4.3 公式法 暑假巩固 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 4.3 公式法 暑假巩固 一、两个平方项是单项式 1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是(　　) A.1－a2 B.－x2－16 C.a2b2－m2n2 D.a2－9b2 2.下列各式中可用平方差公式分解因式的是（　　） A.-a2b2+16 B.-a2b2-16 C.a2b2+16 D.（ab+16）2 3.下列四个多项式：①-a2+b2；②-x2-y2；③1-（a-1）2；④m2-2mn+n2，其中能用平方差公式分解因式的有（　　） A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 4.若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是            ．（写出一个即可） 5.分解因式：4a2-16=            ． 6.分解因式：（x+y）（x-y）-3y2. 7.分解因式： （1）（x-1）2+2（x-5）； （2）2m（2m-3）+6m-1； （3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy. 二、两个平方项是一个单项式一个多项式 1.分解因式（2x+3）2-x2的结果是（　　） A.3（x2+4x+3） B.3（x2+2x+3） C.（3x+3）（x+3） D.3（x+1）（x+3） 2.已知多项式4x2-（y-z）2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是（　　） A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z 3.分解因式（a+1）2-4a2，结果正确的是（　　） A.（3a+1）（1-a） B.（a-2a+1）2 C.（a-1）4  D.（1-2a）（a2+1+2a） 4.分解因式：x2y2-9=　　　　　. 5.分解因式（2x+3）2-x2=______________． 6.请你从4a2，(x+y)2，1，9b2中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解. 7.分解因式(a+b)2-4a2. 三、用平方差公式求某些字母的值 1.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，则p，q的值依次为　(　　) A.-12，-9　 B.-6，9　　 C.-9，-9　 D.0，-9 2.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（　　） A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 3.x3-xy2有因式（x-y），那么另外的因式为（　　） A.x2+y2 B.（x-y）2 C.（x+y）（x-y） D.x（x+y） 4.若多项式4a2＋M能用平方差公式因式分解，则单项式M＝________.(写出一个即可) 5.若a＋2b＝3，a－2b＝2，则a2－4b2＝________. 6.如果a+b=5，a-b=3，求a2-b2的值. 7.求证：当n为整数时，多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 四、用完全平方公式分解因式 1.分解因式x2－2x＋1的最终结果是(　　) A.x(x－2)＋1 B.(x＋1)(x－2) C.(x－1)2 D.(x＋1)2 2.下列各式能用完全平方公式分解因式的有　(　　) ①4x2-4xy-y2；② x2+x+；③ -1-a-；④m2n2+4-4mn；⑤a2-2ab+4b2；⑥x2-8x+9. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　 D.4个 3.多项式a2+b2-4a+6b+18的　(　　) A.最大值为18 B.最小值为18 C.最小值为5　 D.最值不确定 4.分解因式：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝________. 5.分解因式：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝________. 6.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－x2＋4xy－4y2. 7.下面是某同学对多项式4x2y（x-y）+xy3进行因式分解的过程： 答案 解：4x2y（x-y）+xy3 =4x3y-4x3y2+xy3（第一步） =xy（4x2-4xy+y2）（第二步） =xy（4x+y）2（第三步） 回答下列问题： （1）该同学第一步到第二步运用了         ； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）判断该同学因式分解的结果是否正确？ 若正确，请回答第二步到第三步运用的公式是什么？ 