22.2相似三角形的判定(知识点、例题、课时练习）---2025-2026学年沪科版数学九年级上册

22.2相似三角形的判定 一、主要知识 知识点1 相似三角形的性质及有关概念 概念：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′,∠C=∠C′,且，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是. 注意：（1）两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例． （2）在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． （3）当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似； 【例1】下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【解答】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 【例2】下列命题中一定错误的是（　　） A．所有的等腰三角形都相似 B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似 C．全等的三角形一定相似 D．所有的等边三角形都相似 【解答】解：所有的等腰三角形都相似，如果顶角不相等，则两个等腰三角形不相似．故A错误． 有一对锐角相等的两个直角三角形相似，全等的三角形一定相似，所有的等边三角形都相似都可根据相似判定定理得出．故B，C，D正确． 故选：A． 知识点2 平行线与相似三角形 定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似. 常见形式：“A”型 和 “X”型。如果DE//BC，那么△ADE∽△ABC “A”型 “X”型 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EAD，∠EFB＝∠EDA， ∴△EFB∽△EAD； 同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF． 故选：B． 知识点3 相似三角形判定定理1 定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 【例4】如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【解答】解：∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）， A、当∠A＝∠D时，则△AOB与△DOC相似，符合题意； B、当∠A＝∠B时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； C、当∠C＝∠D时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； D、∠AOB＝∠DOC，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； 故选：A． 【例5】如图，矩形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接EF，FD，DE，若EF⊥DE，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， A、B、D中的两个三角形，只能得到一直角对应相等的条件，不能判定两个三角形相似； C、由∠BEF+∠DEF＝∠C+∠CDE，得到∠BEF＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，判定△BEF∽△CDE，故C符合题意． 故选：C． 知识点4 相似三角形判定定理2 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言：∵ ∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 注意：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 【例6】如图，在正方形ABCD中，若E为CD边的中点，P是BC边上的一动点，则下列条件： ①BP：BC＝1：3；②BP：BC＝1：2；③BP：BC＝.2：3；④BP：BC＝3：4． 其中能推出△ABP与△ECP一定相似的条件有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【解答】解：若证△ABP∽△ECP，只需证出， ∵E为CD边的中点，四边形ABCD为正方形， ∴BP＝2CP， ∴BP：BC＝2CP：（2CP+CP）＝2：3． 即只有一个条件符合题意． 故选：C． 【例7】如图，∠B＝∠D，补充下列条件之一，不一定能判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠AED B．∠CAE＝∠BAD C． D． 【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC∽△ADE，故A不符合题意； B、由∠CAE＝∠BAD得到∠DAE＝∠BAC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC∽△ADE，故B不符合题意； C、两三角形的两边对应成比例，但夹角∠DAE和∠BAC不一定相等，不能判定△ABC∽△ADE，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC∽△ADE，故D不符合题意． 故选：C． 【例8】如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 【解答】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为 ，2，， ②号三角形的三边长分别为：2，，3， ③号三角形的三边长分别为：2，2，2， ④号三角形的三边长分别为：，3，， ∴， ∴①与③相似，故A选项正确，符合题意； 其他选项不正确， 故选：A． 【例9】如图，在△ABC中，点D在线段AB上，添加一个条件，使得△ABC∽△ACD，则添加的条件是　 　 ．（只填一个） 【解答】解：①根据两角对应相等的两个三角形相似： ∵∠A＝∠A， ∴当∠ACD＝∠ABC时，△ABC∽△ACD； 当∠ADC＝∠ACB时，△ABC∽△ACD； ②根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ∵∠A＝∠A， ∴当时，△ABC∽△ACD； 综上所述，添加∠ACD＝∠ABC或∠ADC＝∠ACB或，使得△ABC∽△ACD， 故答案为：∠ACD＝∠ABC或∠ADC＝∠ACB或，． 知识点5 相似三角形判定定理3 定理：三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：∵ ∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 注意：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 【例10】将△ABC的各边长作如下变化，得到的新三角形与△ABC相似的是（　　） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【解答】解：∵△ABC的边长分为AB、BC、AC，各边长都乘2， 则，，， ∴得到的新三角形与△ABC相似，且相似比为2， ∴C选项符合题意， A、B、D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【例11】已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别，，，则△ABC与△DEF（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似 【解答】解：因为， 所以△ABC与△DEF一定相似． 故选：A． 【例12】已知△ABC的三边长分别为12cm，15cm，18cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　） A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm 【解答】解：设△DEF的另两边为x cm，y cm， 若△DEF中为4cm边长的对应边为12cm， 则：， 解得：x＝5，y＝6； 若△DEF中为4cm边长的对应边为15cm， 则：， 解得：x＝3.2，y＝4.8； 若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm， 则：， 解得：x，y； 故选：C． 