4.2 线段的垂直平分线 同步练习2025-2026学年数学青岛版八年级上册

4.2　线段的垂直平分线(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　线段垂直平分线的判定 1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF,连接EF,求证:AD垂直平分EF. 【证明】因为D是BC的中点, 所以BD=CD, 又因为BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC, 所以Rt△BDE≌Rt△CDF, 所以∠B=∠C,DE=DF, 在Rt△ADE和Rt△ADF中, 所以Rt△ADE≌Rt△ADF,所以AE=AF, 因为DE=DF, 所以AD垂直平分EF. 2.如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上; (2)已知∠FAN=56°,求∠FPN的度数. 【解析】(1)如图所示,连接BP,AP,PC, 因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, 所以PA=PB,PA=PC, 所以PB=PC, 所以点P在线段BC的垂直平分线上; (2)因为PE⊥AB,PM⊥AC, 所以FA=FB,NA=NC, ∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°, 所以∠EBF+∠BFE=∠MCN+∠MNC=90°, 设∠EBF=x,∠MCN=y, 所以∠EBF=∠BAF=x,∠MCN=∠CAN=y, ∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y, 所以∠PFN=∠BFE=90°-x, ∠PNF=∠MNC=90°-y, 因为∠EBF+∠MCN+∠CAB=180°,∠FAN=56°, 所以2x+2y+56°=180°, 2(x+y)=124°, x+y=62°, 因为∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°, 所以90°-x+90°-y+∠FPN=180°, 所以∠FPN=180°-180°+(x+y)=62°. 知识点2　尺规作线段的垂直平分线 3.如图所示,已知线段AB,观察作图痕迹,所得结论不一定成立的是(D) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.AP=BP B.AO=BO C.PQ⊥AB D.∠PAB=30° 4.如图,已知△ABC,用两种方法作出△ABC的中线AD. 要求: (1)用直尺和圆规作图; (2)保留作图痕迹,不写作法. 【解析】如图,AD为所求. 5.A,B,C表示三个居民小区,为丰富居民们的文化生活,现准备建一个文化广场,使文化广场中心P到三个小区的距离相等,请用直尺和圆规作图找出P点.(保留作图痕迹) 【解析】要使文化广场中心P到三个小区的距离相等, 即PA=PB=PC, 所以点P为AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点, 如图,点P即为所求. 【B层 能力进阶】 6.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,P是AD边上的一个动点,要使PC+PB的值最小,则点P应满足(D) A.PB=PC　 B.PA=PD C.∠BPC=90°　 D.∠APB=∠DPC 7.A,B两所学校在一条东西走向公路的同侧,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3),根据下列要求作图(保留作图痕迹,不用写作法). (1)一辆汽车由西向东行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A,B两校的距离相等?如果有,请用尺规作图找出该点; (2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场P到两校距离之和最小,通过作图在图中找出建游乐场P的位置. 【解析】(1)存在满足条件的点C,如图所示; (2)存在满足条件的点P,如图所示. 8.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O,现用尺规完成以下作图: (1)在图1中作线段BC的垂直平分线PM; (2)在图2中,在线段BC上找到一点N,使AN+DN的值最小. 【解析】(1)如图所示,直线PM即为所求; (2)如图所示,点N即为所求, 由作图可知,AH与EF互相垂直平分, 所以点A与点H关于直线BC成轴对称, 所以AN=NH, 所以AN+DN=DN+NH≥DH, 当点H,N,D三点共线时,取得最小值, 所以点N满足要求. 9.作图题: 如图,点P,Q是∠MON内两点,分别在OM和ON上找点A,B,使四边形PABQ周长最小. 【解析】作法:首先画出点P关于OM的对称点P1,再画出点Q关于直线ON的对称点Q1,连接P1Q1与OM,ON交于点A,B,四边形PABQ周长最小. 【C层 创新挑战（选做）】 10.(几何直观、推理能力、应用意识) 在如图所示的6×6的网格中,△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上. (1)探究一:如图1,作出△ABC关于直线m对称的△A'B'C'(不写作法步骤,仅用无刻度直尺作图,保留作图痕迹); (2)探究二:如图2,在直线m上作一点P,使△ACP的周长最小(不写作法步骤,仅用无刻度直尺作图,保留作图痕迹); (3)探究三:如图3,请尝试运用构造全等三角形法,作出△ABC边AC上的高BE(不写作法步骤,仅用无刻度直尺作图,保留作图痕迹). 【解析】(1)根据题意以及网格的特点直接作出△ABC关于直线m对称的△A'B'C',如图所示; (2)作点A关于直线m对称点A″,连接A″C,交m于点P,如图所示; 则△ACP的周长为AC+CP+PA=AC+PC+PA″≥AC+CA″, 所以点P即为所求; (3)延长AC交BF于点E,则BE即为所求,如图所示: 因为∠ADC=∠BGF=90°.AD=BG=3,CD=GF=1, 所以△ACD≌△BFG(SAS),所以∠CAD=∠FBG, 因为∠BCE=∠ACD,所以∠BEC=∠ADC=90°, 所以BE⊥AC, BE即为所求△ABC边AC上的高. