第二十二章 二次函数 章末练习- 2025-2026学年人教版九年级上册数学

第二十二章 二次函数 章末练习-2025-2026学年人教版九年级上册数学 一、填空题 1．若y=(m-1)xm²+m是关于x的二次函数，则m的值为　 　 2．若点A(，y1)，B(-1，y2)，C(，y3)为二次函数y=-ax2-4ax+5(a<0)图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　. 3．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是　 　 4．设函数 的图象与 轴有 个交点， 函数 的图象与 轴有 个交点， 则所有可能的数对 是 　 　. 5．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 　 　s． 6．二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是　 　． 7．二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线.下列结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，，其中正确结论有　 　.（填序号） 8．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶　 　碰到水柱．（填“能”或“不能”） 二、单选题 9．二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 10．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(　　) A．b≤-2 B．b<-2 C．b≥-2 D．b>-2 11．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是（　　） A．①②③④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．②④⑤ 12．二次函数的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　）． A． B． C． D．关于的方程无实数根 13．抛物线y=(x-1)2+2可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）． A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 14．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点，，且，结合图象给出下列结论：①；②；③；④方程的两根和为；⑤对于任意实数m都有；其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．已知二次函数y＝ax2－1的图象经过点（1，－2），那么a的值为（　　） A．a＝－2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝－1 16．已知抛物线过点，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 17．与抛物线 的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（　　） A． B． C． D． 18．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，其中正确的是（　　） A． B． C． D．对于任意的实数m，总有 三、解答题 19．已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解. 20．已知A(1，0)，B(0，-1)，C(-1，2)，D(2，-1)，E(4，2)五个点，抛物线 经过其中三个点. （1）求证：C，E两点不可能同时在抛物线. 上. （2）点A 在抛物线. )上吗?为什么? （3）求 a 与k 的值 21．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B(-1，0)，C(2，3)两点 （1）求此二次函数的表达式． （2）如果此二次函数的图象沿y轴平移一次后过点(-2，1)，试确定这次平移的方向和距离． 22． 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，对称轴是轴，利用图象解答下列问题： （1）点、的坐标分别是：　 　，　 　； （2）若，则的取值范围是　 　 ； （3）函数的最小值是　 　 ． 23． 已知：二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）m的值为　 　. （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当时，则y的取值范围为　 　. 答案解析部分 1．【答案】-2 【解析】【解答】解：由题意可得： ，解得：m=-2 故答案为：-2 【分析】根据二次函数的定义即可求出答案. 2．【答案】y3>y1>y2 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴二次函数开口向上，且对称轴为： ∴离二次函数对称轴越远，函数值越大， ∵ ∴ 故答案为：. 【分析】根据题意得到二次函数开口向上，对称轴为x=-2，即离二次函数对称轴越远，函数值越大，据此即可求解. 3．【答案】3 【解析】【解答】解：， ∵二次项系数a＝﹣5<0， ∴时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 【分析】把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 4．【答案】 【解析】【解答】解：解：y=（x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，此函数为二次函数， 其中 Δ =(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0， ∴ m=1或2； y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1， 当a=b＝0时，y=1，此时，m=1，n=0； 当a=0，b≠0或a≠0，b＝0时，此时，m=2，n=1； 当ab≠0时，y=(ax+1)(bx+1)为二次函数， 其中 Δ =(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0， 当a≠b时，m=n=2； 当a=b时，m=n=1； 即所有可能的数对 是 .​​​​​​ 故答案为：.​​​​​​ 【分析】分类讨论函数y=(ax+1)(bx+1)，当a=b＝0时，y=1；当a=0，b≠0或a≠0，b＝0时，此函数为一次函数；当ab≠0时，y=(ax+1)(bx+1)为二次函数，根据判别式判断出与x轴的交点，即可求得. 5．【答案】4 【解析】【解答】解：∵球从飞出到落地， ∴当h=0时20t﹣5t2=0 解之：t1=0，t2=4 ∵t＞0 ∴t=4. 故答案为：4. 