2026届高三数学一轮复习优生加练20：导数与函数的极值、最值

第20练　导数与函数的极值、最值 (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.(2024·成都模拟)若函数f(x)=x(x+a)2在x=1处有极大值,则实数a的值为(　　) A.1 B.-1或-3 C.-1 D.-3 答案　D 解析　函数f(x)=x(x+a)2,f'(x)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a), 由函数f(x)=x(x+a)2在x=1处有极大值, 可得f'(1)=(1+a)(3+a)=0, 解得a=-1或a=-3, 当a=-1时,f'(x)=(x-1)(3x-1),当x∈时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x=1处有极小值,不符合题意. 当a=-3时,f'(x)=(x-3)(3x-3),当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0, 当x∈(1,3)时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,f(x)在x=1处有极大值,符合题意. 综上可得,a=-3. 2.函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A.- B.- C.-+2 D.-+2 答案　D 解析　f(x)=cos x+(x+1)sin x+1,x∈[0,2π],则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cos x=(x+1)cos x,x∈[0,2π]. 令f'(x)=0, 解得x=-1(舍去)或x=或x=. 因为f=cos +sin +1 =2+ f=cos +sin +1=- 又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2, f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2, 所以f(x)max=f=2+ f(x)min=f=-. 3.已知函数f(x)=x3-在(0,+∞)内既有极大值也有极小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1)∪ B.(0,1) C. D. 答案　D 解析　f(x)=x3-则f'(x)=x2-ax, 要使函数f(x)=x3-在(0,+∞)内既有极大值也有极小值, 只需方程x2-ax=0在(0,+∞)内有两个不相等的实根. 即ln a=令g(x)=(x>0), 则g'(x)= 当x∈(0,e)时,g'(x)>0, 当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0, 则g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,当x>e时,g(x)>0恒成立,g(e)= g(x)的大致图象如图所示. 由图可知ln a∈ ∴1<a<. 4.(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)=cos x+x2,若x=0是函数f(x)的唯一极小值点,则a的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.(-1,1) C.[-1,+∞) D.(-∞,1] 答案　A 解析　f'(x)=-sin x+ax, 令g(x)=f'(x)=-sin x+ax, 则g'(x)=-cos x+a, 当a≥1时,g'(x)=-cos x+a≥0,故g(x)在R上单调递增, 又g(0)=-sin 0+0=0,故当x>0时,g(x)>0,当x<0时,g(x)<0, 故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 故x=0是函数f(x)的唯一极小值点,符合题意； 当a<1时,g'(0)=-cos 0+a=-1+a<0, 故一定存在m>0,使g(x)在(0,m)上单调递减, 此时x=0不是函数f(x)的极小值点,故a<1时不符合题意. 综上所述,a的取值范围为[1,+∞). 二、填空题(共5分) 5.(2024·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数f(x)=若x1<x2,且f(x1)=f(x2),则x2-x1的最小值为　　　　　　.  答案　2ln 2+ 解析　设f(x1)=f(x2)=t, 如图所示,由f(x)的图象知, t>0,且x1<0<x2, 则-=-2=t, 所以x1=-x2=ln(t+2), 则x2-x1=ln(t+2)+. 令g(t)=ln(t+2)+(t>0), 则g'(t)=-== 所以当t∈(0,2)时,g'(t)<0,函数g(t)单调递减； 当t∈(2,+∞)时,g'(t)>0,函数g(t)单调递增, 所以当t=2时,g(t)取得最小值,为g(2)=2ln 2+即x2-x1的最小值为2ln 2+. 三、解答题(共15分) 6.(15分)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)=x2-4ax+a2ln x在x=1处取得极大值. (1)求实数a的值；(9分) (2)求f(x)在区间上的最大值.(6分) 解　(1)由已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x-4a+== 令f'(x)=0得x=a或x= 当a=1时,令f'(x)>0得,0<x<或x>1, 令f'(x)<0,得<x<1, 故函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 此时函数f(x)在x=处取得极大值,在x=1处取得极小值,与函数f(x)在x=1处取得极大值矛盾； 当=1,即a=3时,令f'(x)>0,得0<x<1或x>3,令f'(x)<0,得1<x<3, 故函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 此时函数f(x)在x=1处取得极大值,在x=3处取得极小值,符合题意, 所以a=3. (2)由(1)得f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减, 所以f(x)在区间上的最大值为f(1)=-12=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20练　导数与函数的极值、最值 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.(2024·成都模拟)若函数f(x)=x(x+a)2在x=1处有极大值,则实数a的值为(　　) A.1 B.-1或-3 C.-1 D.-3 2.函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A.- B.- C.-+2 D.-+2 3.已知函数f(x)=x3-在(0,+∞)内既有极大值也有极小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1)∪ B.(0,1) C. D. 4.(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)=cos x+x2,若x=0是函数f(x)的唯一极小值点,则a的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.(-1,1) C.[-1,+∞) D.(-∞,1] 二、填空题(共5分) 5.(2024·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数f(x)=若x1<x2,且f(x1)=f(x2),则x2-x1的最小值为　　　　　　.  三、解答题(共15分) 6.(15分)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)=x2-4ax+a2ln x在x=1处取得极大值. (1)求实数a的值；(9分) (2)求f(x)在区间上的最大值.(6分) 学科网（北京）股份有限公司 $$