第2章 第4节 自由落体运动-【创新教程】2025-2026学年高中物理必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教版2019）

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[知识点3]　自由落体运动规律　 1．自由落体运动实质上是初速度v0＝　0　，加速度a＝　g　的　匀加速直线　运动． 2．基本公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(速度公式：v＝　gt　.,位移公式：h＝　\f(1,2)gt2　.,位移速度关系式：v2＝　2gh　.)) [自我检测] 1. 思维辨析 (1)在空气中自由释放的物体做自由落体运动．( × ) (2)物体在真空中一定做自由落体运动．( × ) (3)自由释放的物体只在重力作用下一定做自由落体运动．( √ ) (4)在同一地点，轻重不同的物体自由落体加速度一样大．( √ ) (5)自由落体加速度的方向垂直地面向下．( × ) (6)自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动．( √ ) 2．基础理解 (1)“自由落体”演示实验装置如图所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内两个轻重不同的物体从顶部下落到底端，下列说法正确的是(　　) A．真空环境下，物体的重力变为零 B．重的物体加速度大 C．轻的物体加速度大 D．两个物体同时落到底端 解析：D　[真空情况下物体仍受重力作用，重力不为零，故A错误；轻重不同的物体在真空管中，只受重力，不受阻力，做自由落体运动，所以加速度相同，都等于重力加速度，故B、C错误；高度相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2可知运动时间相同，故D正确．] (2)请你根据下图漫画“洞有多深？”提供的情境，回答下列问题： ①他们依据　________________　 规律，估算洞的深度． ②请你对该方法进行评估： 该方法的优点：　________________　； 该方法的不足：　________________　. ③若石块自由下落的时间为3 s，估算洞的深度为　________　 m. 解析：①自由落体运动 ②该方法的优点： a．所使用的仪器设备简单； b．测量方法方便； c．g的取值熟悉； d．运算简便； 该方法的不足： a．测量方法粗略，误差较大； b．石块下落的初速度不为零，不是真正的自由落体运动； c．石块下落有空气阻力，会造成一定的误差； d．未考虑声音传播需要的时间． ③h＝eq \f(1,2)gt2＝45 m. 答案：①自由落体运动　②见解析　见解析　③45 自由落体运动的理解 ◆[探究导引] 在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快；在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛的下落快慢相同． (1)实验表明：只受重力作用时，物体下落快慢有什么规律？ (2)空气中的落体运动在什么条件下可看作自由落体运动？ 提示：(1)相同；(2)初速度为零，忽略空气阻力． ◆[探究归纳] 1．物体做自由落体运动的条件 (1)初速度为零； (2)除重力之外不受其他力的作用． 2．自由落体运动是一种理想化模型 (1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．(在地球上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动．) (2)当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动．如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动． 3．自由落体运动的特点 自由落体运动是初速度v0＝0，加速度a＝g的匀加速直线运动，它只是匀变速直线运动的特例． [特别提醒]　物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但下落的加速度与在地球表面下落的加速度不同． [例1]　关于自由落体运动，下列说法正确的是(　　) A．质量大的物体自由下落时的加速度大 B．雨滴下落的过程是自由落体运动 C．在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同 D．从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动 思路引导：根据自由落体运动的条件判断． [解析]　C　[自由下落的物体的加速度相同都是重力加速度g；雨滴下落的空气阻力不能忽略；从水平飞行着的飞机上释放的物体不是从静止开始下落即初速度不为零．故选C.] [规律方法]　物体在真空中下落的运动不一定是自由落体运动，因为初速度不一定为零． ◆[跟踪训练] 1.踢毽子是我国民间的一项体育游戏，被人们誉为“生命的蝴蝶”．近年来，踢毽子成为全民健身活动之一．毽子由羽毛和铜钱组成，在下落时总是铜钱在下羽毛在上，如图所示，对此分析正确的是(　　) A．铜钱重，所以总是铜钱在下羽毛在上 B．如果没有空气阻力，也总是出现铜钱在下羽毛在上的现象 C．因为空气阻力的存在，所以总是铜钱在下羽毛在上 D．毽子的自由下落是自由落体运动 解析：C　[羽毛受到的空气阻力与自身重力相差不多，对运动的影响很大，而羽毛又和铜钱具有相同的运动情况，故羽毛要受铜钱较大的拖动作用，即羽毛的运动主要是靠铜钱的带动，所以毽子下落时总是铜钱在下面拉着羽毛．