第2章 第5节 实验：用单摆测量重力加速度-【创新教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教版2019）

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(2)①根据单摆振动的v­t图像知，单摆的周期T＝2.0 s. ②根据T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2l,g). 图线的斜率：k＝eq \f(4π2,g)＝4.04 s2/m， 解得：g≈9.76 m/s2. [答案]　(1)①adf　②eq \f(4π2n2l,t2)　(2)①2.0　②9.76 ◆[跟进训练] 1．(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为　________　. A．1 m长的细线 　　　　 B．1 m长的粗线 C．10 cm长的细线 D．泡沫塑料小球 E．小铁球 F．秒表 G．时钟 H．厘米刻度尺 I．毫米刻度尺 J．游标卡尺 (2)在该实验中，单摆的摆角θ应　________　，从摆球经过　____________　开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g＝　________________　. 解析：(1)做摆长的细线要用不易伸长的细线，一般不应短于1 m，选A；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E；计时仪器宜选用秒表F；测摆长应选用毫米刻度尺I；用游标卡尺J测摆球的直径． (2)根据单摆做简谐运动的条件知θ＜5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时．根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，又T＝eq \f(t,n)，l＝L＋eq \f(d,2)，得g＝eq \f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(d,2)))n2,t2). 答案：(1)AEFIJ　(2)小于5°　平衡位置　eq \f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(d,2)))n2,t2) 对数据处理及误差分析的考查 [例2]　用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示． (1)组装单摆时，应在下列器材中选用　________　(选填选项前的字母)． A．长度为1 m左右的细线 B．长度为30 cm左右的细线 C．直径为1.8 cm的塑料球 D．直径为1.8 cm的铁球 (2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝　________　(用L、n、t表示)． (3)下表是某同学记录的3组实验数据，并作了部分计算处理. 组次 1 2 3 摆长L/cm 80.00 90.00 100.00 50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5 振动周期T/s 1.80 1.91 重力加速度g/(m·s－2) 9.74 9.73 请计算出第3组实验中的T＝　________　s，g＝　________　m/s2. (4)用多组实验数据作出T2­L图像，也可以求出重力加速度g.已知三位同学作出的T2­L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是　________　(选填选项前的字母)． A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 (5)某同学在家里测重力加速度．他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示．由于家里只有一根量程为30 cm的刻度尺．于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2.由此可得重力加速度g＝　________　(用l1、l2、T1、T2表示)． 思路点拨：该题全面考查了重力加速度的测量、数据的处理以及误差的分析，要掌握单摆的周期公式，从而求解重力加速度、摆长、周期等物理量之间的关系． [解析]　(1)单摆模型需要满足的条件是摆线的长度远大于小球直径，小球的密度越大越好，这样可以忽略空气阻力．(2)周期T＝eq \f(t,n)，结合T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得g＝eq \f(4π2n2L,t2).(3)周期T＝eq \f(t,n)＝eq \f(100.5 s,50)＝2.01 s，由T＝2πeq \r(\f(L,g))，解得g＝9.76 m/s2.(4)由T＝2πeq \r(\f(L,g))，两边平方后可知T2­L是过原点的直线，b为正确的图线，a与b相比，周期相同时，摆长更短，说明a对应测量的摆长偏小；c与b相比，摆长相同时，周期 偏小，可能是多记录了振动次数．(5)设A到铁锁重心的距离为l，则第1、2次的摆长分别为l＋l1、l＋l2，由T1＝2πeq \r(\f(l＋l1,g))，T2＝2πeq \r(\f(l＋l2,g))，联立解得：g＝eq \f(4π2l1－l2,T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2)). [答案]　(1)AD　(2)eq \f(4π2n2L,t2)　(3)2.01　9.76　(4)B　(5)eq \f(4π2l1－l2,T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2)) [规律方法]　用图像法处理实验数据的技巧 用图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响．由于T­L的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2­L的图像，目的是为了将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度． ◆[跟进训练] 2．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作： (1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为　________　cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L. (2)用秒表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝　________　s(结果保留3位有效数字)． (3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是(　　) A．g B.eq \f(1,g) C.eq \f(4π2,g) D.eq \f(g,4π2) (4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小(　　) A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 解析：(1)摆球的直径为d＝20 mm＋6×eq \f(1,10)mm＝20.6 mm＝2.06 cm. (2)秒表的读数为t＝60 s＋7.5 s＝67.5 s，根据题意，得 t＝eq \f(60－1,2)T＝eq \f(59,2)T，所以周期T＝eq \f(2t,59)＝2.28 s. (3)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得 eq \f(T2,L)＝eq \f(4π2,g)＝k(常数)，所以选项C正确． (4)因为eq \f(T2,L)＝eq \f(4π2,g)＝k(常数)，所以eq \f(ΔT2,ΔL)＝eq \f(4π2,g)＝k，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足eq \f(T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2),L1－L2)＝eq \f(4π2,g)＝k，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变． 