若不正确，请你写出多项式4x2y（x-y）+xy3因式分解的完整过程． 五、完全平方公式与提公因式法 1.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是（　　） A.4xy（x-y）-x3 B.-x（x-2y）2 C.x（4xy-4y2-x2） D.-x（-4xy+4y2+x2） 2.把多项式3x3-12x2+12x分解因式，结果正确的是（　　） A.3x（x2-4x+4） B.3x（x-4）2 C.3x（x+2）（x-2） D.3x（x-2）2 3.若a＋b＋1＝0，则3a2＋3b2＋6ab的值是(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 4.分解因式：2a2－8a＋8＝________. 5.分解因式：－8a3b＋8a2b2－2ab3＝________. 6.分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 7.分解因式： (1)ax2＋2a2x＋a3； (2)－3x2＋6xy－3y2； (3)(x＋y)2－12x－12y＋36. 六、完全平方公式与平方差公式 1.下列各因式分解正确的是（　　） A.x2+2x-1=（x-1）2 B.-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） C.x3-4x=x（x+2）（x-2） D.（x+1）2=x2+2x+1 2.下列多项式因式分解错误的是（　　） A.am+bm=（a+b）m B.a2-b2=（a+b）（a-b） C.a2-2ab+b2=（a-b）2 D.4x2+4y2+8xy=（2x+2y）2 3.把多项式a4- 2a2b2+b4因式分解的结果为（ ） A.a2(a2-2b2)+b4 B.(a2-b2)2　 C.(a-b)4 D.(a+b)2(a-b)2 4.分解因式：x2+2xy+y2-4=　　　　. 5.分解因式：a2＋4ab＋4b2－1＝________. 6.先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2-2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式． 7.因式分解： (1)4x2y2-（x2+y2）2； (2)3x2－12xy＋12y2； (3)9x2(a－b)＋16y2(b－a)； (4)（x2-x）2-（1-x）2； (5)（y2-1）2-6（y2-1）+9； (6)（x2+1）2-4x2； (7)（x2-1）2+6（1-x2）+9； (8)（x2+25）2-100x2； (9)（x2+9）2-36x2. 七、分组分解法与其它因式分解法 1.把1-a2-b2-2ab分解因式，正确的分组为（　　） A.1-（a2+b2+2ab） B.（1-a2）-（b2-2ab） C.（1-2ab）+（-a2-b2） D.（1-a2-b2）-2ab 2.多项式x2-（y2-4y+4）分解因式结果正确的是（　　） A.（x+y+2）（x-y-2） B.（x+y-2）（x-y+2） C.（x+y-2）（x+y+2） D.（x-y+2）（x+y+2） 3.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A.（x2-2x）+（2y-xy） B.（x2-xy）+（2y-2x） C.（x2+2y）+（-xy-2x） D.（x2-2x）-（xy-2y） 4.分解因式：x2-y2+12y-36=               ． 5.分解因式：x-xy+y-1=               ． 6.分解因式： （1）m2-n2+6n-9； （2）（x+2y）x2+6（x+2y）x+9x+18y； （3）x2-2xy+y2-16； （4）xy2-2xy+2y-4； （5）x2+2xy+y2-c2； （6）b2（a-2）+2b-ab． 7.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b） =a（2-3b）-2（2-3b） =（2-3b）（a-2）. 解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b） =2（a-2）-3b（a-2） =（a-2）（2-3b）. 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （1）x2-a2+x+a； （2）ax+a2-2ab-bx+b2． 八、用十字相乘法分解因式 1.若x2+x-12=（x+p）（x+q），则p,q的值可能为（　　） A.p=3，q=4 B.p=-3，q=4 C.p=3，q=-4 D.p=-3，q=-4 2.若多项式x2-mx-28=（x+7）（x-4），则m的值为（　　） A.3 B.-3 C.2 D.-2 3.若多项式39x2+5x-14可分解成（ax+2）（13x-b），则2a-b的值是（　　） A.-1 B.13 C.1 D.-13 4.因式分解：x2-10x-24=                  ． 5.已知多项式2x2+bx+c分解因式的结果为2（x-3）（x+1），则b=     ，c=       ． 