铜钱重不是根本原因，A错误，C正确；如没有空气阻力，铜钱和羽毛的相对位置是随机的，B错误；可见空气阻力不能忽略，毽子不是自由落体运动，D错误．] 自由落体运动加速度 ◆[探究导引] 小球自由下落时的频闪照片如图所示，频闪仪每隔0.04 s闪光一次．如何根据下图的频闪照片求出重物的重力加速度？ 提示：可用下列两种方法求出重力加速度： (1)由vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)求出各点的瞬时速度，作出v－t图像，v－t图像是一条过原点的倾斜直线，斜率表示加速度． (2)由位移差公式Δx＝aT2计算加速度． ◆[探究归纳] 一、对自由落体运动加速度的理解 1．产生原因：地球上的物体受到地球的吸引力而产生的． 2．大小：与在地球上的纬度以及距地面的高度有关. 与纬度的关系 在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，即赤道处重力加速度最小，两极处重力加速度最大，但差别很小 与高度的关系 在地面上的同一地点，重力加速度随高度的增加而减小．但在一定的高度内，可认为重力加速度的大小不变，通常情况下取g＝9.8 m/s2或 g＝10 m/s2. 3.方向 ①方向竖直向下，不是垂直向下，也不是指向地球球心． ②由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同． 二、自由落体加速度的测量 1．利用打点计时器测重力加速度 (1)按图示连接好线路，并用手托重物将纸带拉到最上端． (2)安装打点计时器时要使两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力． (3)应选用质量和密度较大的重物．增大重力可使阻力的影响相对减小；增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小． (4)先接通电路再放开纸带．打完一条纸带后立刻断开电源． (5)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT2，求出重力加速度的大小． 2．频闪照相法 (1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置． (2)根据匀变速运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝eq \f(Δh,T2).也可以根据veq \f(t,2)＝eq \x\to(v)＝eq \f(x,t)，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝eq \f(v－v0,t)，也可求出重力加速度g. 3．滴水法 (1)让水滴一滴滴落到正下方的盘子里，调节阀门，直到清晰听到每一滴水滴撞击盘子的声音． (2)记录下N滴水滴下落的总时间为T，则一滴水滴下落的时间t＝eq \f(T,N). (3)用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h，利用h＝eq \f(1,2)gt2计算出重力加速度的值． [例2]　某同学用下图所示装置测定重力加速度(已知打点频率为50 Hz) (1)实验时下面的步骤先后顺序是　________　. A．释放纸带　　　　　　　 B．打开打点计时器 (2)打出的纸带如下图所示，可以判断实验时重物连接在纸带的　________　端．(选填“左”或“右”)． (3)已知纸带上记录的点为打点计时器打的点，打点计时器在打C点时物体的瞬时速度大小为　________　 m/s，所测得的重力加速度大小为　________　 m/s2. (4)若当地的重力加速度数值为9.8 m/s2，请列出测量值与当地重力加速度的值有差异的一个原因　_________________________　. 思路引导：根据用打点计时器测加速度的方法步骤作答． [解析]　(1)应先打开打点计时器，再释放纸带． (2)因纸带下落为加速运动，开始时相同时间位移小，则纸带左端与重物相连． (3)vc＝eq \f(xAE,4T)＝eq \f(12.52－3.14×10－2,4×0.02) m/s＝1.17 m/s a＝eq \f(xCE－xAC,4T2)＝9.75 m/s2 (4)因纸带下落过程中会与打点计时器产生摩擦力，并且有空气阻力，从而a<g. [答案]　(1)BA　(2)左　(3)1.17　9.75　(4)纸带与打点计时器的摩擦；空气阻力 ◆[跟踪训练] 2．学生课外实验小组使用如图所示的实验装置测量重力加速度大小．实验时，他们先测量分液漏斗下端到水桶底部的距离s；然后使漏斗中的水一滴一滴地下落，调整阀门使水滴落到桶底发出声音的同时，下一滴水刚好从漏斗的下端滴落；用秒表测量第1个水滴从漏斗的下端滴落至第n个水滴落到桶底所用的时间t. (1)重力加速度大小可表示为g＝　________　(用s、n、t表示)； (2)如果某次实验中，s＝0.90 m，n＝30，t＝13.0 s，则测得的重力加速度大小g＝　________　m/s2；(保留两位有效数字) (3)写出一条能提高测量结果准确程度的建议：　____________________　. 解析：(1)由s＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,n)))2，得g＝eq \f(2sn2,t2) (2)将已知量数据代入上式得g＝9.6 m/s2　(3)见答案． 答案：(1)eq \f(2sn2,t2)　(2)9.6　(3)水滴数n可适当多些；多次测量s及t 自由落体运动的规律与应用 ◆[探究导引] 如图所示，屋檐上水滴下落的过程可以近似地看作是自由落体运动． 