第1章 第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动-【创新教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教版2019）

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(2)周期：由T＝eq \f(2πr,v)得T＝ eq \f(2πm,qB) . 2．周期特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟速率v和半径r 无关 ． [基础自测] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子的轨道半径跟粒子的运动速率成正比．( √ ) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比．( × ) (3)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度增大而减小．( × ) 2．一质子在匀强磁场中运动，不考虑其他场力(重力)作用，下列说法正确的是(　　) A．可能做类平抛运动 B．一定做匀变速直线运动 C．可能做匀速直线运动 D．只能做匀速圆周运动 解析：C　[质子在匀强磁场中的运动形式有三种：当质子的速度方向与磁场方向平行时，质子不受洛伦兹力，做匀速直线运动；当质子的速度方向与磁场方向垂直时，质子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；当质子的速度方向与磁场方向有一定夹角(不垂直)时，质子做螺旋运动．综上可知，本题应选C.] 3．两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的(　　) A．轨迹半径增大，角速度增大 B．轨迹半径增大，角速度减小 C．轨迹半径减小，速度增大 D．轨迹半径减小，速度不变 解析：B　[带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，可得R＝eq \f(mv,qB)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，B减小，所以R增大．线速度、角速度的关系为v＝ωR，因为洛伦兹力不做功，故线速度v的大小不变，半径R增大，所以角速度减小，故B正确，A、C、D错误．] 轨道半径和周期公式的应用 ◆[探究导引] (1)如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转．不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场时，电子束的运动轨迹如何？ (2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，圆半径如何变化？ 提示　(1)运动轨迹为一条直线　轨迹为圆 (2)减小　增大 ◆[探究归纳] 1．分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，要紧抓洛伦兹力提供向心力，即qvB＝meq \f(v2,r). 2．同一粒子在同一磁场中，由r＝eq \f(mv,qB)知，r与v成正比；但由T＝eq \f(2πm,qB)知，T与速度无关，与半径大小无关． [例1]　(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍．两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子(　　) A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍 B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍 C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍 D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等 解析：AC　[设电子的质量为m，速率为v，电荷量为q，B2＝B，B1＝kB，则由牛顿第二定律得：qvB＝eq \f(mv2,R)① T＝eq \f(2πR,v)② 由①②得：R＝eq \f(mv,qB)，T＝eq \f(2πm,qB)，所以eq \f(R2,R1)＝k，eq \f(T2,T1)＝k，根据a＝eq \f(qvB,m)，ω＝eq \f(v,R)可知，eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,k)，eq \f(ω2,ω1)＝eq \f(1,k)，所以选项A、C正确，选项B、D错误．] ◆[跟进训练] 1．质量为m、电荷量为q的带电粒子垂直于磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做半径为R的匀速圆周运动，关于带电粒子所做的圆周运动，下列说法正确的是(　　) A．圆周运动的角速度与半径R成正比 B．圆周运动的周期与半径R成反比 C．圆周运动的加速度与半径R成反比 D．圆周运动的线速度与半径R成正比 解析：D　[带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则qvB＝meq \f(v2,R)，则线速度表达式为v＝eq \f(qBR,m)，与半径R成正比；角速度为ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(qB,m)，与半径R无关；周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2πm,qB)，与半径R无关；加速度为a＝eq \f(v2,R)＝eq \f(q2B2R,m2)，与半径R成正比．故选项D正确．] 2．有三束粒子，分别是质子(eq \o\al(1,1)H)、氚核(eq \o\al(3,1)H)和α(eq \o\al(4,2)He)粒子束，如果它们均以相同的速度垂直射入匀强磁场(磁场方向垂直于纸面向里)，下列图中能正确表示这三束粒子的运动轨迹的是(　　) 解析：C　[由粒子在磁场中运动的半径r＝eq \f(mv,qB)可知，质子、氚核、α粒子轨道半径之比r1∶r2∶r3＝eq \f(m1v,q1B)∶eq \f(m2v,q2B)∶eq \f(m3v,q3B)＝eq \f(m1,q1)∶eq \f(m2,q2)∶eq \f(m3,q3)＝1∶3∶2，所以三种粒子的轨道半径应该是质子最小，氚核最大，选项C正确．] 