第23章 旋转 复习讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第23章 旋转 （一）知识框架 （二）知识梳理 1、旋转 旋转及旋转的三要素： 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做 ．．这个定点叫做 ．（如点O），转动的角度叫做 ．(如∠AO A′)． 确定旋转中心、旋转角、对应线段以及对应角的方法 (1)确定旋转中心：在旋转过程中不动的点 (2)确定旋转角：各组对应点与 ．所连线段的夹角； (3)确定对应线段以及对应角：找出旋转前后能重合的点（对应，点），即可找到对应线段和对应角 2、中心对称 中心对称的概念 把一个图形绕着某一个点旋转 后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形 ，这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ． 方法归纳：A C B C′ B′ A′ O １、中心对称是旋转角为180°的 称； ２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的 就是对称中心； ３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心 ． 3、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心 ; （2）中心对称的两个图形是 方法归纳： 中心对称是一种特殊的 ,因此,它具有旋转的一切特征 4.、确定对称中心的方法 方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为 方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是 5、画已知图形关于某一点对称的图形 (1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并 ; (2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的 : (3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于 的图形 6、中心对称图形 把一个图形绕着某一个点 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做 形,这个点就是它的对称中心. 7、中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过 ,且被对称 ,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是 (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是 (即面积和周长都分别相等) 8、关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时,它们的坐标 ,即点P(x,y)关于原点的对称点为 （三）知识精练 一、单选题 1．下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则点在（    ） A．第三象限 B．第四象限 C．第二象限 D．第一象限 4．如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 5．中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（    ） A． B． C． D． 6．把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（　　） A．6→3 B．7→16 C．7→8 D．6→15 7．已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B．6 C． D．9 8．如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 10．点关于原点的对称点的坐标为 ． 11．如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则 ． 12．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 13．如图，在平面上将绕点旋转到的位置时，，，则的度数为 ． 14．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形，图中的阴影部分的面积为 ． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将先向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，得到． (1)指出这一平移的平移方向和平移距离； (2)画出平移后； (3)将绕点O旋转得到，作出． 16．的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； (2)画出关于点成中心对称的； 17．如图，与关于点O成中心对称，若，，求的长度和的度数． 18．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2．B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 3．B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 利用关于原点对称点的坐标性质，让所给两点的横纵坐标互为相反数求得m，n的值，即可得出答案． 【详解】∵点与关于原点对称， ∴， ∴， ∴点在第四象限． 故选B． 4．C 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知是旋转角，进而只有得出的度数即为旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 5．C 【分析】本题主要考查了求旋转角，根据题意可得旋转的角度一定是180度的倍数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度一定是180度的倍数， 故选：C． 6．D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形．一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：6→3 ，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形 ，故不符合题意；   B. 7→16，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；     C. 7→8 ，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形，故不符合题意；    D. 6→15，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 7．D 【分析】本题考查了原点对称，求代数式的值，根据原点对称的特征量，确定a，b的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 则， 故选：D． 8．B 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是 ∴, ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选项是B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键 9．A 【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ，即旋转角等于，，， ，即， 三点共线，所以①正确； ，， 为等边三角形，所以②正确； 为等边三角形， ， ， 平分，所以③正确； 为等边三角形， ， 而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ， ， ，所以④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 10． 【分析】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案． 【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，还考查了三角形的中位线定理．根据成中心对称的两个图形全等可得，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：与成中心对称， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：． 12．①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 13．30 【分析】由旋转的性质可知，，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，结合求得，进而可求，利用即可获得答案． 【详解】解：由旋转的性质可知 ，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角内角和定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键． 14． 【分析】设与的交点为，连接，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等，再根据旋转角求出，然后求出，再解直角三角形求出，然后根据阴影部分的面积正方形的面积四边形的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：如图，设与的交点为，连接， 在和中，， ， ， 旋转角为， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出，从而求出是解题的关键，也是本题的难点． 15．(1)向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转： （1）根据所给平移方式和平移方向求解即可； （2）根据所给平移方式和平移方向求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可； （3）绕原点旋转180度后和关于原点对称，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可． 【详解】（1）解：由题意得，向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了图形的平移，中心对称图形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图形平移的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 17．2，． 【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴，． 18．（1），（2）6，（3）． 【分析】（1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为； （2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离； （3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数． 【详解】解：（1）∵由绕点A旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴旋转角度数为； （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴, 即点P与点之间的距离为6； （3）在中， 由（1）得：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的度数为． 【点睛】题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$