请思考：(1)自由落体运动与匀变速直线运动存在什么关系？ (2)假定水滴从5 m高的屋檐上无初速滴落，水滴下落的重力加速度约为9.8 m/s2，你能求出水滴落到地面时的速度吗？ 提示：(1)自由落体运动是初速为零的匀加速直线运动． (2)v＝eq \r(2gh)＝9.9 m/s. ◆[探究归纳] 1．自由落体运动的基本公式 匀变速直线运动规律eq \o(――→,\s\up7(特例),\s\do5(　))自由落体运动规律 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(v＝v0＋at,x＝v0t＋\f(1,2)at2,v2－v\o\al(2,0)＝2ax)) eq \o(――→,\s\up17(v0＝0),\s\do15(a＝g)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(v＝gt,h＝\f(1,2)gt2,v2＝2gh)) 2．匀变速直线运动的其他规律，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的比例式同样适用于自由落体运动． [特别提醒]　若分析自由落体运动过程中的一段，则该过程是初速度不为零的匀变速直线运动，相应的速度公式和位移公式为v＝v0＋gt，h＝v0t＋eq \f(1,2)gt2. [例3]　屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图所示(g取10 m/s2)，问： (1)此屋檐离地面多高？ (2)滴水的时间间隔是多少？ 思路引导：如果将这5滴水的运动等效为一滴水的自由落体，并且将这一滴水运动的全过程分成时间相等的4段，设时间间隔为T，则这一滴水在0时刻，T s末、2T s末、3T s末、4T s末所处的位置，分别对应图示第5滴水、第4滴水、第3滴水、第2滴水、第1滴水所处的位置，据此可用多种方法作出解答． [解析]　解法一：利用基本规律求解 设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T，由h＝eq \f(1,2)gt2得 第2滴水的位移h2＝eq \f(1,2)g(3T)2① 第3滴水的位移h3＝eq \f(1,2)g(2T)2② 由题意知：h2－h3＝1 m 由①②③解得：T＝0.2 s，h＝3.2 m 解法二：用比例法求解 (1)由于初速为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)，据此令相邻两水滴之间的间距从上到下依次是x0∶3x0∶5x0∶7x0.(如图) 显然，窗高为5x0，即5x0＝1 m，得x0＝0.2 m 屋檐总高x＝x0＋3x0＋5x0＋7x0＝16x0＝3.2 m (2)由x＝eq \f(1,2)gt2知，滴水时间间隔为 T＝eq \r(\f(2x0,g))＝eq \r(\f(2×0.2,10)) s＝0.2 s 解法三：用平均速度求解 (1)设滴水间隔为T，则雨滴经过窗子过程中的平均速度为eq \x\to(v)＝eq \f(x′,T)＝eq \f(1 m,T) 由vt＝gt知，雨滴下落2.5T时的速度为vt＝2.5gT 由于eq \x\to(v)＝vt，故有eq \f(1 m,T)＝2.5gT，解得T＝0.2 s (2)x＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m 答案：(1)3.2 m　(2)0.2 s [规律方法]　运动学问题的求解一般会有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律． ◆[跟踪训练] 3．如图是用频闪周期为Δt的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片． (1)在下落过程中的任意时刻，羽毛的运动状态与苹果　________　(选填“是”或“否”)相同的． (2)关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是　________　(填选项前的字母)． A．一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶4∶9 B．一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5 C．苹果下落的加速度大小为eq \f(x3－x1,2Δt2) D．羽毛下落的加速度大小为eq \f(2x2,Δt2) 解析：虽然羽毛与苹果均做自由落体，但不知开始下落位置，所以不能直接用初速为零的匀变速直线运动的比例关系，选项A、B错误；由Δx＝aT2得，a＝eq \f(x3－x1,2Δt2)，选项C正确，选项D错误． 答案：(1)是　(2)C ◆[课堂小结] 易错点：对两个先后下落的物体的运动关系分析不清 [案例]　(多选)四川乐山大佛开凿于唐代，历时约90年，通高71米．雨天水滴从顶上自由下落(时间间隔均为1 s)，不考虑一切阻力，则在落地之前，空中先后滴下的两滴水滴(　　) A．距离始终不变　　 　　 B．距离越来越大 C．速度差始终不变 D．速度差越来越大 [错解]　AD [错因分析]　错选A项的同学认为水滴均做自由落体运动，运动状态相同，距离不变；实际上先下落的速度始终大于后下落水滴的速度，水滴间的距离越来越大；错选D项的同学考虑到先下落的水滴的速度大于后下落的水滴的速度，从而想当然认为两水滴的速度差越来越大． [解析]　自由落体运动问题的求解有多种方法，这其中包括灵活选取参考系法，比如选另一个也做自由落体运动的物体做参考系，则两球的运动均为匀速直线运动，故两水滴的速度差Δv不变，两水滴的距离Δx＝Δv·t越来越大． 