第2章 第6节 受迫振动 共振-【创新教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教版2019）

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(1)定义：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做受迫振动的　振幅达到最大值　的现象． (2)条件：驱动力频率　等于　系统的固有频率． (3)特征：共振时受迫振动的　振幅　最大． (4)共振曲线：如图所示．表示受迫振动的　振幅A　与　驱动力频率f　的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率． [自我检测] 1．思维辨析 (1)固有频率由系统本身决定．( √ ) (2)阻尼振动的频率不断减小．( × ) (3)阻尼振动的振幅不断减小．( √ ) (4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率．( × ) (5)驱动力频率越大，振幅越大．( × ) 2．基础理解 (1)(多选)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中(　　) A．振幅越来越小，周期也越来越小 B．振幅越来越小，周期不变 C．通过某一位置时，机械能减小 D．机械能不守恒，周期不变 解析：BCD　[单摆做阻尼振动时，振幅会减小，机械能减小，振动周期不变，故选项B、C、D对，A错．] (2)(多选)下列振动，不属于受迫振动的是(　　) A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动 B．打点计时器接通电源后，振针的振动 C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动 D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动 解析：ACD　[受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B是受迫振动．] 振动中的能量损失 ◆[探究导引] 情景设置： 探究问题： (1)周期性的驱动力会使振子如何振动？ (2)撤掉外力后，振子的振动发生怎样的变化？ 提示：(1)使振子周期性振动． (2)撤去外力后，振子在振动过程中由于克服阻力做功，振动强度逐渐减弱，振幅越来越小． ◆[探究归纳] 1．固有振动和固有频率 如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率． 系统的固有频率由系统本身的特征决定，与振幅大小无关． 2．阻尼振动 (1)定义：振幅逐渐减小的振动，叫作阻尼振动． (2)原因：当振动系统受到阻力的作用时，即振动受到了阻尼时，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来．其振动图像如图所示． 3．对阻尼振动的理解 (1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定． (2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快． (3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．如用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变． (4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理． 4．无阻尼振动(等幅振动) 如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保持不变，称为无阻尼振动． [例1]　(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是(　　) A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能 B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能 C．单摆振幅减小，频率也随着减小 D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变 [解析]　AD　[单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故选项A正确，选项B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确．] [规律方法]　理解阻尼振动要从两个方面入手：一是从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能(或势能)变小；二是从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变． ◆[跟进训练] 1．(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是(　　) A．摆球在M时刻的动能等于N时刻的动能 B．摆球在M时刻的势能等于N时刻的势能 C．摆球在M时刻的机械能等于N时刻的机械能 D．摆球在M时刻的机械能大于N时刻的机械能 解析：BD　[单摆做阻尼振动，因此摆球机械能不断减少，选项D正确，C错误；由题图又看出M、N两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，摆球势能相同，选项B正确；因摆球机械能越来越小，所以摆球在N时刻动能比M时刻动能小，选项A错误．] 受迫振动和共振 ◆[探究导引] 情景设置：和尚的心病 唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨乐器——磬，奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣，使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床．一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧 虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声．和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了．和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈． 问题：磬为什么会不敲自鸣呢？ 提示：这是共振引起的一种现象．磬的频率偶然地和钟的频率一样，因此每当钟响时，磬也因共振而发出嗡嗡之声． ◆[探究归纳] 1．受迫振动 系统在驱动力作用下的振动，叫作受迫振动．如收音机喇叭纸盆的振动、钟表的摆动、洗衣机工作时机壳的振动等都是受迫振动． 2．受迫振动的周期和频率 系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于周期性驱动力的频率，跟系统的固有频率无关． 3．共振 振动系统做受迫振动时，驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫作共振． 