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2　线段的垂直平分线(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　线段垂直平分线的判定 1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF,连接EF,求证:AD垂直平分EF. 2.如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上; (2)已知∠FAN=56°,求∠FPN的度数. 知识点2　尺规作线段的垂直平分线 3.如图所示,已知线段AB,观察作图痕迹,所得结论不一定成立的是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.AP=BP B.AO=BO C.PQ⊥AB D.∠PAB=30° 4.如图,已知△ABC,用两种方法作出△ABC的中线AD. 要求: (1)用直尺和圆规作图; (2)保留作图痕迹,不写作法. 5.A,B,C表示三个居民小区,为丰富居民们的文化生活,现准备建一个文化广场,使文化广场中心P到三个小区的距离相等,请用直尺和圆规作图找出P点.(保留作图痕迹) 【B层 能力进阶】 6.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,P是AD边上的一个动点,要使PC+PB的值最小,则点P应满足( ) A.PB=PC　 B.PA=PD C.∠BPC=90°　 D.∠APB=∠DPC 7.A,B两所学校在一条东西走向公路的同侧,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3),根据下列要求作图(保留作图痕迹,不用写作法). (1)一辆汽车由西向东行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A,B两校的距离相等?如果有,请用尺规作图找出该点; (2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场P到两校距离之和最小,通过作图在图中找出建游乐场P的位置. 8.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O,现用尺规完成以下作图: (1)在图1中作线段BC的垂直平分线PM; (2)在图2中,在线段BC上找到一点N,使AN+DN的值最小. 9.作图题: 如图,点P,Q是∠MON内两点,分别在OM和ON上找点A,B,使四边形PABQ周长最小. 【C层 创新挑战（选做）】 10.(几何直观、推理能力、应用意识) 在如图所示的6×6的网格中,△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上. (1)探究一:如图1,作出△ABC关于直线m对称的△A'B'C'(不写作法步骤,仅用无刻度直尺作图,保留作图痕迹); (2)探究二:如图2,在直线m上作一点P,使△ACP的周长最小(不写作法步骤,仅用无刻度直尺作图,保留作图痕迹); (3)探究三:如图3,请尝试运用构造全等三角形法,作出△ABC边AC上的高BE(不写作法步骤,仅用无刻度直尺作图,保留作图痕迹). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2　线段的垂直平分线(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　线段垂直平分线的性质定理 1.如图,在△ABC中,直线BD是AC的垂直平分线,若AB=5,则BC的长为() 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.5 D.10 2.如图,AC垂直平分线段BD,若AB=3 cm,CD=5 cm,则四边形ABCD的周长是() A.11 cm B.13 cm C.16 cm D.18 cm 3.如图,已知在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为8 cm,△OBC的周长为18 cm. (1)求线段BC的长; (2)连接OA,求线段OA的长. 知识点2　最短路径问题 4.【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙解决了这个问题. 【解决问题】如图2,作B关于直线l的对称点D,连接AD,交直线l于点C,点C就是所求的位置. 证明过程如下:如图3,在直线l上另取任意一点E,连接AE,BE,DE, 因为直线l是点B,D的对称轴,点C,E在直线l上, 所以CB= ,BE= .  所以AC+CB=AC+CD= .  因为在△ADE中,AD<AE+DE(三角形的两边之和大于第三边), 所以AC+CB<AE+DE,即AC+CB最小. 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想,把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AD与直线l的交点上,即A,C,D三点共线),本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型. 【拓展延伸】如图所示,点M是∠AOB内部的一点.请你在边OA和边OB上分别找到点P,Q,使得△MPQ的周长最小. 【拓展延伸】如图所示,作出点M关于OA的对称点M',点M关于OB的对称点M″,连接M'M″,交OA于P,交OB于Q,此时△MPQ的周长最小. 【B层 能力进阶】 5.如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AC=AD,EF为线段BD的垂直平分线,若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为() A.22 B.20 C.18 D.16 6.