精品解析：浙江省丽水市莲都区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024学年第二学期初中学业质量监测 八年级数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 5．本次考试不得使用计算器． 卷I说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 2. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 等边三角形 4. 下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ） A. 平均数一定是170 B. 众数一定是170 C. 中位数在范围内（含160，不含180） D. 方差为0 8. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. a，b，c为常数，且，则关于x的方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 10. 如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用，黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 12. 某校八年级二班举行投篮比赛，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图，则班上所有学生投进球数的众数是_______球． 13. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+2的值为 ___． 14. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，分别与，，相交于点，，．连结AF，，则的长是________． 15. 已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了_________度． 16. 如图，在矩形中连结，在内分别取一点P，Q，使点P到三边距离，，都相等，使点Q到三边的距离，，都相等，已知，若，矩形的周长为32，则图中阴影部分的面积是_______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为a． （1）用含a的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长． （2）当时，这个直角三角形的面积是多少？ 19. 某校组织春季研学活动，已知学校与目的地相距5600米．八年级学生从学校出发，以v米/分的平均速度步行前往目的地，记步行时间为t分钟． （1）求v关于t的函数表达式． （2）按照学校安排，在开始沿原路返回学校，规定在之前（含）回到学校．那么八年级学生步行的平均速度至少为多少米/分？ 20. 质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下（单位：年）： 甲公司：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15． 乙公司：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16． 根据上述两家公司产品使用寿命数据（单位：年），可以得到下列统计量： 公司 平均数 众数 中位数 甲 8 乙 _____ 4 _____ （1）请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数． （2）甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称，其销售的产品的使用寿命是8年，问：这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命？ （3）如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品？为什么？ 21. 如图，正方形纸片的边长为4． （1）请用三角板根据以下要求画图； ①分别取的中点，连接． ②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形（无缝隙无重叠），并画出其示意图． （2）求（1）所拼成等腰三角形的周长． 22. 某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 23. 已知反比例函数过点． （1）当时，求的值． （2）若，求m的取值范围． （3）反比例函数过点，当时，，求证：． 24. 如图，在矩形中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F，延长交于点G，交的延长线于点H． （1）若，求证：． （2）当时， ①连结，若，求的长． ②当时，连结，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期初中学业质量监测 八年级数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 5．本次考试不得使用计算器． 卷I说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：变形为，方程仅含未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含两个未知数和，不是一元二次方程． 选项C：，移项得，最高次数为3，属于三次方程，不是一元二次方程． 选项D：，展开并整理：，不是一元二次方程． 故选：A 3. 在下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，中心对称图形是指绕某一点旋转180度后能与原图形完全重合的图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A：圆心是圆的对称中心，绕圆心旋转180度后与原图形重合，是中心对称图形． 选项B：矩形对角线的交点为对称中心，旋转180度后顶点位置互换，与原图形重合，是中心对称图形． 选项C：平行四边形的对角线的交点为对称中心，旋转180度后顶点位置互换，与原图形重合，是中心对称图形． 选项D：等边三角形虽然有三条对称轴，但不存在一个点使其旋转180度后与原图形完全重合，因此不是中心对称图形． 故选：D． 4. 下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的除法，根据二次根式的性质，二次根式的除法逐一验证各选项等式是否成立即可． 【详解】解：A．，本选项等式成立． B． ，本选项等式不成立． C．，本选项等式成立． D．，本选项等式成立． 故选：B 5. 假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的否定．原命题为“”，其否定应为“”．当原命题不成立时，结论即为它的否定． 【详解】解：原命题“”表示是负数．当该命题不成立时，不能是负数，即必须大于或等于0．因此，与0的大小关系只能是． 故选：D． 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）×180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180°=2×360， 解得：n=6． 即这个多边形为六边形． 故选B． 