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 ◆[探究导引] 如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场左、 右边缘平行，磁场的宽度为d，正粒子射入 磁场的速度方向与左边缘夹角为θ，已知， 粒子质量为m、带电荷量为q，与磁场右侧 边界恰好相切．如何确定带电粒子做匀速圆 周运动的圆心？粒子做匀速圆周运动的半径 是多大？粒子射入磁场的速度是多大？ 提示　作入射方向(过入射点)和右侧边界(切点处)的垂线，两垂线的交点即为圆心．半径是r＝eq \f(d,1＋cos θ)，速度是v＝eq \f(Bdq,m1＋cos θ). ◆[探究归纳] 1．圆心的确定方法：两线定一点 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上． 如图甲所示，已知入射点P和出射点M的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心． (2)圆心一定在弦的中垂线上． 如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心． 2．求半径的方法 (1)根据半径公式r＝eq \f(mv,qB)求解． (2)根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2. (3)根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与水平方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝eq \f(d,sin θ). 3．粒子在磁场中运动时间的确定 (1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝eq \f(α,360°)T(或t＝eq \f(α,2π)T)． (2)当v大小一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(l,v)，l为带电粒子通过的弧长． [例2]　如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl　　　 B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl 解析：B　[若电子从a点射出，运动轨迹如图线①， 有qvaB＝meq \f(v\o\al(2,a),Ra) Ra＝eq \f(l,4) 解得va＝eq \f(qBRa,m)＝eq \f(qBl,4m)＝eq \f(kBl,4) 若电子从d点射出，运动轨迹如图线②， 有qvdB＝meq \f(v\o\al(2,d),Rd) Req \o\al(2,d)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Rd－\f(l,2)))2＋l2 解得vd＝eq \f(qBRd,m)＝eq \f(5qBl,4m)＝eq \f(5kBl,4) 选项B正确．] [规律总结] 处理带电粒子在磁场中运动问题的步骤 (1)画轨迹：即确定圆心，画出轨迹并通过几何方法求半径； (2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动的时间与周期相联系； (3)用规律：运用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式． ◆[跟进训练] 1.如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为eq \f(R,2).已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(　　) A.eq \f(qBR,2m) B.eq \f(qBR,m) C.eq \f(3qBR,2m) D.eq \f(2qBR,m) 解析： B　[带电粒子从距离ab为eq \f(R,2)处射入磁场，且射出时与射入时速度方向的夹角为60°，粒子运动轨迹如图，ce为射入速度所在直线，d为射出点，射出速度反向延长交ce于f点，磁场区域圆心为O，带电粒子所做圆周运动圆心为O′，则O、f、O′在一条直线上，由几何关系得带电粒子所做圆周运动的轨迹半径为R，由F洛＝Fn得qvB＝eq \f(mv2,R)，解得v＝eq \f(qBR,m)，选项B正确．] 2.如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，在直线上一点O沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6s后到达直线上另一点P，求： (1)粒子做圆周运动的周期； (2)磁感应强度B的大小； (3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度多大？ 解析： (1)作出粒子轨迹，如图所示． 由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°， 则eq \f(t,T)＝eq \f(300°,360°) 周期T＝eq \f(6,5)t＝eq \f(6,5)×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s. (2)洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，由牛顿第二定律得Bqv＝eq \f(mv2,R) 所以B＝eq \f(mv,qR)＝eq \f(m,q)ω＝eq \f(2πm,qT) ＝eq \f(2×3.14×1.8×10－16,2.0×10－9×1.8×10－6) T＝0.314 T. (3)由几何知识可知，半径R＝OP＝0.1 m 故粒子的速度v＝eq \f(BqR,m)＝eq \f(0.314×2.0×10－9×0.1,1.8×10－16)m/s＝3.49×105 m/s. 答案：(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T　 (3)3.49×105 m/s [易错点]　运用数学知识分析临界问题能力欠缺 [例]　如图所示，边长ab＝1.5 L、bc＝eq \r(3) L的矩形区域内存在着垂直于区域平面向里的匀强磁场，在ad边中点O处有一粒子源，可在区域平面内沿各方向发射速度大小相等的同种带电粒子．已知沿Od方向射入的粒子在磁场中运动的轨道半径为L，且经时间t0从边界cd离开磁场．不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A．粒子带负电 B．