知识点6 判定两个直角三角形相似 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似. 符号语言：Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中∠C=∠C′=90，如果K，那么△ABC ∽ △A′B′C′ 【例13】已知△ABC的三边长为1、2、，在下列给定条件的△DEF中，与△ABC一定相似的是（　　） A．DE＝2，EF＝4，∠E＝30° B．DE＝2，EF＝4，∠E＝90° C．DE＝2，EF＝4，∠D＝30° D．DE＝2，EF＝4，∠D＝90°． 【解答】解：∵， ∴△ABC是一个直角三角形， ∴， ∴只需满足∠D＝90°即可． 故选：D． 【例14】如图，已知∠ABC＝∠ACD＝90°，补充一个条件： 　　 ，可使△ABC∽△DCA． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ACD＝90°，， ∴△ABC∽△DCA． 故答案为：． 【例15】如图，已知：，，，当的长为 时，与相似． 【解答】解：∵AD=2，CD=， ∴AC==． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有＝，∴AB=3； （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有＝，∴AB=3． 即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 故答案为3或3. 二、课时练习 1.已知△ABC如图所示，则下列三角形中，与△ABC相似的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：选项C的三角形与已知三角形两边成比例夹角相等，这两个三角形相似． 故选：C． 2.若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF的边可能是（　　） A．DE＝6，DF＝8，EF＝10 B．DE＝9，EF＝18，DF＝25 C．DE＝1，EF＝2，DF＝2.5 D．DE＝6，DF＝10，EF＝12 【解答】解：A∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝6，DF＝8，EF＝10， ∴， ∴此选项不符合题意． B∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝9，EF＝18，DF＝25， ∴， ∴此选项不符合题意． C∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝1，EF＝2，DF＝2.5， ∴， ∴此选项不符合题意． D∵△ABC的三边长分别是3，5，6，DE＝6，DF＝10，EF＝12， ∴， ∴此选项符合题意． 故选：D． 3.依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm 【解答】解：A、∵∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°， ∴∠C＝∠F，∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DFE，故此选项不符合题意； B、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm， ∴且∠A＝∠E， ∴△ABC∽△EFD，故此选项不符合题意； C、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm， ∴且∠A＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； D、∵AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm， ∴， ∴△ABC∽△EFD，故此选项不合题意； 故选：C． 4.如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B．C． D． 【解答】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点P在边BC上，CP＝AC，过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线共有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【解答】解：过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线如下：如图，当直线PD∥AC时，此时△DBP∽△ABC，符合题意； 如图，当∠BEP＝∠C时，此时△PBE∽△ABC，符合题意； 如图，当直线PF∥AB时，此时△FPC∽△ABC，符合题意； ∴综上所述，满足这样条件的直线共有3条． 故选：B． 6.如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①∵∠BDO＝90°，∠BEA＝90° ∴∠BDO＝∠BEA ∴△BOD∽△BAE ②∵∠BDO＝90°，∠CDA＝90° ∴∠BDO＝∠CDA ∴△BOD∽△CAD ③∵∠BDO＝90°，∠CEO＝90 ∴∠BDO＝∠CEO ∴△BOD∽△COE ∴有3个 故选：B． 7.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E．若∠BAD＝∠C，则图中的相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【解答】解：∵DE∥AB， ∴△EDC∽△ABC， ∵∠B＝∠CDE，∠BAD＝∠C， ∴△DBA∽△EDC， ∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B， ∴△DBA∽△ABC， ∵∠ADE＝∠BAD，∠BAD＝∠C， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠EAD＝∠DAC， ∴△ADE∽△ACD， ∴图中共有4对相似三角形， 故选：C． 8.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．2或3.4 B．3.5或3.2 C．2或3.5 D．3.2或3.4 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝4cm， 4÷1＝4（秒）， ∴0≤t＜4． 分两种情况： ①当∠EDB＝∠ACB＝90°时， DE∥AC，△EBD∽△ABC， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CDBC＝1cm，E为AB的中点，AE＝BEAB＝2cm， ∴t＝2s； ②当∠DEB＝∠ACB＝90°时， ∵∠B＝∠B， ∴△DBE∽△ABC， ∴∠BDE＝∠A＝30°， ∴BEBDcm， ∴AE＝3.5cm， ∴t＝3.5s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5． 故选：C． 9.如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在边AB上，添加一个条件后，能判定△ABC与△DAE相似，这个条件可以是 　 　 ．（添加一个即可） 【解答】解：在△ABC和△DAE中， ∵∠C＝∠AED＝90°， 故只需要增加一组角对应相等即可， 可添加∠BAC＝∠D， 此时△ABC∽△DAE， 也可添加∠B＝∠EAD，或或DA∥BC都可以， 故答案为：∠BAC＝∠D或或DA∥BC（答案不唯一）． 10.如图，AD与BC相交于点O，可添加一个条件：　 　 ，使得△AOB与△DOC相似． 【解答】解：如图所示：∠AOB＝∠DOC，再添加另一对对应角相等或该夹角两组对应边的比相等即可． 例如：∠A＝∠D或∠B＝∠C或． 故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）． 11.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°．