3.1函数的概念（八题型+过关检测）-2025年《暑假计划》新高一数学新课预习（人教A版2019必修第一册）

3.1函数的概念 学习目标及重难点 1 知识梳理 1 知识点1区间 1 知识点2函数的概念 2 知识点3同一个函数 2 知识点4常见函数的定义域和值域 2 题型训练 3 题型1 区间的表示及运算 3 题型2 函数关系的判断 4 题型3 求函数的值或者由函数值求参数 5 题型4 求具体函数的定义域 6 题型5 同一个函数的判断 6 题型6 求抽象函数的定义域 7 题型7 求简单函数的值域 7 题型8 由函数的定义域或值域求参数 8 过关检测 8 学习目标： 1．能从具体实例里，用集合语言和对应关系，抽象概括出函数概念。 2．准确识别函数的定义域、值域及对应关系这三要素，会求简单函数定义域。 3．依据函数定义，准确判断两个函数是否为同一函数。 4．经历从实例抽象函数概念过程，提升自身抽象概括能力。 重难点： 重点：构建函数的对应关系，用集合语言表述的函数概念，培养数学抽象素养。 难点：从不同问题情境提炼函数要素并抽象出概念，深入理解函数对应关系。 知识点1区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 知识点2函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 知识点3同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点4常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 题型1 区间的表示及运算 1．2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用标记亚运会开始的日期，即，用表示亚运会结束的日期，即.那么以实数为端点的区间可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 4．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 题型2 函数关系的判断 5．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   6．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 7．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   8．（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 10．给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 题型3 求函数的值或者由函数值求参数 11．已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 12．已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 13．已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 14．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 15．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 16．已知函数，当时， ． 题型4 求具体函数的定义域 17．函数的定义域为 ． 18．若，则 ． 19．函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 20．若有意义，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 21．若集合，则（   ） A． B． C． D． 22．函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 题型5 同一个函数的判断 23．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C．， D． 24．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 25．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 26．下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 题型6 求抽象函数的定义域 27．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 28．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 30．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 31．已知函数的定义域为，求函数的定义域． 题型7 求简单函数的值域 32．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 33．若集合，则 . 34．写出一个定义域为，值域为的函数 . 35．函数的值域为 . 36．求下列函数的值域： (1)； (2)． 题型8 由函数的定义域或值域求参数 37．已知函数的值域为，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或2 38．（多选）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 39．已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 40．若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 41．若函数的值域为，则实数a的值为 ． 一、单选题 1．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 2．下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 6．已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 9．对任意的，函数的值域是.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的最大值是12 D．的最小值是 三、填空题 10．已知函数 ，则函数的值域为 ． 11．已知函数，若满足，则 ． 12．函数的值域为 四、解答题 13．求下列函数的定义域 (1) (2) 14．已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 15．已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1函数的概念 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1区间 2 知识点2函数的概念 2 知识点3同一个函数 3 知识点4常见函数的定义域和值域 3 题型训练 3 题型1 区间的表示及运算 3 题型2 函数关系的判断 5 题型3 求函数的值或者由函数值求参数 7 题型4 求具体函数的定义域 9 题型5 同一个函数的判断 10 题型6 求抽象函数的定义域 12 题型7 求简单函数的值域 14 题型8 由函数的定义域或值域求参数 16 过关检测 17 学习目标： 1．能从具体实例里，用集合语言和对应关系，抽象概括出函数概念。 2．准确识别函数的定义域、值域及对应关系这三要素，会求简单函数定义域。 3．依据函数定义，准确判断两个函数是否为同一函数。 4．经历从实例抽象函数概念过程，提升自身抽象概括能力。 重难点： 重点：构建函数的对应关系，用集合语言表述的函数概念，培养数学抽象素养。 难点：从不同问题情境提炼函数要素并抽象出概念，深入理解函数对应关系。 知识点1区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 知识点2函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 知识点3同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点4常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 题型1 区间的表示及运算 1．2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用标记亚运会开始的日期，即，用表示亚运会结束的日期，即.那么以实数为端点的区间可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以实数为端点的区间可以表示为 故选：C 2．已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合，根据交集的定义可知，. 故选：B 3．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 4．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 题型2 函数关系的判断 5．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 6．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 7．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足. 故选：ACD. 8．（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 9．（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 10．