注意：固有频率是振动系统不受外力作用时的振动频率． 4．发生共振的条件 驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f0. 5．共振曲线 如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率f.纵坐标为做受迫振动系统的振幅A. 共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动系统振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大． 6．对共振条件的理解 (1)从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大． (2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而振幅达到最大． [例2]　(多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后(　　) A．其他各摆振动周期跟A摆相同 B．其他各摆振动的振幅大小相等 C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大 D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小 思路点拨：解答本题关键把握两点： (1)5个单摆中，由A摆摆动从而带动其它4个单摆做受迫振动，则受迫振动的频率等于A摆摆动的频率．(2)做受迫振动的单摆的固有频率等于驱动力的频率时出现共振、振幅最大． [解析]　ACD　[A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同．驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝eq \f(1,TA)＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,l))，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系： fB＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,0.5l))≈1.41fA，fC＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,1.5l))≈0.82fA， fD＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,2l))≈0.71fA，fE＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,l))＝fA. 可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小．] [规律方法]　受迫振动与共振的关系 受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率，但驱动力的频率越接近物体的固有频率，振动的振幅越大，相等时振幅最大．在处理实际问题时要分清振动的类别，注意区分固有频率、受迫振动的频率和驱动力的频率． ◆[跟进训练] [多维训练1]　受迫振动 2．(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动．已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是(　　) A．7个摆的固有频率都相同 B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同 C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大 D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大 解析：BC　[7个摆的摆长不完全相同，固有频率不完全相同，选项A错误；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B正确；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，振幅最大，选项C正确，D错误．] [多维训练2]　共振现象 3．(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是(　　) A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线 B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4 C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的 解析：ABC　[受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可以得到单摆固有频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,l))，根据图像中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．图像中振幅最大处对应频率应与该单摆的固有频率相等，从图像上可以看出， 固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,l))可知，g越大，f也越大，所以gⅡ＞gⅠ，又因为g地＞g月，可以推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，所以A正确；若两次受迫振动在地球上同一地点进行，g相同，摆长长的f小，且有eq \f(fⅠ,fⅡ)＝eq \f(0.2,0.5)＝eq \r(\f(lⅡ,lⅠ)).所以lⅠ∶lⅡ＝25∶4，B正确；由地面上的受迫振动共振图线，可知fⅡ＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,lⅡ))＝0.5 Hz，g＝9.8 m/s2，可以计算出lⅡ＝1 m，所以C正确，D错误．] 简谐运动、阻尼振动、受迫振动及共振的比较 ◆[探究归纳] 比较项目 振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 共振 受力情况 不受阻力作用 受到阻力作用 受阻力和驱动力作用 受阻力和驱动力作用，且T驱＝T固 振幅 振幅不变 振幅会越来越小 稳定后振幅不变 振幅最大 振动周期 或频率 由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率 由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率 由驱动力周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或f驱＝f固 振动图像 形状不确定 形状不确定 振动能量 振动物体的机械能不变 振动物体的机械能减少 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 实例 弹簧振子的振动 用锤敲锣，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，锣面的振幅越来越小，但音调不变 钟摆的摆动 共振筛、共振转速计等 [例3]　如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10) 思路点拨：共振时，振幅最大，此时驱动力的频率等于固有频率． [解析]　由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝eq \f(1,2π) eq \r(\f(g,l))，所以l＝eq \f(g,4π2f2)，代入数据解得l＝1 m．