第2章 第2节 简谐运动的描述-【创新教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教版2019）

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(3)“T”表示简谐运动的　周期　，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝　eq \f(1,f)　. (4)“eq \f(2π,T)t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的　相位　. (5)“φ”表示简谐运动的　初相位　，简称　初相　. 3．说明 (1)相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量． (2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动． [自我检测] 1．思维辨析 (1)振幅就是振子的最大位移．( × ) (2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期．( × ) (3)振动物体的周期越大，表示振动得越快．( × ) (4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．( × ) 2．基础理解 (1)(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，则(　　) A．从B→O→C→O→B为一次全振动 B．从O→B→O→C→B为一次全振动 C．从C→O→B→O→C为一次全振动 D．B、C两点关于O点对称 解析：ACD　[O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，即A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，即C正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确．] (2)(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,2))) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,6))) m．比较A、B的运动(　　) A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB D．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3) 解析：CD　[振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错；A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100) s＝6.28×10－2 s，B错，C对；Δφ＝φAO－φBO＝eq \f(π,3)为定值，D对．] 描述简谐运动的物理量 ◆[探究导引] 提示：(1)振子的振幅在数值上与振子的最大位移相等． (2)10 cm. ◆[探究归纳] 1．振幅与位移、路程、周期的关系 (1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化． (2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅． (3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关． 2．对全振动的理解 (1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动． (2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征． ①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同． ②时间特征：历时一个周期． ③路程特征：振幅的4倍． ④相位特征：增加2π. [例1]　一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　) A．4 cm　10 cm　　　　 B．4 cm　100 cm C．0　24 cm D．0　100 cm 思路点拨：根据质点在一个周期内通过路程为4A，求路程． [解析]　B　[质点的振动周期T＝eq \f(1,f)＝0.4 s，故时间t＝eq \f(2.5,0.4)T＝6eq \f(1,4)T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6eq \f(1,4) cm＝100 cm，选项B正确．] [规律方法]　振幅与路程的关系 振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅． (1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，eq \f(1,4)周期内的路程等于振幅． (2)若从一般位置开始计时，eq \f(1,4)周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅． ◆[跟进训练] 1．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点．求： (1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率； (3)振子在5 s内通过的路程大小． 解析：(1)设振幅为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm. (2)从B点首次到C点的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1 s；再根据周期和频率的关系可得f＝eq \f(1,T)＝1 Hz. (3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，则5 s内通过的路程为s＝eq \f(t,T)·4A＝5×40 cm＝200 cm. 答案：(1)10 cm　(2)1 s　1 Hz　(3)200 cm 简谐运动的表达式 ◆[探究归纳] 1．简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ) 式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅． 2．各量的物理含义 (1)圆频率：表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝eq \f(2π,T)＝2πf. (2)φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ表示做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以表示简谐运动的相位． 3．做简谐运动的物体运动过程中的对称性 (1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等． (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示． 4．做简谐运动的物体运动过程中的周期性 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断： (1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同． (2)若t2－t1＝nT＋eq \f(1,2)T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反． (3)若t2－t1＝nT＋eq \f(1,4)T或t2－t1＝nT＋eq \f(3,4)T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定． [例2]　一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像． 思路点拨：简谐运动振动方程的一般表达式x＝Asin(ωt＋φ)，读出振幅A，由ω＝2πf求出ω，将在t＝0时，位移是4 cm代入即可求解振动方程，便能画出振动图像． [解析]　简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ) cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝eq \f(π,6)或φ＝eq \f(5,6)π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝eq \f(5,6)π，所求的振动方程为x＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(5,6)π)) cm，画对应的振动图像如图所示． [答案]　见解析 [规律方法]　用简谐运动表达式解答振动问题的方法 (1)明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相． (2)ω＝eq \f(2π,T)＝2πf是解题时常涉及到的表达式． (3)解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了． ◆[跟进训练] 2．