粒子可能从c点射出 C．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 D．粒子在磁场中运动的最长时间为2t0 [解析]　D　[不能根据轨迹与边界dc相切的临界条件，结合数学知识判断B项错误，而仅凭“可能”而错选B；不能由几何条件判断，当粒子从b点处射出时，在磁场中的运动轨迹对应的弦长最长，运动的时间最长，从而得不出D项正确的结论． 沿Od方向射入的粒子的运动轨迹如图所示，根据左手定则可知粒子带正电，选项A错误．设沿Od方向射入的粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，由几何关系可知sin θ＝eq \f(\f(bc,2),L).解得θ＝60°，根据题意得eq \f(60°,360°)T＝t0，解得粒子做匀速圆周运动的周期T＝6t0，选项C错误．当粒子轨迹与边界dc相切时，设切点与d点距离为x，由 几何关系得x2＋(L－eq \f(\r(3),2)L)2＝L2，解得x＝eq \r(\r(3)－\f(3,4))L<1.5 L，则粒子不会达到c点，选项B错误．由几何关系可以得到，粒子从b点处射出时，在磁场中的运动轨迹对应的弦长最长，运动的时间最长，如图所示，设此时粒子云霓轨迹对应的圆心角为α，所有粒子运动的轨迹半径相同，由几何关系得sineq \f(α,2)＝eq \f(\f(Ob,2),L)，Ob＝eq \r(3)L，解得α＝120°，则粒子在磁场中运动的最长时间为t＝eq \f(120°,360°)＝2t0，选项D正确．] [误区警示]　 1．最远临界距离的判断：作出临界轨迹，根据几何关系求出临界距离．本题的易错点之一是不会利用几何关系判断粒子与dc相切时切点的位置，而误认为粒子可以从c点射出． 2．最长运动时间的判断：当粒子在磁场中云霓轨迹为一劣弧时，弦越长，弧越长，运动时间越长．本题的另一个易错点是不会利用圆的性质，通过最长弦确定最长运动时间． ◆[课堂小结] 1. (半径公式的应用)如图所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　) A．沿路径a运动，轨迹是圆 B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大 C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小 D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小 解析：B　[由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由r＝eq \f(mv,qB)知，B减小，r越来越大，故电子的轨迹是a.故选B.] 2. (轨迹的判定)如图所示，带负电的粒子以速度v从离子源P处射出，若图中匀强磁场范围足够大(方向垂直纸面向里)，则带电粒子的可能轨迹是(　　) A．a　　　　　　 B．b C．c D．d 解析：D　[带负电的粒子向下运动，运用左手定则时四指指向向上，磁场的方向是向里的，根据左手定则可知，受到的洛伦兹力的方向向左，所以带电粒子的轨迹圆心在左侧，可能的轨迹是d.] 3．(带电粒子的圆周运动)两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子，a、b以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示．若不计粒子的重力，则下列说法正确的是(　　) A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长 解析：C　[粒子向右运动，b向上偏转，a向下偏转，根据左手定则可知，b带正电，a带负电，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝eq \f(mv2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，故运动轨迹半径较大的b粒子的速度较大，动能也较大，C正确；由公式F＝qvB可知，速度大的b粒子受到的洛伦兹力较大，B错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)，可知a、b做圆周运动的周期相同，则在磁场中偏转角较大的粒子运动时间较长，a粒子的偏转角较大，因此运动的时间较长，D错误．] 4. (带电粒子的圆周运动)如图所示，一个带负电的粒子以速度v由坐标原点射入磁感应强度为B的匀强磁场中，速度方向与x轴、y轴正方向均成45°角．已知该粒子带电荷量为q，质量为m，则该粒子通过x轴和y轴的坐标分别是多少？ 解析：由题知粒子带负电，根据左手定则可判断出带电粒子将沿顺时针方向运动，轨迹如图所示． 由qvB＝meq \f(v2,R)得R＝eq \f(mv,qB)，因射入时速度方向与x轴的正方向成45°角，由几何关系可知，带电粒子通过x轴时，转过了90°角，此时的横坐标为x＝eq \r(2)R＝eq \f(\r(2)mv,qB).同理可知，粒子经过y轴时，转过了270°，此时纵坐标为y＝－eq \r(2)R＝－eq \f(\r(2)mv,qB). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)mv,qB)，0))　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2)mv,qB))) 5. (带电粒子的圆周运动)一个重力不计的带电粒子，电荷量为q，质量为m，从坐标为(0，L)的a点平行于x轴射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，又从x轴上b点射出磁场，速度方向与x轴正方向夹角为60°，如图所示．试求： (1)带电粒子的速度大小； (2)粒子由a点运动到b点的时间． 解析：(1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，其运动的轨迹如图所示，由几何知识有eq \f(R－L,R)＝cos 60°＝eq \f(1,2)，即R＝2L 由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R) 解得v＝eq \f(2qBL,m). (2)粒子在磁场中的运动周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB) 设粒子由a运动到b的时间为t，由几何关系可得ab弧所对的圆心角为θ＝60°，则t＝eq \f(θ,360°)T 解得t＝eq \f(πm,3qB). 答案：(1)eq \f(2qBL,m)　(2)eq \f(πm,3qB) $$