由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm.设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \o\al(2,max)＝mgh，又h＝l(1－cos θ)，当θ很小时，1－cos θ＝2sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(A\o\al(2,max),2l2)，解得vmax＝eq \f(Amax,l) eq \r(gl)＝0.25 m/s.摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝geq \f(Amax,l)，代入数据解得amax＝0.8 m/s2. [答案]　1 m　8 cm　0.25 m/s　0.8 m/s2 ◆[跟进训练] 4．物体做受迫振动，驱动力的频率小于物体的固有频率，则当驱动力的频率逐渐增大的过程中，物体的振幅将(　　) A．增大　　　　　　　　 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 解析：C　[当驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，系统发生共振，振幅最大，当f＜f0时，随f的增大，振幅增大，当f＞f0时，随f的增大，振幅减小，如图所示．由于驱动力的频率小于物体的固有频率，因此当驱动力的频率增大时，物体的振幅先增大后减小．选项C正确．] ◆[课堂小结] [易错]　不能正确地从共振曲线上获得信息 [案例]　(多选)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图像，由图可知(　　) A．让振子自由振动，它的频率可以为f1、f2、f3 B．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态 C．驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3 D．假如让振子自由振动，它的频率是f2 [错答]　A [错因分析]　没有弄清楚共振曲线的横坐标表示的物理意义，也不能从图像中获取相关的信息，纵坐标是弹簧振子做受迫振动时的振幅，横坐标是施加的驱动力的频率，当驱动力频率为f2时，发生共振，表明弹簧振子振动的固有频率为f2. [正答]　BCD [解析]　由题意可知，当驱动力的频率变化时，做受迫振动的弹簧振子的振幅在变化，当驱动力频率为f2时，受迫振动的振幅最大，即发生共振，B正确；弹簧振子做受迫振动的频率等于驱动力的频率，C正确；假如让振子自由振动，其频率为固有频率，由系统本身决定，应为f2，A错误，D正确． 附：教材问题解答： 1．教材第50页问题提示：手掌摩擦盆耳的频率等于盆的固有频率时，盆发生了共振现象，因此会溅起层层水花． 2．教材第51页图2.6－2，“做一做”答案提示： 钩码做受迫振动的频率与驱动力的频率相等，与物体的固有频率无关． 图2.6－3“做一做”答案提示：稳定后A、D、G三摆振幅相同且最大，C摆、E摆振幅最小. [知识点一]　振动中的能量损失 1．(多选)单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为(　　) A．单摆做的是阻尼振动 B．能量正在逐渐消灭 C．动能正在转化为势能 D．总能量守恒，减少的机械能转化为内能 解析：AD　[能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故B错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故C错误，A、D正确．] 2．如图所示是单摆做阻尼振动的位移—时间图线，下列说法中正确的是(　　) A．摆球在P与N时刻的势能相等 B．摆球在P与N时刻的动能相等 C．摆球在P与N时刻的机械能相等 D．摆球在P时刻的机械能小于在N时刻的机械能 解析：A　[由于摆球的势能大小由其位移和摆球质量共同决定，P、N两时刻位移大小相同，所以势能相等，A正确；由于系统机械能在减少，P、N两时刻势能相同，则P时刻动能大于N时刻动能，所以B、C、D错误．] [知识点二]　受迫振动　共振 3．(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法正确的是(　　) A．只有A、C摆振动周期相等 B．A摆的振幅比B摆的小 C．B摆的振幅比C摆的小 D．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关 解析：CD　[当单摆A振动起来后，单摆B与C做受迫振动，做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误；当物体的固有频率等于驱动力的频率时，发生共振现象，选项B错误，选项C、D正确．] 4．(多选)一台洗衣机的脱水桶正常工作时非常平衡，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，下列说法中正确的是(　　) A．正常工作时洗衣机做的是受迫振动 B．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大 C．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率小 D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率 解析：ABD　[切断电源后，脱水桶的转速越来越小，即脱水桶的运转频率越来越小，由题意可知，当洗衣机脱水桶正常工作时，非常稳定，即正常工作时的频率大于洗衣机的固有频率，A、B选项正确，C选项错误；当振动最剧烈时，洗衣机发生了共振，即脱水桶运转频率等于洗衣机的固有频率，D选项正确．] 5．(多选)如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是(　　) A．甲的振幅较大　　　 B．甲的振动频率为9 Hz C．乙的振幅较大 D．乙的振动频率为9 Hz 解析：ABD　[根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以选项A、B、D正确．] [知识整合] [能力强化] [强化点1]　简谐运动的周期性和对称性 1．做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以做简谐运动的物体具有周期性． 2．做简谐运动的物体其运动具有对称性．