对于本题，若选用常规解法，则由h＝eq \f(1,2)gt2得h甲＝eq \f(1,2)gt2，h乙＝eq \f(1,2)g(t－1 s)2，Δh＝h甲－h乙＝eq \f(1,2)gt2－eq \f(1,2)g(t－1)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(gt－\f(1,2)g))m，故两水滴的距离在下落过程中越来越大，A错，B对．由v＝gt得v甲＝gt，v乙＝g(t－1)，则Δv＝v甲－v乙＝gt－g(t－1)＝g(m/s)，故两水滴的速度差始终不变，C对，D错． [答案]　BC [素养警示]　两物体先后做自由落体运动，其加速度相同，但后下落的物体开始下落时，先下落的物体已具有速度v0＝gΔt，在此后的过程中相对速度Δv＝v0＝gΔt，相对位移Δx＝Δv·t＝v0t，即先下落的物体相对后下落的物体做匀速直线运动，此关系用v－t图像表示如图所示． 1．(对自由落体运动的理解)小明摇动苹果树，从同一高度有一个苹果和一片树叶同时从静止下落，发现苹果先落地，则以下说法正确的是(　　) A．苹果和树叶的运动都是自由落体运动 B．苹果和树叶的运动都能看成自由落体运动 C．苹果的运动可以近似看成自由落体运动，树叶的运动则不能看成自由落体运动 D．假如地球上没有空气，则苹果和树叶也不会同时落地 解析：C　[苹果和树叶都受重力和空气阻力，但空气阻力相对苹果的重力来说很小，可以忽略不计，故苹果的运动可以看做自由落体运动，而树叶的运动不能看做自由落体运动，故A、B错误，C正确；假如地球上没有空气，苹果和树叶都只受重力，都做自由落体运动，同时落地，故D错误．] 2．(多选)(自由落体运动规律)关于自由落体运动，下列说法中正确的是(　　) A．它是v0＝0、a＝g、方向竖直向下的匀加速直线运动 B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5 C．在开始连续的三个1 s末的速度之比是1∶2∶3 D．从开始运动到下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为1∶2∶3 解析：ABC　[由自由落体运动的性质可知A正确；由自由落体运动的比例关系式知B、C正确；由比例关系式知，从开始运动到下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为：1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，故D错误．] 3．(自由落体运动规律的应用)晓筱同学在一次观看跳水比赛时，想到一个问题：水池的水至少要多深，才能保证运动员的安全？他做了如下假设：比赛时，运动员在距水面10 m的跳台向上跳起，到达最高点时重心离跳台约1.25 m．然后自由下落；忽略空气阻力，将运动员看作质点，其在水中做减速直线运动；上网查得平均加速度大小为25 m/s2，g取10 m/s2.请你帮晓筱计算： (1)运动员落至水面时的速度； (2)为了避免运动员与池底碰撞，水池的最小水深． 解析：(1)由题意知运动员从跳台至水面做自由落体运动，由H＋h＝eq \f(1,2)gt2且v＝gt， 得：v＝eq \r(2gH＋h)，将数据代入解得v＝15 m/s. (2)运动员末速度为0，设水池的最小水深为H0，则0－v2＝2aH0，解得H0＝4.5 m. 答案：(1)15 m/s　(2)4.5 m 4．(重力加速度g的测量)图中甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50 Hz. (1)甲、乙两图相比较，哪个图所示的装置更合理？ (2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5……经测量，第15至第17点间的距离为11.70 cm，第1至第16点间距离为43.88 cm，则打下第16个点时，重物下落的速度大小为　________　 m/s，测出的重力加速度值为g＝　________　 m/s2(要求保留三位有效数字)． 解析：(1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力，又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理． (2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝eq \f(x,2T)≈2.93 m/s，又根据2gH＝v2， g＝eq \f(v2,2H)＝eq \f(2.932,2×43.88×10－2) m/s2≈9.78 m/s2. 答案：(1)甲图　(2)2.93　9.78(±0.02均可) 5．(综合应用)某电视剧制作中心要拍摄一特技动作，要求特技演员从高80 m的大楼楼顶自由下落到行驶的汽车上，若演员开始下落的同时汽车从60 m远处由静止向楼底先匀加速运动3 s，再匀速行驶到楼底，为保证演员能安全落到汽车上．(不计空气阻力，人和汽车看做质点，g取10 m/s2)求： (1)汽车开到楼底的时间； (2)汽车匀速行驶的速度； (3)汽车匀加速运动时的加速度． 解析：(1)人做自由落体运动，所以h＝eq \f(1,2)gt2 解得：t＝ eq \r(\f(2h,g))＝ eq \r(\f(2×80,10)s)＝4 s 所以汽车运动的时间也为4 s. (2)(3)因为汽车匀加速时间为t1＝3 s 所以汽车匀速运动的时间为t2＝t－t1＝1 s 匀加速位移为s1＝eq \f(1,2)at2 匀速运动速度为：v＝at1 匀速运动位移为s2＝vt2 s1＋s2＝60 m 解得：a＝8 m/s2，v＝24 m/s. 