7. 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ） A. 平均数一定是170 B. 众数一定是170 C. 中位数在范围内（含160，不含180） D. 方差为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、方差的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平均数、众数、中位数、方差的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、平均数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意； B、众数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意； C、中位数在范围内（含160，不含180），故此选项说法正确，符合题意； D、方差大于0，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 9. a，b，c为常数，且，则关于x方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴ac＜0． 在方程中，△=≥﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 10. 如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用，黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 某校八年级二班举行投篮比赛，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图，则班上所有学生投进球数的众数是_______球． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数的定义等知识点，通过图形观察出投进2球的人数最多是解题的关键． 根据众数的定义并结合扇形统计图即可解答． 【详解】解：由图可知：班内同学投进2球的人数最多， 所以众数为2球． 故答案为：2． 13. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+2的值为 ___． 【答案】-7 【解析】 【分析】把x=-2代入已知方程得到：2a-b=-3，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：把x=-2代入，得4a-2b+6=0， 所以2a-b=-3， 所以6a-3b+2=3（2a-b）+2=3×（-3）+2=-7． 故答案是：-7． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 14. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，分别与，，相交于点，，．连结AF，，则的长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据勾股定理求出的长度，再利用垂直平分线的性质即可求解． 详解】解：，，， ， 根据题意可知为的垂直平分线， ． 15. 已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了_________度． 【答案】150 【解析】 【分析】设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后求得焦距为0.4米时的眼镜度数，相减即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， 度近视眼镜镜片的焦距为0.25米， ， 解析式为， 当时，， 小慧原来戴400度的近视眼镜， 小慧所戴眼镜的度数降低了度， 故答案为：150． 【点睛】考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大． 16. 如图，在矩形中连结，在内分别取一点P，Q，使点P到三边的距离，，都相等，使点Q到三边的距离，，都相等，已知，若，矩形的周长为32，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是正方形，结合勾股定理得，整理得，然后证明，，则，再代入整理得，因为，得，解得，故，于是，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形，矩形的周长为32， ∴， ∵点P到三边的距离，，都相等， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 在中， ∵， ∴ 连接，如图所示： ∵， ∴， 则 同理证明， ∴， 即， ∵ ∴ 整理得 ∵， ∴， ∵， 即， 故， ∴， ∴， 整理得,或， ∵， ∴舍去； ∴ 则 ∵ ∴ 同理得出四边形是正方形， 同理得，， ∴ 图中阴影部分的面积是 故答案： 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式的变形运算，因式分解法解一元二次方程，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法成为解题的关键． （1）先移项、然后再运用直接开平方法求解即可； （2）先移项、然后再运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 解得． 【小问2详解】 解：， 移项，得， 提取公因式，得， 解得． 18. 一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为a． （1）用含a的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长． （2）当时，这个直角三角形的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、单项式乘多项式、代数式求值等知识点，理解题意并运用勾股定理求得另一直角边长是解题的关键． （1）直接利用勾股定理表示出另一直角边长即可； （2）将代入（1）中求得结果并计算，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为a， ∴另一条直角边的长为：． 【小问2详解】 解：当时，， 所以，直角三角形的面积是． 19. 某校组织春季研学活动，已知学校与目的地相距5600米．八年级学生从学校出发，以v米/分的平均速度步行前往目的地，记步行时间为t分钟． （1）求v关于t的函数表达式． （2）按照学校的安排，在开始沿原路返回学校，规定在之前（含）回到学校．那么八年级学生步行的平均速度至少为多少米/分？ 【答案】（1） （2）八年级学生步行的平均速度至少为70米/分 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）根据即可得到函数表达式； （2）根据反比例函数自变量与因变量成反比即可求出的取值范围，进而可得最小平均速度． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 由题意得：．因为， 所以（米/分）． 即八年级学生步行的平均速度至少为70米/分． 20. 质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下（单位：年）： 甲公司：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15． 