给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 【答案】，（答案不唯一） 【详解】由函数的定义得：，（答案不唯一） 故答案为：，（答案不唯一） 题型3 求函数的值或者由函数值求参数 11．已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【详解】令，则， 得． 故选：A． 12．已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 13．已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 【答案】B 【详解】令，可得，即， 所以 ． 故选：B． 14．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 15．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 16．已知函数，当时， ． 【答案】/ 【详解】由题得，解得． 故答案为：. 题型4 求具体函数的定义域 17．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使有意义，则， 故定义域为. 故答案为：. 18．若，则 ． 【答案】－3 【详解】由题意可知：，解得：， ，． 故答案为：. 19．函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C 20．若有意义，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由有意义，得：， 解得：或. 故选：A 21．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：C 22．函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 题型5 同一个函数的判断 23．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数； 对于C：函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数； 故答案为：C。 【点睛】考查同一个函数的判断方法 24．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，函数与的定义域为，， 且，， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确.； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 25．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 26．下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【详解】对于①，函数定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，故两个函数不是同一函数； 对于②，函数、的定义域都为， 所以两个函数的定义域相同对应关系不相同，故两个函数不是同一函数； 对于③，函数、的定义域均为， 所以两个函数的定义域相同对应关系相同，故两个函数是同一函数； 对于④，由，解得， 所以函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，故两个函数不是同一函数. 故选：C. 题型6 求抽象函数的定义域 27．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 28．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 即，解得， 即的定义域是. 故选：A. 29．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意知. 故答案为：. 30．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 31．已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】答案见解析 【详解】由题意，，即. 当或，即或时，不存在， 即的定义域为，不满足函数定义，函数无意义； 当，即时，，的定义域为； 当，即时，，的定义域为； 当时，即时，，故的定义域为； 当时，即时，，故的定义域为． 综上： ①当或时，的定义域为； ②当时，的定义域为； ③当时，的定义域为； ④当或时，函数定义域为，不存在． 题型7 求简单函数的值域 32．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即，由，得，所以． 33．若集合，则 . 【答案】 【详解】由题意， 因为，所以， 因为，所以，即. 所以. 故答案为：. 34．写出一个定义域为，值域为的函数 . 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【详解】由题意可知满足题意. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可） 35．函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 36．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为. （2）由函数，因为，可得， 所以函数的值域为． 题型8 由函数的定义域或值域求参数 37．已知函数的值域为，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或2 【答案】A 【详解】因为函数， 又函数的值域为， 则，解得或. 故选：A. 38．（多选）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 39．已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为. 故答案为： 40．若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【答案】3 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 41．若函数的值域为，则实数a的值为 ． 【答案】2 【详解】由， ∵，∴， 又该函数的值域为， ∴． 故答案为：2． 一、单选题 1．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 2．下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 3．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 令，则； 令，则， 联立两式可得， 故选：A. 4．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【详解】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 6．已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以，故A，C错误； 令，则， 故选：B 7．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 二、多选题 8．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 9．对任意的，函数的值域是.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的最大值是12 D．的最小值是 【答案】AB 【详解】因为函数的值域是， 所以，且， 即，所以，故A，B正确； 由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值是12，故C错误； 由，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 10．已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 11．已知函数，若满足，则 ． 【答案】12 【详解】因为，且满足， 所以，解得， 所以． 故答案为：12． 12．函数的值域为 【答案】 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 四、解答题 13．求下列函数的定义域 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由得且 所以函数的定义域为 （2）由，得， 即且 所以函数的定义域是. 14．已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析. 【详解】（1），，，； （2）猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． 15．已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得不等式的解集为： 当时，恒成立，满足题意； 当时，则由解集为可得，解得：， 综上可得：； （2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集， 当时，满足题意，此时有，解得：； 当时，则，解得， 综上，的取值范围是. 16．设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，可得 或， 因为，则 . （2）函数 在上单调递减， 所以，且， 因为“”是“ ”的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，解得，即的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$