答案：(1)4 s　(2)24 m/s　(3)8 m/s2 ►[备选答案] 提示：将以下备选答案前的字母填入左边合适位置． A．2ax B.eq \f(xn＋xn－1,2T) C．加速度 D．v0t＋eq \f(1,2)at2 E．v0＋at F．2gh G.eq \f(v0＋v,2) H．aT2 ►[答案校对] C　E　D　A　G　H　F　B [专题1]　解决匀变速直线运动问题的常用方法 1．匀变速直线运动规律公式间的关系 2．常用解题方法 常用方法 规律特点 一般公式法 v＝v0＋at，x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，v2－veq \o\al(2,0)＝2ax 使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负 平均速度法 eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)，对任何性质的运动都适用； eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动 中间时刻速度法 veq \f(t,2)＝eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)(v0＋v)，适用于匀变速直线运动 比例法 对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解 逆向思维法 把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看作反向的初速度为0的匀加速直线运动 图像法 应用v－t图像，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图像定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解 [例1]　物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端eq \f(3,4)l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间． [解析]　法一：逆向思维法 物体向上匀减速冲上斜面 相当于向下匀加速滑下斜面 故xBC＝eq \f(at\o\al(2,BC),2)，xAC＝eq \f(at＋tBC2,2)，又xBC＝eq \f(xAC,4) 由以上三式解得tBC＝t. 法二：基本公式法 因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得 veq \o\al(2,0)＝2axAC　① veq \o\al(2,B)＝veq \o\al(2,0)－2axAB　② xAB＝eq \f(3,4)xAC　③ 由①②③式解得vB＝eq \f(v0,2)　④ 又vB＝v0－at　⑤ vB＝atBC　⑥ 由④⑤⑥式解得tBC＝t. 法三：比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为 x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1) 因为xCB∶xBA＝eq \f(xAC,4)∶eq \f(3xAC,4)＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t. 法四：中间时刻速度法 利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，eq \o(v,\s\up6(－))AC＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(v0,2)，又veq \o\al(2,0)＝2axAC，veq \o\al(2,B)＝2axBC，xBC＝eq \f(xAC,4).由以上三式解得vB＝eq \f(v0,2).可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t. 法五：图像法 根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图像，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得eq \f(S△AOC,S△BDC)＝eq \f(CO2,CD2)，且eq \f(S△AOC,S△BDC)＝eq \f(4,1)，OD＝t，OC＝t＋tBC. 所以eq \f(4,1)＝eq \f(t＋tBC2,t\o\al(2,BC))，解得tBC＝t. 法六：时间比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))． 现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过 BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(eq \r(2)－1)tx，tDE＝(eq \r(3)－eq \r(2))tx，tEA＝(2－eq \r(3))tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t. [答案]　t [总结提升]　匀变速直线运动问题的解题步骤 (1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向． (2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图． (3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程． (4)统一单位，解方程求未知量． (5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论. ►[跟踪训练] 1．