对称性表现在： (1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率． (2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力． (3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过该段的时间相等． [例1]　一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点后经过3 s时间第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过　________　s第三次经过M点．若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则质点振动的振幅为　________　cm. [解析]　 作出该质点振动的图像如图所示，则M点的位置可能有两个，即如图所示的M1、M2.(1)第一种情况：若是位置M1，由图可知eq \f(T1,4)＝3 s＋1 s＝4 s，T1＝16 s，根据简谐运动的周期性，质点第三次经过 M1时需再经过的时间为Δt1＝16 s－2 s＝14 s．质点在20 s内eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即n＝\f(20,16)＝\f(5,4)个周期))的路程为20 cm，故由5A1＝20 cm，得振幅A1＝4 cm.(2)第二种情况：若是位置M2，由图可知eq \f(3T2,4)＝3 s＋1 s＝4 s，T2＝eq \f(16,3) s．根据对称性，质点第三次经过M2时需再经过的时间为Δt2＝eq \f(16,3) s－2 s＝eq \f(10,3) s，质点在20 s内eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即n＝\f(20,\f(16,3))＝\f(15,4)个周期内))的路程为20 cm，故由15A2＝20 cm，得振幅A2＝eq \f(4,3)cm. [答案]　14或eq \f(10,3)　4或eq \f(4,3) [一语通关]　由于简谐运动的周期性和初始条件的不确定性，往往引起此类问题的多解，解决此类问题时要将题目分析透彻，弄清各种可能性，切勿漏解． ●[强化训练] 1．光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为　________　 J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为　________　Hz,1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为　________　次． 解析：根据其周期性及对称性，则有周期T＝0.8 s，振子的最大速度为4 m/s，则最大动能Ekm＝eq \f(1,2)mv2＝0.4 J．根据振子振动的周期性判定在t＝1.2 s末，振子在最大位移处，据机械能守恒有Ep＝Ekm＝0.4 J，物体的振动周期为0.8 s，则其动能的变化周期为eq \f(T,2)＝0.4 s，所以动能的变化频率为2.5 Hz.在物体振动的1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)弹力两次做正功，根据其周期性可求得1 min内弹力做正功的次数为n＝eq \f(60,0.8)×2次＝150次． 答案：0.4　2.5　150 [强化点2]　简谐运动的图像及应用 简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律．从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下： 项目 内容 说明 横、纵轴表示的物理量 横轴表示时间，纵轴表示质点的位移 ①振动的图像不是振动质点的运动轨迹 ②计时起点一旦确定，已经形成的图像形状不变，以后的图像随时间向后延伸 ③简谐运动图像的具体形状跟正方向的规定有关 意义 表示振动质点的位移随时间变化的规律 形状 应用 ①直接从图像上读出周期和振幅 ②确定任一时刻质点相对平衡位置的位移 ③判断任意时刻振动质点的速度方向和加速度方向 ④判断某段时间内振动质点的位移、速度、加速度、动能及势能大小的变化情况 [例2]　(多选)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　) 甲 　　　　　　　　　　 乙 A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6eq \r(2) cm处 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大 [解析]　ABD　[t＝0.8 s时，振子经过O点向负方向运动，即向左运动，选项A正确；t＝0.2 s时，振子在O点右侧6eq \r(2) cm处，选项B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移等大反向，回复力和加速度也是等大反向，选项C错误；t＝0.4 s时到t＝0.8 s的时间内，振子从B点向左运动到平衡位置，其速度逐渐增加，选项D正确．] ●[强化训练] 2．(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知(　　) A．质点振动频率是0.25 Hz B．t＝2 s时，质点的加速度最大 C．质点的振幅为2 cm D．t＝3 s时，质点所受的合外力一定为零 解析：ABC　[质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz；t＝2 s时，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大；质点的振幅为2 cm；t＝3 s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，所受的合外力可能为零，也可能最大，选项A、B、C正确．] [强化点3]　单摆周期公式的应用 1．对单摆周期公式的理解 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立． (2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋r球． (3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定． (4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关． 2．有关周期T的常见情况 (1)同一单摆，在地球的不同位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同． (2)同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同．例如单摆放在月球上时，由于g月<g地，所以同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大． (3)当单摆处在绕地球运行的卫星中时，由于卫星处于完全失重状态，等效重力加速度g＝0，则周期T为无穷大，即单摆不会振动． (4)当单摆放在竖直方向的电场中，若单摆带电，则类似于超(失)重，等效加速度g′＝g＋a(g′＝g－a)，其中a＝eq \f(Eq,m)，故周期T变化．(g>a) (5)当带电单摆放到跟振动平面垂直的磁场中时，由于洛伦兹力始终与速度方向垂直，不改变等效加速度g′的大小，故周期T不变． [例3]　(2020·全国卷Ⅱ，34(1))(1)用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过　________　 cm(保留1位小数)．