6.分解因式： （1）x2+2x-15； （2）m2+10mn-24n2； （3）x2-2x-8； （4）m2-4m-5； （5）x2+6x-16； （6）2x2+x-6； （7）2y2-y-10； （8）x2-5xy-24y2； （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8； （10）（a+1）（a-5）+8. 7.阅读下列材料，回答问题． （1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来答案解： x2+（p+q）x+pq =x2+px+qx+pq =（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q）． 因此，可以得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （2）利用（1）中的结论，分解因式： ①m2+7m-18； ②x2-2x-15； ③x2y2-7xy+10． 北师大版八年级下册 4.3 公式法 暑假巩固（参考答案） 一、两个平方项是单项式 1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是(　　) A.1－a2 B.－x2－16 C.a2b2－m2n2 D.a2－9b2 【答案】B 【解析】A项，1－a2＝(1＋a)(1－a)，不符合题意； B项，－x2－16＝－(x2＋16)，不能用平方差公式分解因式，符合题意； C项，a2b2－m2n2＝(ab＋mn)(ab－mn)，不符合题意； D项，a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)，不符合题意． 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 (　)2－(　)2的形式．简单说成“两数是平方，减号在中央．” 2.下列各式中可用平方差公式分解因式的是（　　） A.-a2b2+16 B.-a2b2-16 C.a2b2+16 D.（ab+16）2 【答案】A 【解析】A.-a2b2+16符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解，正确； B.-a2b2-16 的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误； C.a2b2+16的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误； D.（ab+16）2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误． 3.下列四个多项式：①-a2+b2；②-x2-y2；③1-（a-1）2；④m2-2mn+n2，其中能用平方差公式分解因式的有（　　） A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 【答案】B 【解析】①-a2+b2，③1-（a-1）2符合公式特点，能用平方差公式分解因式；②-x2-y2，④m2-2mn+n2不符合公式特点，不能用平方差公式分解因式． 4.若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是            ．（写出一个即可） 【答案】-1 【解析】令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），则k的值可以是-1． 5.分解因式：4a2-16=            ． 【答案】4（a+2）（a-2） 【解析】4a2-16=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）． 6.分解因式：（x+y）（x-y）-3y2. 【答案】解　（x+y）（x-y）-3y2 =x2-y2-3y2 =x2-4y2 =（x+2y）（x-2y）． 7.分解因式： （1）（x-1）2+2（x-5）； （2）2m（2m-3）+6m-1； （3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy. 【答案】解　（1）原式=x2-2x+1+2x-10=x2-9=（x+3）（x-3）； （2）原式=4m2-6m+6m-1=4m2-1=（2m+1）（2m-1）； （3）原式=x2-16y2=（x+4y）（x-4y）. 二、两个平方项是一个单项式一个多项式 1.分解因式（2x+3）2-x2的结果是（　　） A.3（x2+4x+3） B.3（x2+2x+3） C.（3x+3）（x+3） D.3（x+1）（x+3） 【答案】D 【解析】（2x+3）2-x2 =（2x+3-x）（2x+3+x）=（x+3）（3x+3）=3（x+3）（x+1）． 2.已知多项式4x2-（y-z）2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是（　　） A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z 【答案】D 【解析】原式=（2x+y-z）（2x-y+z），∴另一个因式是2x+y-z． 