(2019·全国卷Ⅰ，18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个eq \f(H,4)所用的时间为t1，第四个eq \f(H,4)所用的时间为t2.不计空气阻力，则eq \f(t2,t1)满足(　　) A．1＜eq \f(t2,t1)＜2　　　　　　 B．2＜eq \f(t2,t1)＜3 C．3＜eq \f(t2,t1)＜4 D．4＜eq \f(t2,t1)＜5 解析：C　[由逆向思维法可知，运动员竖直起跳的过程可看成初速度为零的匀加速运动，根据连续相等位移所用时间之比可得：eq \f(t2,t1)＝eq \f(1,2－\r(3))＝3.73，故C对，A、B、D错．] [专题2]　运动图像与追及相遇问题的综合问题 1．应用运动图像的三点注意 (1)无论是x－t图像还是v－t图像都只能描述直线运动． (2)x－t图像和v－t图像都不表示物体运动的轨迹． (3)x－t图像和v－t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定． 2．应用运动图像解题“六看” x－t图像 v－t图像 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等 [例2]　(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是(　　 ) A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前 C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大 [解析]　BD　[本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图像切线斜率表示加速度，可以分析出C错误，D正确．] [方法总结]　运用运动图像解题的技巧 ►[跟踪训练] 2．A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移－时间图像，乙图是B物体的速度－时间图像，根据图像，下列说法正确的是(　　 ) A．运动过程中，A、B两物体相遇一次 B．运动过程中，A、B两物体相遇两次 C．A、B两物体最远距离是20 m D．6 s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍 解析：A　[在0～2 s内，A的位移为：xA1＝40 m，B的位移为：xB1＝eq \f(10×2,2) m＝10 m，知B没有追上A.在2～4 s内，A静止，B继续沿原方向运动，通过的位移为：xB2＝10×2 m＝20 m，t＝4 s末B还没有追上A.在4～6 s内，A返回，位移为：xA2＝－40 m，t＝6 s返回原出发点．B的位移为：xB3＝eq \f(10×2,2) m＝10 m，则在0～6 s内B的总位移为：xB＝40 m，可知，A、B两物体在4～6 s内相遇一次，故A正确，B错误；t＝2 s时，A、B两物体相距最远，最远距离为：s＝xA1－xB1＝30 m，故C错误；6 s内，A物体的位移为0，平均速度为0，B物体的平均速度为：eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)＝eq \f(40,6) m/s＝eq \f(20,3) m/s，故D错误．] 3．(2018·全国卷Ⅲ，18)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是(　　) A．在t1时刻两车速度相等 B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等 C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等 D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等 解析：CD　[x－t图像的斜率为速度的大小，t1时刻k甲＜k乙，所以v甲＜v乙，则A错；0～t1时间内，x乙＝x1，x甲＜x1，则x甲＜x乙，则B错；t1～t2时间内，x甲＝x乙＝x2－x1，则C正确；t1～t2时间内，存在一点k乙＝k甲，则D正确．] [专题3]　“纸带法”测速度和加速度 常用“位移差”法判断物体的运动情况，即确定纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.由纸带求物体运动加速度的方法 1．利用“逐差法”求加速度：若为偶数段，假设为6段，则a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，a3＝eq \f(x6－x3,3T2)，然后取平均值，即a＝eq \o(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2＋a3,3)；或由a＝eq \f(x4＋x5＋x6－x1＋x2＋x3,9T2)直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段，即a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，然后取平均值，即eq \o(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2,2)；或由a＝eq \f(x4＋x5－x1＋x2,6T2)直接求得，这样所给的数据利用率高，提高了精确度． 