下列各组条件中，①∠A＝55°，∠D＝35°；②AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8；③AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8；④AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9；能够判定这两个三角形相似的有 　 　 ．（填序号） 【解答】解：①在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°． ∵∠A＝55°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝35°， ∴∠B＝∠D， ∴Rt△ABC和Rt△DEF相似，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似； ②在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°． ∵，，则， ∴Rt△ABC和Rt△DEF相似，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°． ∵，，但∠C≠∠D， ∴Rt△ABC和Rt△DEF不相似，理由是：有两边对应成比例且夹角不相等的两个三角形不相似； ④在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°． 在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8， ∴BC6， ∵，，则， ∴Rt△ABC和Rt△DEF相似，理由是：有斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 故答案为：①②④． 12.如图，在4×4的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点F，G，H，I分别与点D，E连接，得到△FED，△GED，△HED和△IED，这四个三角形中与△ABC相似的是　 　 ． 【解答】解：在△ABC中：，BC＝1，； 在△DEF中：DE＝2，，， ∵， ∴△ABC与△DEF不相似； 在△DEG中：DE＝2，，； ∴， ∴△ABC∽△DEG； 在△DEH中：DE＝2，，， ∴， ∴△ABC与△DEH不相似； 在△DEI中：DE＝2，，， ∴， ∴△ABC与△DEI不相似； 故答案为：△GED． 13.如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP＝　 　 cm． 【解答】解：设运动时间为x s， 当△BPQ∽△CQA时，有， 即， 解得：x， ∴BP＝4x（cm）， 当△BPQ∽△CAQ时，有， 即， 解得：x＝5或x＝﹣10（舍去）， ∴BP＝4x＝20（cm）， 综上所述，当BPcm或20cm时，△BPQ与△AQC相似， 故答案为：或20． 14.如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 　． 【解答】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 15.如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有和（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 【解答】．理由如下： 解：∵正方形网格中的小正方形的面积都为1， ∴正方形网格中的小正方形的边长都为1， 如图，在中，，，， 在中，，，， ∵，， ， ∴， ∴． 16.如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【解答】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E． （1）证明：△CDE∽△ADC； （2）证明：△BAD∽△EBD． 【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACB＝90°， ∴∠CED＝∠ACB＝90°， ∵∠CDE＝∠ADC， ∴△CDE∽△ADC； （2）∵△CDE∽△ADC， ∴， ∵D是BC的中点， ∴CD＝BD， ∴， 又∵∠EDB＝∠BDA， ∴△BAD∽△EBD． 18.如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D． （1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； （2）连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE． 【解答】（1）解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴3， ∴DE； （2）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 19.如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2． （1）求CD长度； （2）求证：△ABE∽△BDE． 【解答】（1）解：∵∠A＝∠EBD＝∠C＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，即∠AEB＝∠CBD， ∴△ABE∽△CDB， ∴，即， 解得，CD＝4， ∴CD的长度为4； （2）证明：由勾股定理得：，， ∴， ∵，∠A＝∠EBD＝90°， ∴△ABE∽△BDE． 20.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度向点C运动，如果P，Q分别从A，B同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为12cm2？ （2）是否存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意BQ＝4t cm，PB＝（8﹣2t）cm． 12， 解得：t＝1或t＝3， ∴当t为1或3时，△PBQ的面积等于12cm2； （2）存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似；理由如下： 点P运动的时间为：8÷2＝4（s），点Q运动的时间为：12÷4＝3（s）， 当运动时间为t s时，BQ＝4t cm，AP＝2t cm， ∴BP＝（8﹣2t）cm， ∵△ABC中，∠B＝90°，以P，B，Q为顶点的三角形中∠B＝90°， ∴如果△ABC和以P，B，Q为顶点的三角形相似， 则有∠BPQ＝∠C或∠BPQ＝∠A， 当∠BPQ＝∠C时，△ABC∽△QBP， ∴， ∴， 解得：t＝1； 当∠BPQ＝∠A时，△ABC∽△PBQ， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似；此时t的值为1或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2相似三角形的判定 一、主要知识 知识点1 相似三角形的性质及有关概念 概念：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′,∠C=∠C′,且，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是. 注意：（1）两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例． （2）在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． （3）当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似； 【例1】下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【例2】下列命题中一定错误的是（　　） A．所有的等腰三角形都相似 B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似 C．全等的三角形一定相似 D．所有的等边三角形都相似 知识点2 平行线与相似三角形 定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似. 常见形式：“A”型 和 “X”型。