3.分解因式（a+1）2-4a2，结果正确的是（　　） A.（3a+1）（1-a） B.（a-2a+1）2 C.（a-1）4  D.（1-2a）（a2+1+2a） 【答案】A 【解析】（a+1）2-4a2 =（a+1-2a）（a+1+2a）=（3a+1）(1-a). 4.分解因式：x2y2-9=　　　　　. 【答案】(xy+3)(xy-3) 5.分解因式（2x+3）2-x2=______________． 【答案】3（x+3）（x+1） 【解析】（2x+3）2-x2=（2x+3-x）（2x+3+x）=3（x+3）（x+1）． 6.请你从4a2，(x+y)2，1，9b2中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解. 【答案】解　(答案不唯一) 4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)或(x+y)2-1=(x+y+1)(x+y-1)或 (x+y)2-4a2=(x+y+2a)(x+y-2a)或 (x+y)2-9b2=(x+y+3b)(x+y-3b)或 4a2-(x+y)2=[2a+(x+y)][2a-(x+y)]=(2a+x+y)(2a-x-y)或 9b2-(x+y)2=[3b+(x+y)][3b-(x+y)]=(3b+x+y)(3b-x-y)或 1-(x+y)2=[1+(x+y)][1-(x+y)]=(1+x+y)(1-x-y). 7.分解因式(a+b)2-4a2. 【答案】解　(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a). 三、用平方差公式求某些字母的值 1.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，则p，q的值依次为　(　　) A.-12，-9　 B.-6，9　　 C.-9，-9　 D.0，-9 【答案】D 【解析】(x-3y)(x+3y)= x2-9y2= x2+pxy+qy2，所以p=0，q=-9. 2.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（　　） A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 【答案】B 【解析】设两个连续奇数为2n+1，2n+3， 根据题意得（2n+3）2-（2n+1）2=（2n+3+2n+1）（2n+3-2n-1）=8（n+1）， 则k的值为8． 3.x3-xy2有因式（x-y），那么另外的因式为（　　） A.x2+y2 B.（x-y）2 C.（x+y）（x-y） D.x（x+y） 【答案】D 【解析】x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）， 则另外的因式为x（x+y）． 4.若多项式4a2＋M能用平方差公式因式分解，则单项式M＝________.(写出一个即可) 【答案】－4(答案不唯一) 【解析】答案不唯一．如－b2，－4等． 5.若a＋2b＝3，a－2b＝2，则a2－4b2＝________. 【答案】6 【解析】∵a2－4b2＝(a－2b)(a＋2b)， ∴a2－4b2＝2×3＝6. 6.如果a+b=5，a-b=3，求a2-b2的值. 【答案】解　∵a2-b2=（a+b）（a-b）， ∴当a+b=5，a-b=3时，原式=5×3=15． 7.求证：当n为整数时，多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 【答案】证明　原式＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n. ∵n为整数， ∴8n能被8整除， 即多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 四、用完全平方公式分解因式 1.分解因式x2－2x＋1的最终结果是(　　) A.x(x－2)＋1 B.(x＋1)(x－2) C.(x－1)2 D.(x＋1)2 【答案】C 2.下列各式能用完全平方公式分解因式的有　(　　) ①4x2-4xy-y2；② x2+x+；③ -1-a-；④m2n2+4-4mn；⑤a2-2ab+4b2；⑥x2-8x+9. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　 D.4个 【答案】C 【解析】①⑤⑥不符合完全平方式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式.②④符合完全平方式的特点，③提取“-”号后也符合完全平方式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解. 3.多项式a2+b2-4a+6b+18的　(　　) A.最大值为18 B.最小值为18 C.最小值为5　 D.