乙公司：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16． 根据上述两家公司产品使用寿命数据（单位：年），可以得到下列统计量： 公司 平均数 众数 中位数 甲 8 乙 _____ 4 _____ （1）请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数． （2）甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称，其销售的产品的使用寿命是8年，问：这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命？ （3）如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品？为什么？ 【答案】（1）平均数为年，中位数为8年 （2）甲公司选用了众数，乙公司选用了中位数 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数及其意义，掌握平均数、众数和中位数的概念是解题的关键． （1）根据平均数、众数和中位数的概念求解即可； （2）结合（1）所求数据即可得出答案； （3）根据平均数、中位数的意义即可解答． 【小问1详解】 解：乙公司的平均数（年）； 将乙公司的结果从小往大排列，处于中间的两个数据为7和9，则中位数为：（年）． 答：乙公司产品使用寿命平均数为年，中位数为8年． 【小问2详解】 解：甲公司选用了众数，乙公司选用了中位数． 【小问3详解】 解：选用甲公司的产品，因为它的平均数、众数、中位数比较接近，产品质量相对比较好，且稳定（答案不唯一、合理即可）． 21. 如图，正方形纸片边长为4． （1）请用三角板根据以下要求画图； ①分别取的中点，连接． ②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形（无缝隙无重叠），并画出其示意图． （2）求（1）所拼成的等腰三角形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、中点的概念、勾股定理以及图形的剪拼，解题的关键是熟练运用正方形的边长与中点性质计算线段长度，以及掌握图形剪拼的技巧确定等腰三角形的边长组成． （1）①确定中点位置，连线即可；②通过拼接使图形组合成等腰三角形． （2）计算拼接后等腰三角形三边的长度，再求和得到周长． 【小问1详解】 ①画图步骤：使用三角板分别找到正方形的边的中点，然后用三角板的直尺边依次连接E与F、F与G．（如图1） ②剪拼示意图：将剪下的、五边形、 这 3 块图形进行拼接，可得到一个等腰三角形（如图2）． 【小问2详解】 如下图， ∵正方形纸片的边长为4，点分别为的中点， ∴， ∵，所以， ∵由剪拼所得， ∴． 同理可得． 所以等腰三角形的周长为． 22. 某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 【答案】问题1：22000元；问题2：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为；问题3：A款服装应降价10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 问题1：利用6月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润×A款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润×B款服装的月销售量，即可求出结论； 问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x，利用A款服装6月份的销售量款服装4月份的销售量款服装从4月到6月销售量的平均月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 问题3：设A款服装应降价y元，则每件A款服装的销售利润为元，A款服装的月销售量为件，B款服装的月销售量为件，利用7月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润款服装的月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：问题1：根据题意得： （元）． 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元；． 问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长举为x， 由题意可以列出方程， 解得（不合题意，舍去）， 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为． 问题3：设A款服装应降价y元， 由题意可以列出方程． 解得． 答：A款服装应降价10元． 23. 已知反比例函数过点． （1）当时，求的值． （2）若，求m的取值范围． （3）反比例函数过点，当时，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出，进而求解； （2）根据反比例函数图象的性质可分析出点和点所在象限； （3）分别表示出每个点的纵坐标，代入条件式化简即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 代入中：， 当时，； 【小问2详解】 解：反比例函数在每个象限内随的增大而减小， ∵， 要使，则点在第三象限，点在第一象限， 得：， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意得：，，，， ，， ① ， ②， 化简①得：③， 化简②得：④， 得：， 即， ， ． 24. 如图，在矩形中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F，延长交于点G，交的延长线于点H． （1）若，求证：． （2）当时， ①连结，若，求长． ②当时，连结，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了图像的翻折，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理求解三角形，由垂直平分线得到直角三角形应用勾股定理是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方程可证明与全等，由全等的性质即可证明； （2）①根据平行线的性质可得角度相等，再直角三角形中应用勾股定理即可求解； ②根据垂直平分线可得直角和线段相等，设出未知数，再结合直角三角形中的勾股定理即可求解边长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：由折叠可得， 因为， 所以． 因为， 在与， ， 所以≌， 所以． 【小问2详解】 ①解：如图1，连结交于M， 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 在中，， 所以， ． ②解：如图2，连结，由折叠可得， 则垂直平分， 因为， 所以． 因为， 所以，则． 过点F作交于点P，交于点Q， 可得垂直平分，垂直平分． 则， 在中，为中位线，即， 所以． 设，则， 在中，， 即，解得 所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$