精品解析：河南省驻马店市第一高级中学2025-2026学年高一暑假第一轮复习考试数学试卷

驻马店市一高2025-2026学年暑假第一轮复习考试 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷中，（П）表示（π）；在多选11题中，选项取近似值；斜体表示向量. 一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 一个袋子里装有5个红球，3个白球和2个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黑球的概率分别为，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且是第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在郑州一中的体育艺术节上，甲、乙、丙三位同学分别参加了跳远、跳高和100米短跑比赛，他们的成绩（单位：米或秒）分别为（跳远成绩近似值，单位：米）（跳高成绩通过某种换算得到的近似无单位数值，仅用于比较大小），（100米短跑所用时间换算成的相对数值，无单位，仅用于比较大小），则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A（去游乐园）、方案B（看新上映的电影）、方案C（去郊外野餐）.为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天（每天独立选择方案），那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案（这2天方案相同，另1天方案不同）的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰三角形 C. 的周长为32 D. 的周长为 11. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（ ）米（取，） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在中，，，，点是边上的中点，则的长度为________. 13. 已知向量，，若，则实数x的值为________. 14. 在的方格棋盘上，甲、乙轮流掷一枚骰子（点数），根据点数移动一枚棋（初始位于中心格）.移动规则如下： 横向移动：若点数为奇数，棋子沿当前行向右移动点数格（超出棋盘边界则停在边界格）； 纵向移动：若点数为偶数，棋子沿当前列向上移动点数格（超出棋盘边界则停在边界格）； 特殊规则：若移动后棋子落在对角线格（即行号＝列号的格子，如、等），则需额外回退1格（方向与原移动方向相反，若回退后仍在对角线则不再回退）. 问题：若甲先手，且两人均采取最优策略（即尽可能让对方无法到达棋盘四个角格、、、），则甲第一次掷骰子后，棋子落在非角格且非对角线格的概率是________（用最简分数表示）. 四、解答题（共77分） 15. （1）计算复数，并将结果表示为的形式（其中为实数）； （2）已知复数，求的模. 16. 在中，角所对的边分别为，已知 （1）化简上述等式，求出角B的大小； （2）若，求面积的最大值. 17. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 18. 如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. （1）若，求证：平面； （2）若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 19. 如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间. （1）内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为，求这个球体的表面积； （2）学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有效利用空间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市一高2025-2026学年暑假第一轮复习考试 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷中，（П）表示（π）；在多选11题中，选项取近似值；斜体表示向量. 一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由题意可知：，，所以. 故选：A 2. 一个袋子里装有5个红球，3个白球和2个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黑球的概率分别为，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意及古典概型的概率公式可求解. 【详解】由题意可得：袋子里一共个球. 由古典概型的概率公式可得：；；， 则. 故选：A 3. 已知，且是第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求的值. 【详解】因为，且是第二象限角，故， 故， 故选：A. 4. 在郑州一中的体育艺术节上，甲、乙、丙三位同学分别参加了跳远、跳高和100米短跑比赛，他们的成绩（单位：米或秒）分别为（跳远成绩近似值，单位：米）（跳高成绩通过某种换算得到的近似无单位数值，仅用于比较大小），（100米短跑所用时间换算成的相对数值，无单位，仅用于比较大小），则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作差法得到，，从而得到答案. 【详解】， 由于，，所以，即， ， 所以，所以. 故选；B 5. 已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线建立等式，解得的值. 【详解】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】进一步缩小角的范围，并根据同角三角函数关系求出，利用诱导公式和正弦二倍角公式进行求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，故， 所以， 故 . 故选：B 8. 小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A（去游乐园）、方案B（看新上映的电影）、方案C（去郊外野餐）.为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天（每天独立选择方案），那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案（这2天方案相同，另1天方案不同）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出样本空间，再根据古典概型公式计算即可. 【详解】依题意可得样本空间包含， ， ，共27种情况， 其中满足“恰好有2天选择同一种方案”的情况有 ，， ，共18种； 因此所求概率为. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数. 