最值不确定 【答案】C 【解析】a2+b2-4a+6b+18=(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5=(a-2)2+(b+3)2+5，因为(a-2)2≥0，(b+3)2≥0，所以(a-2)2+(b+3)2≥0，即无论a，b为何值，多项式a2+b2-4a+6b+18的值都不小于5，则多项式的最小值为5. 4.分解因式：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝________. 【答案】(3x－3y＋2)2 【解析】4＋12(x－y)＋9(x－y)2 ＝22＋2×2×3(x－y)＋[3(x－y)]2 ＝[2＋3(x－y)]2＝(3x－3y＋2)2. 5.分解因式：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝________. 【答案】(m＋n－3)2 6.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－x2＋4xy－4y2. 【答案】解　(1)原式＝(4x)2＋2×4x·3＋32 ＝(4x＋3)2. (2)原式＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝－(x－2y)2. 7.下面是某同学对多项式4x2y（x-y）+xy3进行因式分解的过程： 答案 解：4x2y（x-y）+xy3 =4x3y-4x3y2+xy3（第一步） =xy（4x2-4xy+y2）（第二步） =xy（4x+y）2（第三步） 回答下列问题： （1）该同学第一步到第二步运用了         ； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）判断该同学因式分解的结果是否正确？ 若正确，请回答第二步到第三步运用的公式是什么？ 若不正确，请你写出多项式4x2y（x-y）+xy3因式分解的完整过程． 【答案】解　（1）该同学第一步到第二步运用了提取公因式， （2）该同学因式分解的结果不正确， 因式分解的完整过程如下： 4x2y（x-y）+xy3 =4x3y-4x2y2+xy3 =xy（4x2-4xy+y2） =xy（2x-y）2． 五、完全平方公式与提公因式法 1.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是（　　） A.4xy（x-y）-x3 B.-x（x-2y）2 C.x（4xy-4y2-x2） D.-x（-4xy+4y2+x2） 【答案】B 【解析】4x2y-4xy2-x3 =-x（x2-4xy+4y2）=-x（x-2y）2. 2.把多项式3x3-12x2+12x分解因式，结果正确的是（　　） A.3x（x2-4x+4） B.3x（x-4）2 C.3x（x+2）（x-2） D.3x（x-2）2 【答案】D 【解析】原式=3x（x2-4x+4）=3x（x-2）2． 3.若a＋b＋1＝0，则3a2＋3b2＋6ab的值是(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 【答案】C 【解析】易得3a2＋3b2＋6ab＝3(a＋b)2， ∵a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1， ∴原式＝3×(－1)2＝3. 4.分解因式：2a2－8a＋8＝________. 【答案】2(a－2)2 5.分解因式：－8a3b＋8a2b2－2ab3＝________. 【答案】－2ab(2a－b)2 【解析】原式＝－2ab(4a2－4ab＋b2) ＝－2ab(2a－b)2. 6.分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 【答案】解　(1)原式＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2. (2)原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2. 7.分解因式： (1)ax2＋2a2x＋a3； (2)－3x2＋6xy－3y2； (3)(x＋y)2－12x－12y＋36. 【答案】解　(1)原式＝a(x2＋2ax＋a2)＝a(x＋a)2. (2)原式＝－3(x2－2xy＋y2)＝－3(x－y)2. (3)原式＝(x＋y)2－12(x＋y)＋36＝(x＋y)2－2·(x＋y)·6＋62＝(x＋y－6)2. 六、完全平方公式与平方差公式 1.下列各因式分解正确的是（　　） A.x2+2x-1=（x-1）2 B.-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） C.x3-4x=x（x+2）（x-2） D.（x+1）2=x2+2x+1 【答案】C 【解析】A. x2+2x-1无法因式分解，故A错误； B. -x2+（-2）2=（2+x）（2-x），故B错误； C. x3-4x=x（x+2）（x-2），故C正确； D.（x+1）2=x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误． 2.下列多项式因式分解错误的是（　　） A.am+bm=（a+b）m B.a2-b2=（a+b）（a-b） C.a2-2ab+b2=（a-b）2 D.4x2+4y2+8xy=（2x+2y）2 【答案】D 【解析】A. 