ∴AF=10-3-3=4=EF， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：. 【分析】根据平行四边形和线段垂直平分线的性质确定相关线段长度，再通过作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形性质和勾股定理求出AE的长. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，点D为AB的中点， ∴CD= AB=8cm， 故选：D． 【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 8．【答案】C 【解析】【解答】解： ∵菱形ABCD的周长为16， ∴菱形的边长为16÷4=4， ∵菱形的面积为8， ∴菱形的高为2， 如图1，在Rt△AED中，DE=2，AD=4， ∴∠A=30°， ∵AD//BC， ∴∠ABC=180°-30°=150°， 如图2，在Rt△ABF中，AB=4，AF=2， ∴∠ABC=30°， 综上，∠ABC的度数为30°或150°， 故答案为：C. 【分析】先求出菱形的边长和高，再利用含30°角的直角三角形的性质及平行线的性质求解即可. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：正方形的面积与原长方形的面积相等，S长方形= ， ∴S正方形=8， 设正方形的边长为x 则x2=8 解得：x= 则正方形的边长为 = ， ∵12=1，22=4，32=9，42=16 ∴8-1=7，8-4=4，9-8=1，16-8=8； ∵8>7>4>1 ∴正方形的边长 最接近整数3 故答案为：C． 【分析】求出正方形的面积，可得结论。 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：D． 【分析】由矩形的性质得到是等边三角形，即可得到，再根据勾股定理求出的长，求比值即可． 13．【答案】D 【解析】【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； B：因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确； C：因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以C正确； D：根据AC垂直平分BD，只能判定四边形是菱形，必须再加上对角线相等才能判定它是正方形，所以D不正确。 故答案为：D。 【分析】根据平行四边形的性质，以及菱形，矩形，正方形的判定，可得出正确答案。 14．【答案】D 【解析】【解答】∵DE//CA，DF//BA，∴四边形AEDF是平行四边形， A、∵若，那么四边形是矩形，∴A正确，不符合题意； B、∵ 若平分，那么四边形是菱形 ，∴B正确，不符合题意； C、∵ 若且，那么四边形是菱形 ，∴C正确，不符合题意； D、∵若，不能证出四边形AEDF是矩形，∴D不正确，符合题意； 故答案为：D. 【分析】先证出四边形AEDF是平行四边形，再利用矩形和菱形的判定方法逐项分析判断即可. 15．【答案】B 【解析】【解答】∵在菱形ABCD中，AC⊥BD 又∵E是DC的中点，OE=5 ∴CD=10 ∵BD=12 ∴OD=OB=6 ∴OC= = =8 ∴AC=16 ∴S菱形ABCD=12×16÷2=96 故答案为：B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直得AC⊥BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD=10，根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB=6，利用勾股定理求出OC=8，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解。 16．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EH＝EF， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①符合题意； 过A作AG⊥EF于G， ∴∠AGE＝∠ABE＝90°， 在△ABE与△AGE中， ， ∴△ABE≌△AGE（AAS）， ∴AB＝AG， ∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②符合题意； ∵BE＝2，DF＝3， ∴EF＝BE+DF＝5， 设BC＝CD＝n， ∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3， ∴EF2＝CE2+CF2， ∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2， ∴n＝6（负值舍去）， ∴AG＝6， ∴S△AEF＝ ×6×5＝15．故③符合题意； 如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM， 由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°， ∴∠MAQ＝∠MAN＝45°， 在△AMQ和△AMN中， ， ∴△AMQ≌△AMN（SAS）， ∴MQ＝MN， ∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°， ∴BQ2+MB2＝MQ2， ∴ND2+MB2＝MN2， ∵AB＝6 ， ∴BD＝ AB＝12， 设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x， ∴32+（9﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴MN＝5，故④符合题意， 故答案为：A． 【分析】根据旋转的性质得出BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，得出∠EAH＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得出EH＝EF，∠AEB＝∠AEF，得出BE+BH＝BE+DF＝EF，故①符合题意；过A作AG⊥EF于G，得出△ABE≌△AGE（AAS），推出AB＝AG，得出点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②符合题意；S△AEF＝×6×5＝15．故③符合题意；由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，证出△AMQ≌△AMN（SAS），得出MQ＝MN，设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，列出方程解出x的值，即可得出MN＝5，故④符合题意，即可得出答案。 17．【答案】解：∵四边形是菱形，∴，，， ∴， ∴ 【解析】【分析】根据菱形的性质得出的长和∠AOB=90°，然后根据勾股定理求出OB长，再根据菱形的对角线互相平分解题即可． 18．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：四边形ABCD是菱形，， ， ， 在Rt中，由勾股定理，得： ， ， ， 即： 解得：， 即CE的长为. 【解析】【分析】（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，两直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠BAC＝∠DAC，推得∠DCA＝∠DAC，根据等角对等边可得CD＝AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的对角线互相垂直且平分可得AC⊥BD，AC=2OA=8，BD=2OB=6，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，根据菱形的面积公式列出方程，解方程即可求出CE的值. 19．【答案】（1）证明：，， 是的中点，， 在和中， ， ，． （2）证明：，， ，， ，四边形是平行四边形， ，，， 四边形是菱形． 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质以及中点的定义可证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （2）利用可得BD=FA，进一步可得四边形ADCF是平行四边形，再利用直角三角形的性质进一步得AD=CD，根据菱形形的判定条件即可得出结论. 20．【答案】（1）以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB平行且等于CD． ∵△AB′C是由△ABC翻折得到的，AB⊥AC，∴AB=AB′，点A、B、B′在同一条直线上．∴AB′∥CD. ∴四边形ACDB′是平行四边形． ∵B′C=BC=AD，∴四边形ACDB′是矩形. （2）由四边形ACDB′是矩形，得AE=DE． ∵S▱ABCD=20cm2，∴S△ACD=10cm2. ∴S△AEC=S△ACD=5cm2． 【解析】【分析】（1）以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形，根据平行四边形的性质以及已知条件求证出四边形ACDB′是平行四边形，进而求出四边形ACDB′是矩形； （2）根据矩形的性质以及平行四边形的性质求出△ACD的面积，因为△AEC和△EDC可以看作是等底等高的三角形，所以S△AEC=S△ACD=5cm2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$