如果DE//BC，那么△ADE∽△ABC “A”型 “X”型 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 知识点3 相似三角形判定定理1 定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 【例4】如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【例5】如图，矩形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接EF，FD，DE，若EF⊥DE，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 知识点4 相似三角形判定定理2 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言：∵ ∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 注意：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 【例6】如图，在正方形ABCD中，若E为CD边的中点，P是BC边上的一动点，则下列条件： ①BP：BC＝1：3；②BP：BC＝1：2；③BP：BC＝.2：3；④BP：BC＝3：4． 其中能推出△ABP与△ECP一定相似的条件有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【例7】如图，∠B＝∠D，补充下列条件之一，不一定能判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠AED B．∠CAE＝∠BAD C． D． 【例8】如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 【例9】如图，在△ABC中，点D在线段AB上，添加一个条件，使得△ABC∽△ACD，则添加的条件是　 　 ．（只填一个） 知识点5 相似三角形判定定理3 定理：三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：∵ ∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 注意：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 【例10】将△ABC的各边长作如下变化，得到的新三角形与△ABC相似的是（　　） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【例11】已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别，，，则△ABC与△DEF（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似 【例12】已知△ABC的三边长分别为12cm，15cm，18cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　） A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm 知识点6 判定两个直角三角形相似 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似. 符号语言：Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中∠C=∠C′=90，如果K，那么△ABC ∽ △A′B′C′ 【例13】已知△ABC的三边长为1、2、，在下列给定条件的△DEF中，与△ABC一定相似的是（　　） A．DE＝2，EF＝4，∠E＝30° B．DE＝2，EF＝4，∠E＝90° C．DE＝2，EF＝4，∠D＝30° D．DE＝2，EF＝4，∠D＝90°． 【例14】如图，已知∠ABC＝∠ACD＝90°，补充一个条件： 　　 ，可使△ABC∽△DCA． 【例15】如图，已知：，，，当的长为 时，与相似． 二、课时练习 1.已知△ABC如图所示，则下列三角形中，与△ABC相似的是（　　） A．B．C．D． 2.若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF的边可能是（　　） A．DE＝6，DF＝8，EF＝10 B．DE＝9，EF＝18，DF＝25 C．DE＝1，EF＝2，DF＝2.5 D．DE＝6，DF＝10，EF＝12 3.依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm 4.如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B．C． D． 5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点P在边BC上，CP＝AC，过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线共有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 6.如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E．若∠BAD＝∠C，则图中的相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 8.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．2或3.4 B．3.5或3.2 C．2或3.5 D．3.2或3.4 9.如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在边AB上，添加一个条件后，能判定△ABC与△DAE相似，这个条件可以是 　 　 ．（添加一个即可） 10.如图，AD与BC相交于点O，可添加一个条件：　 　 ，使得△AOB与△DOC相似． 11.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°．下列各组条件中，①∠A＝55°，∠D＝35°；②AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8；③AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8；④AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9；能够判定这两个三角形相似的有 　 　 ．（填序号） 12.如图，在4×4的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点F，G，H，I分别与点D，E连接，得到△FED，△GED，△HED和△IED，这四个三角形中与△ABC相似的是　 　 ． 13.如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP＝　 　 cm． 14.如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 　． 15.如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有和（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 16.如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E． （1）证明：△CDE∽△ADC； （2）证明：△BAD∽△EBD． 18.如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D． （1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； （2）连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE． 19.如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2． （1）求CD长度； （2）求证：△ABE∽△BDE． 20.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度向点C运动，如果P，Q分别从A，B同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为12cm2？ （2）是否存在某一时刻t，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$