原式=m（a+b），正确； B. 原式=（a+b）（a-b），正确； C. 原式=（a-b）2，正确； D. 原式=4（x+y）2，错误. 3.把多项式a4- 2a2b2+b4因式分解的结果为（ ） A.a2(a2-2b2)+b4 B.(a2-b2)2　 C.(a-b)4 D.(a+b)2(a-b)2 【答案】D 【解析】先运用完全平方公式，a4- 2a2b2+b4 = (a2-b2)2，再运用平方差公式，则有(a2-b2)2 = (a+b)2(a-b)2，注意因式分解要分解到不能分解为止． 4.分解因式：x2+2xy+y2-4=　　　　. 【答案】 (x+y+2)(x+y-2) 【解析】x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2). 5.分解因式：a2＋4ab＋4b2－1＝________. 【答案】(a＋2b＋1)(a＋2b－1) 【解析】原式=(a+2b)2-1=(a＋2b＋1)(a＋2b－1). 6.先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2-2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式． 【答案】解　x4+64 =x4+16x2+64-16x2 =（x2+8）2-16x2 =（x2+8）2-（4x）2 =（x2+8+4x）（x2+8-4x）． 7.因式分解： (1)4x2y2-（x2+y2）2； (2)3x2－12xy＋12y2； (3)9x2(a－b)＋16y2(b－a)； (4)（x2-x）2-（1-x）2； (5)（y2-1）2-6（y2-1）+9； (6)（x2+1）2-4x2； (7)（x2-1）2+6（1-x2）+9； (8)（x2+25）2-100x2； (9)（x2+9）2-36x2. 【答案】解　(1)原式＝(2xy)2-(x2+y2)2＝(2xy＋x2+y2)(2xy-x2-y2)=(x+y)2[-(x-y)2]=-(x+y)2(x-y)2. (2)原式＝3(x2－4xy＋4y2)＝3(x－2y)2. (3)原式 (9x2－16y2)(a－b)＝(a－b)(3x＋4y)(3x－4y)． (4)原式＝（x2-x+1-x）（x2-x-1+x） =（x2-2x+1）（x2-1） =（x-1）2（x+1）（x-1） =（x-1）3（x+1）． (5)原式==（y2-1-3）2 =（y2-4）2 =[（y+2）（y-2）]2 =（y+2）2（y-2）2． (6)原式=（x2+1+2x）（x2+1-2x） =（x+1）2（x-1）2. (7)原式=（x2-1）2-6（x2-1）+9 =（x2-1-3）2 =（x-2）2（x+2）2． (8)原式=（x2+25）2-（10x）2 =（x2+25+10x）（x2+25-10x） =（x+5）2（x-5）2. (9)原式=（x2+9+6x）（x2+9-6x） =（x+3）2（x-3）2. 七、分组分解法与其它因式分解法 1.把1-a2-b2-2ab分解因式，正确的分组为（　　） A.1-（a2+b2+2ab） B.（1-a2）-（b2-2ab） C.（1-2ab）+（-a2-b2） D.（1-a2-b2）-2ab 【答案】A 【解析】1-a2-b2-2ab =1-（a2+b2+2ab） =1-（a+b）2 =（1+a+b）（1-a-b）． 2.多项式x2-（y2-4y+4）分解因式结果正确的是（　　） A.（x+y+2）（x-y-2） B.（x+y-2）（x-y+2） C.（x+y-2）（x+y+2） D.（x-y+2）（x+y+2） 【答案】B 【解析】原式=x2-（y-2）2 =（x+y-2）（x-y+2）． 3.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A.（x2-2x）+（2y-xy） B.（x2-xy）+（2y-2x） C.（x2+2y）+（-xy-2x） D.（x2-2x）-（xy-2y） 【答案】C 【解析】 A．原式=（x2-2x）+（2y-xy）=x（x-2）-y（x-2）=（x-2）（x-y），故A不符合题意； B．原式=（x2-xy）+（2y-2x）=（x2-xy）-（2x-2y）=x（x-y）-2（x-y）=（x-y）（x-2），故B不符合题意； C．原式=（x2+2y）+（-xy-2x）无法进行分组分解，故C符合题意； D．原式=（x2-2x）-（xy-2y）=x（x-2）-y（x-2）=（x-2）（x-y），故D不符合题意． 4.分解因式：x2-y2+12y-36=               ． 【答案】（x+y-6）（x-y+6） 【解析】原式=x2-（y2-12y+36） =x2-（y-6）2 =（x+y-6）（x-y+6）． 5.分解因式：x-xy+y-1=               ． 【答案】（x-1）（1-y） 【解析】 x-xy+y-1=x（1-y）+y-1 =x（1-y）-（1-y） =（x-1）（1-y）． 6.分解因式： （1）m2-n2+6n-9； （2）（x+2y）x2+6（x+2y）x+9x+18y； （3）x2-2xy+y2-16； （4）xy2-2xy+2y-4； （5）x2+2xy+y2-c2； （6）b2（a-2）+2b-ab． 