2026届高三数学一轮复习优生加练21：三次函数的性质

第21练　三次函数的性质 (分值：40分) 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质 (1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时,f(x)是奇函数. (2)对称性：中心对称,且对称中心是.若f(x)有极值,则它的对称中心是两个取极值的点的中点. 引申性质：若y=f(x)是可导函数. ①若图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称； ②若图象关于直线x=m对称,则y=f'(x)的图象关于点(m,0)对称； ③奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. (3)根与系数的关系 设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,x2,x3,则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3. 比较系数可得x1+x2+x3=-x1x2+x2x3+x3x1=x1x2x3=-. (4)三次函数切线条数 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N处的切线为l,函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域,如图1(a<0)、图2(a>0)所示. ①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时,过点P的切线有且仅有一条； ②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时,过点P的切线有两条； ③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时,过点P的切线有三条. 一、单项选择题(每小题5分,共10分) 1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-]∪[+∞) B.[-] C.(-∞,-)∪(+∞) D.(-) 答案　B 解析　由f(x)=-x3+ax2-x-1,得f'(x)=-3x2+2ax-1, 因为函数在R上单调, 所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立, 则Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤ 所以实数a的取值范围是[-]. 2.已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-则f+f+f+…+f等于(　　) A.2 024 B. C.2 025 D.2 026 答案　B 解析　由f(x)=2x3-3x2+9x-可得f'(x)=6x2-6x+9,令g(x)=6x2-6x+9,g'(x)=12x-6. 令g'(x)=12x-6=0,得x=又f=2×-3×+9×-=所以对称中心为f+f=1,f+f =1,…,f +f =1,f =+f +f +…+f =1 012×1+=. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 3.(2024·合肥模拟)已知三次函数f(x)=x3+ax+2,下列叙述正确的是(　　) A.当a=1时,函数f(x)无极值点 B.函数f(x)的图象关于点(0,2)中心对称 C.过点(0,2)的切线有两条 D.当a<-3时,函数f(x)有3个零点 答案　ABD 解析　对于A,当a=1时,f(x)=x3+x+2,f'(x)=3x2+1>0,f(x)单调递增,无极值点,故A正确； 对于B,因为f(x)+f(-x)=4,所以函数f(x)的图象关于点(0,2)中心对称,故B正确； 对于C,设切点坐标为(x1,f(x1)),则切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1), 因为切线过点(0,2),所以2-f(x1)=f'(x1)(-x1),即2--ax1-2=-3-ax1,解得x1=0, 即只有一个切点,即只有一条切线,故C错误； 对于D,f'(x)=3x2+a,当a<-3时,令f'(x)=0,得x=± 当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 又f(x)有极大值为f >f(0)=2>0,所以若函数f(x)有3个零点, 则f(x)有极小值为f=+2<0,解得a<-3,故D正确. 4.(2025·长沙模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有三个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),函数g(x)=f(x)-1也有三个零点t1,t2,t3(t1<t2<t3),则(　　) A.b2>3ac B.若x1,x2,x3成等差数列,则x2=- C.x1+x3<t1+t3 D.++=++ 答案　ABD 解析　因为f(x)=ax3+bx2+cx+d, 则f'(x)=3ax2+2bx+c,a≠0,对称中心为 对于A,因为f(x)有三个不同的零点,所以f(x)必有两个极值点, 即f'(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不同的实根, 所以Δ=4b2-12ac>0,即b2>3ac,故A正确； 对于B,由x1,x2,x3成等差数列,及三次函数的中心对称性, 可知(x2,f(x2))为f(x)的对称中心,所以x2=-故B正确； 对于C,函数g(x)=f(x)-1,当g(x)=0时,f(x)=1, 则直线y=1与y=f(x)图象的交点的横坐标即为t1,t2,t3, 当a>0时,画出f(x)与y=1的图象, 由图可知,x1<t1,x3<t3,则x1+x3<t1+t3, 当a<0时,则x1+x3>t1+t3,故C错误； 对于D,由题意得 整理得 得-2(x1x2+x2x3+x3x1)=-2(t1t2+t2t3+t3t1), 即++=++故D正确. 三、填空题(共5分) 5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1,x2,x3,且在点(xi,f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1,2,3),则++=　　　　　　.  答案　0 解析　设f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0),则f'(x)=a(x-x1)(x-x2)+a(x-x1)(x-x3)+a(x-x2)(x-x3),由导数的几何意义可得k1=f'(x1)=a(x1-x2)(x1-x3), k2=f'(x2)=a(x2-x1)(x2-x3), k3=f'(x3)=a(x3-x1)(x3-x2), 所以++=++ ==0. 四、解答题(共13分) 6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+. (1)当m=1时,求f+f+…+f+f的值；(6分) (2)若不等式2xln x+f'(x)+3≥0恒成立,求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)函数f(x)=x3-x2+ 当m=1时,f(x)=x3-x2+ ∵f'(x)=x2-x, ∴f″(x)=2x-1, 令f″(x)=2x-1=0,解得x= 则对称中心的纵坐标为f=1,故对称中心为 ∴f(x)+f(1-x)=2, ∴f +f =2,f +f =2,…,f +f =2,f =1, 则f +f +…+f +f =2×49+1=99. (2)∵2xln x+f'(x)+3≥0,f'(x)=x2-mx, 即mx≤2xln x+x2+3, 又x>0, ∴m≤在x∈(0,+∞)上恒成立. 令t(x)==2ln x+x+ ∴m≤t(x)min. ∵t'(x)=+1-== 令t'(x)=0,得x=1或x=-3(舍去). 当x∈(0,1)时,t'(x)<0,函数t(x)在(0,1)上单调递减； 当x∈(1,+∞)时,t'(x)>0,函数t(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴t(x)min=t(1)=4. ∴m≤t(x)min=4, 即m的取值范围为(-∞,4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21练　三次函数的性质 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质 (1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时,f(x)是奇函数. (2)对称性：中心对称,且对称中心是.若f(x)有极值,则它的对称中心是两个取极值的点的中点. 引申性质：若y=f(x)是可导函数. ①若图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称； ②若图象关于直线x=m对称,则y=f'(x)的图象关于点(m,0)对称； ③奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. (3)根与系数的关系 设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,x2,x3,则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3. 比较系数可得x1+x2+x3=-x1x2+x2x3+x3x1=x1x2x3=-. (4)三次函数切线条数 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N处的切线为l,函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域,如图1(a<0)、图2(a>0)所示. ①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时,过点P的切线有且仅有一条； ②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时,过点P的切线有两条； ③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时,过点P的切线有三条. 一、单项选择题(每小题5分,共10分) 1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-]∪[+∞) B.[-] C.(-∞,-)∪(+∞) D.(-) 2.已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-则f+f+f+…+f等于(　　) A.2 024 B. C.2 025 D.2 026 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 3.(2024·合肥模拟)已知三次函数f(x)=x3+ax+2,下列叙述正确的是(　　) A.当a=1时,函数f(x)无极值点 B.函数f(x)的图象关于点(0,2)中心对称 C.过点(0,2)的切线有两条 D.当a<-3时,函数f(x)有3个零点 4.(2025·长沙模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有三个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),函数g(x)=f(x)-1也有三个零点t1,t2,t3(t1<t2<t3),则(　　) A.b2>3ac B.若x1,x2,x3成等差数列,则x2=- C.x1+x3<t1+t3 D.++=++ 三、填空题(共5分) 5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1,x2,x3,且在点(xi,f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1,2,3),则++=　　　　　　.  四、解答题(共13分) 6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+. (1)当m=1时,求f+f+…+f+f的值；(6分) (2)若不等式2xln x+f'(x)+3≥0恒成立,求实数m的取值范围.(7分) 学科网（北京）股份有限公司 $$