【分析】利用已知条件，要求出球从飞出到落地要用的时间，也就是求出当h=0时t的值，根据t＞0，可得答案. 6．【答案】②③④ 7．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， 当时，， ∴， ∴，故②正确， 由图象可得，对于任意m都有， 即， ∴， 故③不正确；， ∵点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， ∵点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④. 【分析】根据图象开口向上可得a的范围，由抛物线与y轴交点的位置可得c=-1，根据对称轴为x=1可得b=-2a<0，据此判断①；根据x=-1对应的函数值为正可得a-b+c=a+2a-1>0，据此判断②；根据函数在x=1处取得最小值可判断③；根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大可判断④. 8．【答案】不能 【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系， 则抛物线的解析式为， 令，则， 故她的头顶不能碰到水柱． 故答案为：不能． 【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可. 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】B 13．【答案】C 【解析】【解答】解： y=x2 向右平移2个单位得到 y=(x-1)2 ，再向上平移2个单位得到 y=(x-1)2+2 . 故答案为：C. 【分析】坐标平移的特点是“左加右减，上加下减”；因此 抛物线y=(x-1)2+2可以由抛物线y=x2 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位平移而得到 。 14．【答案】C 15．【答案】D 【解析】【解答】解：将点（1，-2）代入y=ax2-1，得 a-1=-2 解，得 a=-1 故答案为：D. 【分析】将点（1，-2）代入二次函数解析式，可得到关于字母系数a的一元一次方程，解此方程即可得解。 16．【答案】D 【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=， ∴点关于对称轴的对称点为（2，y1）， ∵抛物线的开口向下， ∴在抛物线的对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵1<2<3， ∴， 故答案为：D. 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出在抛物线的对称轴的右侧y随x的增大而减小，再结合1<2<3，可得. 17．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ，开口向下，对称轴 ， ∴ 与其开口方向相同，形状相同，位置不同. 故答案为：D. 【分析】根据抛物线 ，确定形状、开口方向，然后和选项比较即可得出结论. 18．【答案】A 19．【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0）， ∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4， ∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程， ∴x-1=-3或x-1=4， 解得x1=-2，x2=5. 故答案为x1=-2，x2=5. 【解析】【分析】由点A，B的坐标可知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；再将方程转化为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，由此可得到x-1=-3或x-1=4，分别求出两个关于x的一元一次方程的解即可. 20．【答案】（1）C，E 两点关于直线 对称，而抛物线对称轴为x=1，得证 （2）假设点 A 在抛物线上，∵B，D 两点关于直线x=1对称， ∴ B，D两点都在抛物线上或都不在抛物线上. 若B，D 两点都在抛物线上，得a=-1，与a>0矛盾； 若B，D两点都不在抛物线上，则抛物线过A，C，E三点，与(1)矛盾. 故点 A 不在抛物线上 （3）结合（1）（2），可判断抛物线经过B，C，D三点或B，D，E三点， 将点坐标代入表达式，利用待定系数法求解， 得a=1，k=-2或 【解析】【分析】（1）由抛物线y=a（x-1）2+k可知，抛物线对称轴为x=1，而C（-1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，应该关于直线x=1对称，但C（-1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3，故不可能； （2）假设A点在抛物线上，得出矛盾排除A点在抛物线上； （3）B、D两点关于对称轴x=1对称，一定在抛物线上，另外一点可能是C点或E点，分别将C、D或D、E两点坐标代入求a和k的值． 21．【答案】（1）解：将点B(-1，0)，C(2，3) 代入二次函数y=-x2+bx+c中得， ， 解得：， 所以此二次函数的表达式为：y=-x2+2x+3； （2）解：由y=-x2+2x+3得到：y=-（x-1）2+4 设抛物线y=-（x-1）2+4平移后的函数表达式为y=-（x-1）2+4+m， 把(-2，1)代入，得-（-2-1）2+4+m=1， 解得m= 6， 所以将抛物线y=-（x-1）2+4沿y轴向上平移6个单位长度后，即可经过点(-2，1). 【解析】【分析】（1）分别将点B，C的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，即可得到函数解析式. （2）将函数解析式转化为顶点式，根据题意设平移后的函数表达式为y=-（x-1）2+4+m，将点（-2，1）代入函数解析式，可求出m的值，即可得到这次平移的方向和距离. 22．【答案】（1）-2，0；2，0 （2）或． （3）-4 【解析】【解答】解： （1）如图所示 A的坐标为（-2，0） 本函数图象关于y轴对称 B的坐标为（2，0） 故第一空填：-2，0 第二空填：2，0 （2）如图所示 当 当 若，的取值范围是或 故填： 或 （3）如图所示 函数是最低点在（0，-4） 函数的最小值是-4 故填：-4 【分析】根据二次函数图象与坐标轴交点的意义和性质，可直接在图象上读取相关信息。 23．【答案】（1）3 （2）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为 （3） 【解析】【解答】解：（1）∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和所对应的函数值相等， ∴； 故答案为：3； （3）当时，， 当时，y有最小值， 当时，， ∴当时，则y的取值范围为． 故答案为：． 【分析】（1）根据表格数据结合二次函数的性质即可求解； （2）先根据已知条件设抛物线解析式为，进而再代入一个点即可求解； （3）根据二次函数的性质结合题意代入相对应x的值，进而即可求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$