2．图像法：先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)，求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v－t图像，图线的斜率表示物体运动的加速度，即a＝eq \f(Δv,Δt). [例3]　某同学用如图1所示的装置来研究自由落体运动是什么性质的运动．图2是实验中利用打点计时器记录自由落体运动的轨迹时，得到的一条纸带，纸带上的点是从放手开始打下的连续的计数点．两点之间的距离，s1＝9.6 mm，s2＝13.4 mm，s3＝17.3 mm，s4＝21.1 mm，相邻两计数点的时间间隔为T.电源频率为50 Hz. (1)下列说法中正确的是　________　. A．电火花打点计时器用的是220 V交流电源 B．实验中使用秒表测量时间 C．实验时应先由静止释放纸带，然后赶紧接通电源 D．求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力 (2)通过对纸带的分析，你认为自由落体运动是做　______　(填“匀速”或“变速”)运动．你的判断依据是：　______________________　. (3)根据纸带上的数据，用逐差法求加速度的表达式为a＝　____________　(用已知物理量符号表示)，加速度大小a＝　________　 m/s2(保留两位有效数字)． (4)打点计时器打下F点，求物体在F点的速度公式vF＝　__________　(用已知物理量符号表示)，大小为vF＝　________　m/s(保留两位有效数字)． [解析]　(1)电火花打点计时器用的是220 V交流电源，故A正确；打点计时器可以直接记录时间，不需秒表，故B错误；实验时应先接通电源，后释放纸带，故C错误；求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力，使得加速度小于g，故D正确． (2)在相等时间内，纸带的位移越来越大．所以纸带做变速运动． (3)由Δx＝aT2得，a1＝eq \f(s3－s1,2T2)，a2＝eq \f(s4－s2,2T2)，则a＝eq \f(a1＋a2,2)＝eq \f(s3＋s4－s1＋s2,4T2).代入数据得，a≈9.6 m/s2. (4)F点的瞬时速度等于EG间的平均速度，所以vF＝eq \f(s3＋s4,2T)，代入数据得，vF＝0.96 m/s. [答案]　(1)AD　(2)变速　相同时间内物体下落的位移越来越大　(3)eq \f(s3＋s4－s1＋s2,4T2)　9.6　(4)eq \f(s3＋s4,2T)　0.96 [思路点拨]　 (1)电火花计时器使用的是220 V的交流电源，打点计时器每隔0.02 s打一个点，可以直接读出两点的时间．做实验时，应先接通电源，后释放纸带． (2)通过相等时间内的位移判断自由落体运动的性质． (3)根据Δx＝aT2，求加速度，a1＝eq \f(s3－s1,2T2)，a2＝eq \f(s4－s2,2T2)，然后求出加速度的平均值． (4)某段时间内平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，根据这一推论求出F点的速度． ►[跟踪训练] 4．(2020·江苏卷，11)疫情期间“停课不停学”，小明同学在家自主开展实验探究．用手机拍摄物体自由下落的视频，得到分帧图片，利用图片中小球的位置来测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示． 图1 (1)家中有乒乓球、小塑料球和小钢球，其中最适合用作实验中下落物体的是　____________　. (2)下列主要操作步骤的正确顺序是　____________　.(填写各步骤前的序号) ①把刻度尺竖直固定在墙上 ②捏住小球，从刻度尺旁静止释放 ③手机固定在三角架上，调整好手机镜头的位置 ④打开手机摄像功能，开始摄像 (3)停止摄像，从视频中截取三帧图片，图片中的小球和刻度如图2所示．已知所截取的图片相邻两帧之间的时间间隔为eq \f(1,6) s，刻度尺的分度值是1 mm，由此测得重力加速度为　__________　 m/s2. 图2 (4)在某次实验中，小明释放小球时手稍有晃动，视频显示小球下落时偏离了竖直方向．从该视频中截取图片，　____________　(选填“仍能”或“不能”)用(3)问中的方法测出重力加速度． 解析：(1)要测量当地重力加速度需要尽量减小空气阻力的影响，所以密度大体积小的小钢球最适合；(2)要完成实验首先应该将刻度尺竖直固定在墙上，安装好三脚架，调整好手机摄像头的位置；因为下落时间很短，所以一定要先打开摄像头开始摄像，然后再将小球从刻度尺旁静止释放，故顺序为①③④②；(3)由三张图片读出小球所在位置的刻度分别为2.50 cm，26.50 cm,77.20 cm；小球做自由落体运动，根据Δx＝gT2可得g＝eq \f(Δx,T2)＝ eq \f(77.20－26.50×10－2－26.50－2.50×10－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( \f(1,6)))2)m/s2＝9.61 m/s2； (4)因为就算小球偏离了竖直方向，但是小球在竖直方向上的运动依然是自由落体运动，对实验结果无影响，故仍能用前面的方法测量出重力加速度． 答案：(1)小钢球　(2)①③④②　(3)9.61(9.5～9.7)　(4)仍能 $$