(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程．) 某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等．新单摆的摆长应该取为　________　 cm. [解析]　(1)拉离平衡位置的距离x＝2π×80 cm×eq \f(5°,360°)＝6.97 cm. 题中要求摆动的最大角度小于5°，且保留1位小数，所以拉离平衡位置的不超过6.9 cm；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))结合题意可知10T′＝11T， 代入数据为10eq \r(L′)＝11eq \r(80) cm， 解得新单摆的摆长为L′＝96.8 cm. [答案]　(1)6.9　96.8 ●[强化训练] 3．如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°.则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 解析：本题应理解等效摆长及单摆周期公式中的摆长． (1)小球以O′为圆心做简谐运动，所以摆长l＝l0＋eq \f(d,2)，振动的周期为T1＝2πeq \r(\f(l,g))＝2πeq \r(\f(l0＋\f(d,2),g))＝2πeq \r(\f(2l0＋d,2g)). (2)小球以O为圆心做简谐运动，摆长l′＝l0＋l0sin α＋eq \f(d,2)，振动周期为T2＝2πeq \r(\f(l′,g))＝2πeq \r(\f(l0＋l0sin α＋\f(d,2),g))＝2πeq \r(\f(3l0＋d,2g)). 答案：(1)2πeq \r(\f(2l0＋d,2g))　(2)2πeq \r(\f(3l0＋d,2g)) [课堂自测] 1．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　) A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3)s B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5)s C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s 解析：AD　[若振幅为0.1 m，由题意知，Δt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))T(n＝0、1、2、…)，解得T＝eq \f(2,2n＋1)s，(n＝0、1、2、…)，A项正确，B项错误．若振幅0.2 m，t＝0时，由振子做简谐运动的表达式y＝0.2 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ0))m可知，0.2 sinφ0m＝－0.1，解得φ0＝－eq \f(π,6)或φ0＝－eq \f(5π,6)；t＝1 s时，有0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)＋φ0))m＝0.1 m，将T＝6 s代入0.2 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)＋φ0))m＝0.1 m可知，D项正确．将T＝4 s代入0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)＋φ0))m≠0.1 m可知，C项错误．] 2．弹簧劲度系数为20 N/cm的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．A点对应的时刻振子所受的弹力大小为0.5 N，方向指向x轴的负方向 B．A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向 C．在0～4 s，振子做了1.75次全振动 D．在0～4 s，振子通过的路程为3.5 cm，位移为0 解析：B　[由题图可知A点位移x＝0.25 cm，所以弹力F＝－kx＝－5 N，即弹力大小为5 N，方向指向x轴负方向，A项错误．由题图可知A点对应的时刻振子的速度方向为指向x轴的正方向，B项正确．由题图可看出，t＝0、t＝2 s、t＝4 s时刻，振子的位移都是最大的，且都沿x轴的正方向，故振子在0～4 s完成了2次全振动，C项错误．由于t＝0时刻和t＝4 s时刻振子都在最大位移处，所以0～4 s，振子的位移为零，又由于振幅为0.5 cm,0～4 s，振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.5 cm＝4 cm，D项错误．] 3．如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两单摆的振幅之比为2∶1 B．t＝2 s时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能为0 C．甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1 D．甲、乙两单摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等 解析：A　[由题图知甲、乙两单摆的振幅分别为4 cm、2 cm，则甲、乙两单摆的振幅之比为2∶1，A正确；t＝2 s时，甲单摆在平衡位置处，甲单摆的重力势能最小，乙单摆在振动的最大位移处，乙单摆的动能为0，B错误；由题图知甲、乙两单摆的周期分别为4 s和8 s，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))得，甲、乙两单摆的摆长之比为1∶4，C错误；摆球的振幅A＝l·θ，由于甲的摆长小，振幅大，所以甲的摆角大，摆球在最高点时的高度h＝l(1－cos θ)，摆球在最低点的速度v＝eq \r(2gh)，摆球在最低点的向心加速度a＝eq \f(v2,l)，联立可得a＝2g(1－cos θ)，由于甲的摆角大，所以甲的向心加速度大，D错误．] 4．(多选)如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)，在O点正下方，距O点eq \f(3l,4)处的P点固定一个小钉子，现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球，点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左侧最高位置，已知点A与B之间的高度差为h，h≪l，B、P、O在同一竖直平面内，当地的重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．点C与点B高度差小于h B．点C与点B高度差等于h C．小球摆动的周期等于eq \f(3π,2) eq \r(\f(l,g)) D．小球摆动的周期等于eq \f(3π,4) eq \r(\f(l,g)) 解析：BC　[不计空气阻力，小球在整个运动过程中机械能守恒，故运动到左侧最高点C与A等高，与B相差h，A错误，B正确；当小球从A点开始，再回到A点时为一个周期，即T＝πeq \r(\f(l,g))＋πeq \r(\f(\f(1,4)l,g))＝eq \f(3π,2) eq \r(\f(l,g))，C正确，D错误．] $$