答案：(1)2.06　(2)2.28　(3)C　(4)C [易错]　利用单摆测重力加速度时，周期计算出错 [案例]　(1)甲、乙两同学做“用单摆测重力加速度”的实验，甲同学用秒表测量单摆的周期；当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0，单摆每次经过最低点计一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图甲所示，则该单摆的周期是　________　s(结果保留3位有效数字)；乙同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，则游标卡尺的读数是　________　cm. (2)在做实验时，可能导致重力加速度的测量结果偏大的有(　　) A．振幅偏小 B．在未悬挂摆球之前先测定好摆长 C．摆球做圆锥摆运动 D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长 [错答]　(1)数到n＝60时可知单摆完成了60次全振动，即时间为60个周期，秒表的示数为67.5 s，周期为T＝eq \f(t,n)＝eq \f(67.5,60) s＝1.13 s. [错因分析]　单摆每一个周期通过最低点两次，所以数60次的时间为30个周期． [正答]　(1)2.25　1.55　(2)CD [解析]　(1)单摆每一个周期通过最低点两次，所以数60次的时间为30个周期，秒表的示数为67.5 s，周期为T＝eq \f(t,30)＝2.25 s，游标卡尺主尺读数为15 mm，游标卡尺第10条刻度与主尺刻度对齐，L＝15 mm＋0.05 mm×10＝15.5 mm＝1.55 cm.(2)根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得g＝eq \f(4π2l,T2)，所以重力加速度测量值与振幅无关，A错误；未悬挂摆球前测定摆长，l值偏小，g值偏小，B错误；摆球做圆锥摆运动周期变短，g值偏大，C正确；摆线长加摆球直径作为摆长，摆长偏大，g值偏大，D正确． 1．利用单摆测重力加速度时，若测得g值偏大，则可能是因为(　　) A．单摆的摆锤质量偏大 B．测量摆长时，只考虑了悬线长，忽略了小球的半径 C．测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动 D．测量周期时，把n次全振动误认为是(n－1)次全振动 解析：C　[由单摆周期公式知T＝2πeq \r(\f(l,g))，g＝eq \f(4π2l,T2)，而T＝eq \f(t,n)，所以g＝eq \f(4π2ln2,t2)，由此可知C项正确．] 2．在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝eq \f(4π2l,T2).只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2­l图像，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2­l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示． (1)造成图像不过坐标原点的原因可能是　________　. (2)由图像求出的重力加速度g＝　________　 m/s2.(π2取9.87) 解析：(1)既然所画T2­l图像与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径．(2)图像的斜率k＝eq \f(4π2,g)＝4 s2/m，则g＝eq \f(4π2,k)＝9.87 m/s2. 答案：(1)测摆长时漏掉了摆球半径 (2)9.87 3．某同学利用单摆测量重力加速度． (1)(多选)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是(　　) A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大 (2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆．实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上的两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝　________　. 解析：(1)为了减小实验误差，应选用密度大、体积小的摆球，A项错误；摆线应选用不易伸缩的细线，B项正确；实验时摆球应在同一竖直面内摆动，而不能做成圆锥摆，C项正确；摆长一定的情况下，偏角不能超过5°，因此摆的振幅不能过大，D项错误． (2)设单摆周期为T1时，单摆的摆长为L，由单摆周期公式得T1＝2πeq \r(\f(L,g))，T2＝2πeq \r(\f(L－ΔL,g))，解得g＝eq \f(4π2ΔL,T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2)). 答案：(1)BC　(2)eq \f(4π2ΔL,T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2)) 4．某同学在一次用单摆测重力加速度的实验中，测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图所示的坐标系中．图中各坐标点的标号分别对应实验中5种不同摆长的情况．在处理数据时，该同学实验中的第　________　数据点应当舍弃．画出该同学记录的T2­l图线．求重力加速度时，他首先求出图线的斜率k，则用斜率k求重力加速度的表达式为g＝　________　. 解析：将图中各点连线如图所示，可见第4点偏离直线较远，则该点误差较大，所以第4数据点应舍去； 在T2­l图线中直线的斜率为k＝eq \f(ΔT2,Δl)，由T＝2πeq \r(\f(l,g))得g＝eq \f(4π2l,T2)，则g＝eq \f(4π2Δl,ΔT2)＝eq \f(4π2,k). 答案：4　eq \f(4π2,k) 5．某同学在“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm，摆球直径为2.00 cm，然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间，如图所示，则： (1)该单摆摆长为　______　cm，停表的示数为　________　s. (2)如果他测得的g值偏小，可能的原因是　________　. A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验中误将49次全振动次数记为50次 (3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出几组对应的l与T的数据，然后建立以l为横坐标、T2为纵坐标的直角坐标系，根据数据描点并连成直线，如图所示．求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝　________　.(用k表示) 解析：(1)摆长l＝l′＋eq \f(d,2)＝98.50 cm，t＝99.8 s. (2)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,n)))2)，所以l偏大，则g偏大；t偏小，则g偏大；t偏大，则g偏小；n偏大，则g偏大．故选项B正确． (3)由单摆周期公式可得T2＝eq \f(4π2l,g)，那么图中直线斜率k＝eq \f(4π2,g)，所以g＝eq \f(4π2,k). 答案：(1)98.50　99.8　(2)B　(3)eq \f(4π2,k) $$