2026届高三数学一轮复习优生加练17：导数的几何意义

第17练　导数的几何意义 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.(2025·南昌模拟)设函数f(x)=ln(x2+1)+sin x+1,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 2.函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列大小关系正确的是(　　) A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3) 3.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x3-x,则曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程是(　　) A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0 C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0 4.(2025·成都川大附中模拟)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.4 5.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,0) C.[1,+∞) D.(-∞,0] 6.(2025·白城模拟)已知函数f(x)=的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪ 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 7.(2025·邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下列等式一定不成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=2 D.x1x2= 8.若过点P(1,λ)最多可作n(n∈N*)条直线与函数f(x)=(x-1)ex的图象相切,则(　　) A.当λ=0时,切线方程为y=e(x-1) B.当n=1时,λ的取值范围是∪{0} C.当n=2时,λ的值不唯一 D.λ+n的值一定小于3 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.若直线y=kx+1为曲线y=ln x的一条切线,则实数k=　　　　　　.  10.已知直线y=k1x与y=k2x(k1>k2)是曲线y=ax+2ln|x|(a∈R)的两条切线,则k1-k2=　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3　一元函数的导数及其应用 第17练　导数的几何意义 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.(2025·南昌模拟)设函数f(x)=ln(x2+1)+sin x+1,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f'(x)=+cos x,则f'(0)=1,即切线方程为y=x+1. 令x=0,则y=1,令y=0,则x=-1,故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 2.函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列大小关系正确的是(　　) A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3) 答案　A 解析　由图可知,f'(3)<<f'(5), 即2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5). 3.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x3-x,则曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程是(　　) A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0 C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0 答案　C 解析　当x<0时,f(x)=x3-x, 则f'(x)=3x2-1,所以f'(-1)=2, 由f(x)为偶函数,得f'(1)=-f'(-1)=-2, 则曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程是 y=-2(x-1),即2x+y-2=0. 4.(2025·成都川大附中模拟)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　C 解析　过点P作曲线y=ln x-x2的切线, 当切线与直线l：x+y-4=0平行时, 点P到直线l：x+y-4=0的距离最小. 设切点为P(x0,y0)(x0>0), 又y'=-2x, 所以切线斜率k=-2x0, 由题意知-2x0=-1, 解得x0=1或x0=-(舍), 所以P(1,-1), 此时点P到直线l：x+y-4=0的距离d==2. 5.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,0) C.[1,+∞) D.(-∞,0] 答案　A 解析　因为函数f(x)=+ln(x+1)(x>-1), 所以f'(x)=x+-a=x+1+-a-1 ≥2-a-1=1-a, 当且仅当x+1=即x=0时,等号成立, 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线, 所以f'(x)min≥0,即1-a≥0,解得a≤1. 6.(2025·白城模拟)已知函数f(x)=的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪ 答案　B 解析　当x<0时,f(x)=x2+x+2a的导数为f'(x)=2x+1； 当x>0时,f(x)=-的导数为f'(x)= 设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2, 当x1<x2<0或0<x1<x2时,f'(x1)≠f'(x2),故x1<0<x2, 函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y-(+x1+2a)=(2x1+1)(x-x1), 函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y+=(x-x2). 两直线重合的充要条件是=2x1+1, ① -=-+2a, ② 由①及x1<0<x2,得0<<1, 由①②,令t=则0<t<1, 且2a=(t4-2t2-8t+1),记y=(t4-2t2-8t+1), 则其导数为y'=t3-t-2=t(t+1)(t-1)-2,易知y'<0在(0,1)上恒成立, 则函数y=(t4-2t2-8t+1)在(0,1)上单调递减, 所以-2<2a<-1<a<. 所以实数a的取值范围是. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 7.(2025·邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下列等式一定不成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=2 D.x1x2= 答案　ACD 解析　因为f(x)=x2+2ln x,x>0, 所以f'(x)=2x+x>0. 因为f(x)在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行, 所以f'(x1)=f'(x2),即2x1+=2x2+ 整理得(x1-x2)=0, 又x1≠x2,所以x1x2=1,故C,D不成立； 因为x1>0,x2>0,且x1≠x2, 所以x1+x2>2=2,故A不成立； 当x1=x2=3时,x1+x2=故B可能成立. 8.若过点P(1,λ)最多可作n(n∈N*)条直线与函数f(x)=(x-1)ex的图象相切,则(　　) A.当λ=0时,切线方程为y=e(x-1) B.当n=1时,λ的取值范围是∪{0} C.当n=2时,λ的值不唯一 D.λ+n的值一定小于3 答案　ABD 解析　不妨设切点为(x0,(x0-1)), 因为f'(x)=xex,则过点P(1,λ)的切线方程为y-λ=x0(x-1), 即(x0-1)-λ=x0(x0-1), 整理得λ=--2x0+1). 令g(x)=-ex(x2-2x+1),则g'(x)=-ex(x2-1). 当x<-1或x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减； 当-1<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, g(-1)=-g(0)=-1,g(1)=0, 当x→-∞时,g(x)→0, 当x→+∞时,g(x)→-∞. 综上,g(x)的大致图象如图. 当λ=0时,切点为P(1,0),切线方程为y=e(x-1),故A正确； 当n=1时,直线y=λ与函数g(x)的图象只有一个交点,由图象可知λ的取值范围是∪{0},故B正确； 此时满足λ+n<3. 当n=2时,λ=-λ的值唯一,故C错误； 此时λ+n<3成立. 当n=3时,λ∈所以λ+n<3. 综上,λ+n<3,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.若直线y=kx+1为曲线y=ln x的一条切线,则实数k=　　　　　　.  答案　 解析　设直线y=kx+1在曲线y=ln x上的切点为P(x0,y0), 因为y=ln x,所以y'= 所以切线斜率k=y'= 所以曲线y=ln x在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0), 又y0=ln x0, 所以切线方程为y=·x-1+ln x0, 又切线方程为y=kx+1, 所以解得 10.已知直线y=k1x与y=k2x(k1>k2)是曲线y=ax+2ln|x|(a∈R)的两条切线,则k1-k2=　　　　　　.  答案　 解析　由已知得,曲线的切线过点(0,0), 当x>0时,曲线为y=ax+2ln x, 设x1>0,直线y=k1x在曲线上的切点为(x1,ax1+2ln x1),y'=a+ ∴切线方程为y-(ax1+2ln x1)=(x-x1), 又切线过点(0,0), ∴-ax1-2ln x1=(-x1), ∴x1=e,k1=a+； 同理,当x<0时,曲线为y=ax+2ln(-x), 设x2<0,直线y=k2x在曲线上的切点为(x2,ax2+2ln(-x2)),y'=a+ ∴切线方程为y-[ax2+2ln(-x2)]=(x-x2), 又切线过点(0,0), ∴-ax2-2ln(-x2)=(-x2), ∴x2=-e,k2=a-∴k1-k2=. 学科网（北京）股份有限公司 $$