【答案】解　（1）原式=m2-（n2-6n+9） =m2-（n-3）2 =（m-n+3）（m+n-3）. （2）原式=（x+2y）x2+6（x+2y）x+9（x+2y） =（x+2y）（x2+6x+9） =（x+2y）（x+3）2. （3）原式=（x-y）2-16 =（x-y+4）（x-y-4）. （4）原式=xy（y-2）+2（y-2） =（y-2）（xy+2）. （5）原式=（x+y）2-c2 =（x+y+c）（x+y-c）． （6）原式=b2（a-2）-b（a-2） =b（a-2）（b-1）． 7.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b） =a（2-3b）-2（2-3b） =（2-3b）（a-2）. 解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b） =2（a-2）-3b（a-2） =（a-2）（2-3b）. 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （1）x2-a2+x+a； （2）ax+a2-2ab-bx+b2． 【答案】解　（1）x2-a2+x+a =（x2-a2）+（x+a） =（x-a）（x+a）+（x+a） =（x+a）（x-a+1）. （2）ax+a2-2ab-bx+b2 =（ax-bx）+（a2-2ab+b2） =x（a-b）+（a-b）2 =（a-b）（x+a-b）． 八、用十字相乘法分解因式 1.若x2+x-12=（x+p）（x+q），则p,q的值可能为（　　） A.p=3，q=4 B.p=-3，q=4 C.p=3，q=-4 D.p=-3，q=-4 【答案】B 【解析】∵x2+x-12=（x+4）（x-3）=（x+p）（x+q）， ∴p=-3，q=4或p=4，q=-3. 2.若多项式x2-mx-28=（x+7）（x-4），则m的值为（　　） A.3 B.-3 C.2 D.-2 【答案】B 【解析】∵（x+7）（x-4）=x2+3x-28，x2-mx-28=（x+7）（x-4）， ∴x2-mx-28=x2+3x-28， ∴m的值为-3． 3.若多项式39x2+5x-14可分解成（ax+2）（13x-b），则2a-b的值是（　　） A.-1 B.13 C.1 D.-13 【答案】A 【解析】由题意得39x2+5x-14=（ax+2）（13x-b）， ∴39x2+5x-14=13ax2-abx+26x-2b， ∴39x2+5x-14=13ax2+（26-ab）x-2b， ∴ 解得 ∴2a-b=2×3-7=6-7=-1． 4.因式分解：x2-10x-24=                  ． 【答案】（x-12）（x+2） 5.已知多项式2x2+bx+c分解因式的结果为2（x-3）（x+1），则b=     ，c=       ． 【答案】-4　　-6 【解析】∵2x2+bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6， ∴b=-4，c=-6. 6.分解因式： （1）x2+2x-15； （2）m2+10mn-24n2； （3）x2-2x-8； （4）m2-4m-5； （5）x2+6x-16； （6）2x2+x-6； （7）2y2-y-10； （8）x2-5xy-24y2； （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8； （10）（a+1）（a-5）+8. 【答案】解　（1）x2+2x-15=（x+5）（x-3）. （2）m2+10mn-24n2=（m+12n）（m-2n）. （3）x2-2x-8=（x-4）（x+2）. （4）m2-4m-5=（m+1）（m-5）. （5）x2+6x-16=（x+8）（x-2）. （6）2x2+x-6=（x+2）（2x-3）. （7）2y2-y-10=（2y-5）（y+2）. （8）x2-5xy-24y2=（x-8y）（x+3y）. （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8=（x2-2x-8）（x2-2x+1）=（x-4）（x+2）（x-1）2． （10）（a+1）（a-5）+8=a2-4a-5+8 =a2-4a+3 =（a-1）（a-3) . 7.阅读下列材料，回答问题． （1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来答案解： x2+（p+q）x+pq =x2+px+qx+pq =（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q）． 因此，可以得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （2）利用（1）中的结论，分解因式： ①m2+7m-18； ②x2-2x-15； ③x2y2-7xy+10． 【答案】解　①m2+7m-18=（m-2）（m+9）. ②x2-2x-15=（x+3）（x-5）. ③x2y2-7xy+10=（xy-2）（xy-5）． 学科网（北京）股份有限公司 $$