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是　________　. 解析：由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωt(平衡位置计时，ω＝eq \f(2π,T))，由于高度差不超过10 cm，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝eq \f(T,12)，t2＝eq \f(5T,12)，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝eq \f(T,3)＝1.0 s. 答案：1.0 s ◆[课堂小结] 简谐运动的描述eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(描述简谐运动的物理量\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(振幅A,周期和频率\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(T＝\f(1,f))),相位和相位差)),简谐运动的表达式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(表达式x＝Asinωt＋φ,表达式中各物理量的意义)))) [易错1]　套用简谐运动的对称性而出错 在简谐运动中，若Δt＝eq \f(T,2)，质点通过的路程必为2A；若Δt＝2T，质点通过的路程必为8A；若Δt＝eq \f(T,4)，则质点通过的路程可能大于A，可能等于A，也可能小于A. [案例1]　(多选)一个弹簧振子做简谐运动，振幅为A，若在Δt时间内振子通过的路程为x，则下列关系中一定正确的是(　　) A．若Δt＝2T，则x＝8A B．若Δt＝eq \f(T,2)，则x＝2A C．若Δt＝eq \f(3,4)T，则x＝3A D．若Δt＝eq \f(T,4)，则x＝A [错答]　多选C项或D项 [错因分析]　没能正确认识简谐运动是一个变加速运动，物体的位移随时间不是线性变化．因此，当物体的初位置不在最大位移处或者平衡位置时，它在四分之一个周期内通过的路程并不是一个振幅． [正答]　AB [解析]　根据简谐运动的图像及表达式，若Δt＝eq \f(T,4)，则质点通过的路程可能大于A，可能等于A，也可能小于A，故选A、B. [易错2]　简谐运动的多解问题的常见错误 由于简谐运动的周期性，结合初始条件的不确定性，往往引起此类问题的多解，解决此类问题时要对题目进行透彻分析、弄清各种可能性，切勿遗漏． [案例2]　(多选)如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3 s质点第一次经过M点；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点再需要的时间是(　　) A．8 s B．4 s C．14 s D.eq \f(10,3)s [错答]　漏选C项或D项 [错因分析]　题中只提到是从O点开始计时，没有指明开始时质点是向左还是向右运动．一部分同学按自己的习惯考虑质点最初向左或向右运动，而忽略了另外一种可能性． [正答]　CD [解析]　设题图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3 s，M→b→M过程历时2 s，由运动时间的对称性知eq \f(T,4)＝4 s，T＝16 s，质点第三次经过M点再需时间Δt＝T－2 s＝16 s－2 s＝14 s，故C项正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M，运动过程历时3 s，M→b→M过程历时2 s，有3→tOM＝2＋tMO＋tOM＝eq \f(1,2)T′，即tOM＝tMO＝eq \f(1,3)s，T′＝eq \f(16,3)s，质点第三次经过M点，再需时间Δt′＝T′－2 s＝eq \f(16,3)s－2 s＝eq \f(10,3)s，故D项正确． 附：教材问题解答： 教材第35页问题提示：根据简谐运动的周期性、振动快慢的特点，物理学引入了振幅、周期和频率描绘简谐运动. [知识点一]　描述简谐运动的物理量 1．下列说法正确的是(　　) A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅 B．物体在eq \f(1,4)个周期内，通过的路程是1个振幅 C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅 D．物体在eq \f(3,4)个周期内，通过的路程是3个振幅 解析：C　[在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在eq \f(1,4)个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在eq \f(1,4)个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在eq \f(3,4)个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在eq \f(3,4)个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误．] 2．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　　) A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0 C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置 解析：B　[将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历eq \f(T,4)，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2) Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过eq \f(1,4)T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误．] 3．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．质点的振动频率为4 Hz B．在0～10 s内质点经过的路程是20 cm C．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大 D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等 解析：BCD　[由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，则在0～10 s内质点经过的路程是s＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确．] [知识点二]　简谐运动的表达式 4．(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则(　　) A．弹簧振子的振幅0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5πt＋\f(π,4)))，则A滞后Beq \f(π,4) 解析：CD　[由振动方程x＝0.1 sin 2.5πt，可读出振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5 πrad/s，故周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π)s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq \f(π,4)－2.5πt＝eq \f(π,4)，即B超前Aeq \f(π,4)，或者说A滞后Beq \f(π,4)，D正确．] 5．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是　________________　. 解析：由题意知，ω＝eq \f(2π,T)＝4π，t＝0时具有负方向的最大加速度，所以t＝0时振子具有最大的正位移，故初相位φ＝eq \f(π,2)，表达式为x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2)))m. 答案：8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2)))m $$