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于D,E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为 .  7.(易错警示题·忽略多种情况)在△ABC中,AB=AC,OB=OC,点A到BC的距离是6,O到BC的距离是4,则AO等于 .  8.如图,点D在线段BC上,DE垂直平分AB,垂足为点E,DF垂直平分AC,垂足为点F.求证:DB=DC. 【C层 创新挑战（选做）】 9.(模型观念、几何直观、推理能力) 如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F. (1)求证:AD=FC; (2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2　线段的垂直平分线(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　线段垂直平分线的性质定理 1.如图,在△ABC中,直线BD是AC的垂直平分线,若AB=5,则BC的长为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.5 D.10 2.如图,AC垂直平分线段BD,若AB=3 cm,CD=5 cm,则四边形ABCD的周长是(C) A.11 cm B.13 cm C.16 cm D.18 cm 3.如图,已知在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为8 cm,△OBC的周长为18 cm. (1)求线段BC的长; (2)连接OA,求线段OA的长. 【解析】(1)因为l1是AB边的垂直平分线, 所以DA=DB, 因为l2是AC边的垂直平分线, 所以EA=EC, BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8 cm; (2)因为l1是AB边的垂直平分线, 所以OA=OB, 因为l2是AC边的垂直平分线, 所以OA=OC, 因为OB+OC+BC=18 cm, 所以OA=OB=OC=5 cm. 知识点2　最短路径问题 4.【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙解决了这个问题. 【解决问题】如图2,作B关于直线l的对称点D,连接AD,交直线l于点C,点C就是所求的位置. 证明过程如下:如图3,在直线l上另取任意一点E,连接AE,BE,DE, 因为直线l是点B,D的对称轴,点C,E在直线l上, 所以CB=　　　　,BE=　　　　.  所以AC+CB=AC+CD=　　　　.  因为在△ADE中,AD<AE+DE(三角形的两边之和大于第三边), 所以AC+CB<AE+DE,即AC+CB最小. 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想,把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AD与直线l的交点上,即A,C,D三点共线),本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型. 【拓展延伸】如图所示,点M是∠AOB内部的一点.请你在边OA和边OB上分别找到点P,Q,使得△MPQ的周长最小. 【解析】【解决问题】如题图3,在直线l上另取任意一点E,连接AE,BE,DE, 因为直线l是点B,D的对称轴,点C,E在直线l上, 所以CB=CD,BE=DE. 所以AC+CB=AC+CD=AD, 因为在△ADE中,AD<AE+DE(三角形的两边之和大于第三边), 所以AC+CB<AE+DE,即AC+CB最小. 答案:CD　DE　AD 【拓展延伸】如图所示,作出点M关于OA的对称点M',点M关于OB的对称点M″,连接M'M″,交OA于P,交OB于Q,此时△MPQ的周长最小. 【B层 能力进阶】 5.如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AC=AD,EF为线段BD的垂直平分线,若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为(D) A.22 B.20 C.18 D.16 6.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于D,E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为　4 cm　.  7.(易错警示题·忽略多种情况)在△ABC中,AB=AC,OB=OC,点A到BC的距离是6,O到BC的距离是4,则AO等于　2或10　.  8.如图,点D在线段BC上,DE垂直平分AB,垂足为点E,DF垂直平分AC,垂足为点F.求证:DB=DC. 【证明】连接AD, 由条件可知DB=DA, 因为DF垂直平分AC, 所以DA=DC, 所以DB=DC. 【C层 创新挑战（选做）】 9.(模型观念、几何直观、推理能力) 如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F. (1)求证:AD=FC; (2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积. 【解析】(1)因为E为CD的中点, 所以DE=CE, 在△ADE和△FCE中,, 所以△ADE≌△FCE(ASA), 所以AD=FC. (2)如图,连接BE, 由(1)已证:△ADE≌△FCE, 所以AE=FE, 因为点B在线段AF的垂直平分线上, 所以BE垂直平分AF, 所以FB=AB=10, 因为在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,CD=8,AD=FC, 所以四边形ABCD的面积为====40. 学科网（北京）股份有限公司 $$