【详解】由正弦定理，，得， 若，，无解，A选项错误； 若，，得，恰有一个解，B选项正确； 若，，，有两解，有两个解，C选项错误； 若，，，恰有一个解，D选项正确. 故选：BD 10. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰三角形 C. 的周长为32 D. 的周长为 【答案】AD 【解析】 【分析】由，，可得，再由面积为16，求出，求出，进而判断选项. 【详解】因为，所以， 所以.因为，所以.因为， 所以.因为16，所以，可得，则， 即.又因为，所以，A正确. 由上知，可得，B错误. 的周长为，C错误，D正确. 故选：AD 11. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（ ）米（取，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦定理求出，再解直角，就可以得到. 【详解】在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：C 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在中，，，，点是边上的中点，则的长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】算出斜边长后可求中线的长. 【详解】 因为，，，故， 故为直角三角形，故， 故答案为： 13. 已知向量，，若，则实数x的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由垂直向量数量积以及数量积的运算律，建立方程，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 14. 在的方格棋盘上，甲、乙轮流掷一枚骰子（点数），根据点数移动一枚棋（初始位于中心格）.移动规则如下： 横向移动：若点数为奇数，棋子沿当前行向右移动点数格（超出棋盘边界则停在边界格）； 纵向移动：若点数为偶数，棋子沿当前列向上移动点数格（超出棋盘边界则停在边界格）； 特殊规则：若移动后棋子落在对角线格（即行号＝列号的格子，如、等），则需额外回退1格（方向与原移动方向相反，若回退后仍在对角线则不再回退）. 问题：若甲先手，且两人均采取最优策略（即尽可能让对方无法到达棋盘四个角格、、、），则甲第一次掷骰子后，棋子落在非角格且非对角线格的概率是________（用最简分数表示）. 【答案】1 【解析】 【分析】首先需要明确骰子掷出的点数有这6种情况，然后根据移动规则分别分析每种点数下棋子的移动结果，判断是否落在角格、对角线格，最后计算落在非角格且非对角线格的情况数，从而得出概率。 【详解】点数为1时，因为1是奇数，根据横向移动规则，棋子沿当前行（第3行）向右移动1格， 从移动到，此格为非角格且非对角线格。 点数为2时，因为2是偶数，按照纵向移动规则，棋子沿当前列（第3列）向上移动2格， 从移动到，此格为非角格且非对角线格。 点数为3时，3是奇数，棋子沿第3行向右移动3格，从移动到， 但超出棋盘边界，所以停在，此格为非角格且非对角线格。 点数为4时，4是偶数，棋子沿第3列向上移动4格，从移动到， 超出棋盘边界，停在，此格为非角格且非对角线格。 点数为5时，5是奇数，棋子沿第3行向右移动5格，从移动到， 超出棋盘边界，停在，此格为非角格且非对角线格。 点数为6时，6是偶数，棋子沿第3列向上移动6格，从移动到， 超出棋盘边界，停在(1,3)，此格为非角格且非对角线格。 其中，移动后落在非角格且非对角线格的情况有6种（点数为 1、2、3、4 、5、6时 ）， 且所有移动后位置均不满足对角线条件，无需回退， 而骰子掷出的总情况有 6 种。甲第一次掷骰子后，棋子落在非角格且非对角线格的概率为1. 故答案为：1. 四、解答题（共77分） 15. （1）计算复数，并将结果表示为的形式（其中为实数）； （2）已知复数，求的模. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算法则可求解； （2）根据复数模的计算公式可求解. 【详解】（1） （2）因为， 所以 . 16. 在中，角所对的边分别为，已知 （1）化简上述等式，求出角B的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及辅助角公式，根据三角形性质与三角函数，可得答案； （2）由余弦定理以及基本不等式，根据三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由，根据正弦定理，可得， 由，则，可得， 即，由，则，解得. 【小问2详解】 由余弦定理可得，则， 由，则，解得，当且仅当时等号成立， 所以的面积，故面积最大值为. 17. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，． 【解析】 【详解】（Ⅰ）因为 ， 故最小正周期为 （Ⅱ）因为，所以． 于是，当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值． 点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键. 18. 如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. （1）若，求证：平面； （2）若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题可得，根据线面平行的判定即可证明； （2）设交于点，连接并延长交的延长线于，由题可证四边形为平行四边形，得到，利用，可得，继而得到，即可. 【小问1详解】 证明：连接，，，则为中点， 又为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设交于点，连接并延长交的延长线于， 平面，平面，平面平面， ，又，所以四边形为平行四边形， 则，又，所以， 又，所以， ，， 所以,因,则可得. 19. 如图为驻马店市一高的球形体育馆，内接体为有效利用空间. （1）内接体为正四棱锥，高和该球半径相等，体积为，求这个球体的表面积； （2）学校计划暑期在宿舍东边建设一个与该体育馆一样大的游泳馆，且内接体为正三棱柱，求该游泳馆的有效利用空间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据球的半径和正四棱锥的高计算四棱锥地面边长，根据体积计算出球的半径，最后结合球的表面积公式计算得出结果； （2）先三角形的外接圆半径，再结合球的半径和三棱柱的高，计算三棱柱的体积； 【小问1详解】 设球的半径为，因为内接体正四棱锥的高 正四棱锥底面正方形的对角线长为，则底面正方形边长为 根据正四棱锥体积公式,解得 则这个球的表面积为 【小问2详解】 已知球的半径为，对于内接正三棱柱，设正三角形边长为，正三棱柱的高为， 球心到底面正三角形的距离为，在正三角形的高为， 正三棱柱底面正三角形外接圆半径为， 根据勾股定理可得， 化简得 所以正三棱柱的体积为 求体积最大值，令 那么，求导可得， 令，解得， 当时，，此时正三棱柱体积最大，因为，最大体积为： . 因为有效利用空间为半球的内接正三棱锥，故该游泳馆的有效利用空间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $