2.3.1 两条直线的交点坐标 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.1两条直线的交点坐标 一、单选题 1．若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 2．已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 3．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 4．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 6．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 8．已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 10．下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（    ） A．4 B． C． D． 11．下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．若直线与直线相交，且交点的横坐标的范围为，则实数的取值范围是 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 三、填空题 12．已知直线和，则直线和的交点为 . 13．过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 ． 14．已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数 ． 15．在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ． 16．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 四、解答题 17．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点Q． (1)求交点Q的坐标； (2)若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 解：因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故两点和所确定的直线方程是， 故选:A. 2．C 解：由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 3．C 解：当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， 联立与，解得， 则将代入中，，解得， 当与平行时，满足要求，此时， 当与平行时，满足要求，此时， 综上，满足条件的的值共有3个. 故选：C 4．C 解：方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得． 方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误. 故选：C． 5．C 解： 解：在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 6．B 解：解：联立，解得，即交点为， 因为直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即． 故选：B． 7．B 解：因为， 对于A：当时，，则、， 所以，所以，故A正确； 对于B：若，则，解得或，当时，满足题意， 当时，，与重合，故舍去， 所以，故B错误； 对于C：当时，， 则，解得，即两直线的交点为，故C正确； 对于D：，即， 令，即，即直线过定点，故D正确. 故选：B. 8．C 解：由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为. 而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 要使直线与线段有公共点，只需. 故选 ：C. 9．AD 解：方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 10．ACD 解：由题意， 当三条直线和， 若时，可得； 当时，可得； 当时，则满足，无解； 当三条直线经过一个点时，把和的交点为， 代入直线中，可得，解得或， 综上可得，满足条件的为或或或. 故选：ACD. 11．BD 解：对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故选项A正确； 对于B：当时，与直线斜率乘积等于，两直线互相垂直，所以充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”，则可得或，所以不一定有，故必要性不成立， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选项B错误； 对于C：因为直线与直线相交， 所以两直线的斜率不相等，即，即， 由与消去得， 因为，所以，整理得且， 解得或，故选项C正确； 对于D：当过点且在轴和轴上截距都为时，所求直线方程为， 当过点且在轴和轴上截距相等不为时，设所求直线方程为，即，可得，所求直线的方程为， 综上，所求直线方程为或，故选项D错误. 故选：BD. 12． 解：联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 13． 解：根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为， 又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得， 故答案为：. 14．或或 解：由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ②当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ③当过与的交点时，不能构成三角形，此时： 联立与，得，解得， 所以与过点，将代入得：，解得； 综上：当或或时，不能构成三角形. 故答案为：或或. 15． 解：由题意得，根据角平分线的性质，关于的对称点一定在直线上， 设关于的对称点为，记，则是中垂线，于是，解得， 故，又，故直线方程为，于是和的交点为的坐标， 由，则，故， 则，. 故答案为：    16． 解：设，因，则. 因，，则重心坐标为. 设，则，则. 故重心轨迹方程为：. 故答案为：. 17．(1)； (2)或. 解：（1）联立直线与直线， 得到，解得：，则； （2）①当截距为0时，直线l过原点，设， 将代入，则，这时直线l为x－2y = 0； ②当直线l截距都不为0时，设， 将代入，则m = 3，故直线为． 综上，直线l的方程为：或. 18．(1) (2) 解：（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， ， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$