2026届高三数学一轮复习优生加练15：函数零点问题

第15练　函数零点问题 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　B 解析　因为区间的长度等于每经过一次操作,区间长度变为原来的一半, 所以经过n(n∈N*)次操作后,区间长度变为 令<0.01,解得n≥6,且n∈N*,故所需二分区间的次数最少为6. 2.函数y=(x-2)(x-4)-1有两个零点x1,x2,且x1<x2,下列关于x1,x2的关系中正确的是(　　) A.x1<2且2<x2<4 B.x1>2且x2>4 C.x1<2且x2>4 D.2<x1<4且x2>4 答案　C 解析　令y1=(x-2)(x-4),则y=y1-1, ∴函数y=(x-2)(x-4)-1的零点就是函数y1=(x-2)(x-4)与函数y=1图象交点的横坐标, 在同一平面直角坐标系中作出函数y1=(x-2)(x-4)的图象与y=1的图象,如图, 通过数形结合可得x1<2且x2>4. 3.(2024·无锡模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,y=[x]也被称为“高斯函数”,例如[2.1]=2,[3]=3,[-1.5]=-2,设x0为函数f(x)=log3x-的零点,则[x0]等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　A 解析　因为y=log3x与y=-在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=log3x-在(0,+∞)上单调递增, 又f(3)=log33-=1-=>0,f(2)=log32-=log32-1<0, 所以f(x)在(2,3)上存在唯一的零点x0, 即x0∈(2,3),所以[x0]=2. 4.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.<a< B.a<- C.-<a<- D.a<- 答案　D 解析　当a=0时,f(x)=3,不符合题意； 当a>0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递增, 此时函数f(x)在上单调递增； 当a<0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递减, 此时函数f(x)在上单调递减. 因为函数f(x)在区间上有零点, 所以ff(1)<0, 即3(4a+3)<0,解得a<-. 综上,a的取值范围是a<-. 5.(2024·安庆模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|x2-kx|恰有3个零点,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-1]∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪[1,+∞) 答案　A 解析　由题意得,方程=|x-k|有三个不相等的实数根. 而y== 分别作出函数y=和y=|x-k|的图象, 当k=1时,y=|x-1|； 当x≥1时,y==ln x,对其求导得y'= 所以y'|x=1=1,所以曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程为y=x-1, 如图,直线y=x-1与曲线y=ln x在点(1,0)相切. 所以k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞). 6.若f(x)为R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1,5]上的所有零点的和是(　　) A.20 B.18 C.16 D.14 答案　A 解析　因为f(x)为R上的偶函数, 且f(x)=f(4-x), 即f(-x)=f(4-x),f(x+4)=f(x), 所以4是函数f(x)的一个周期, 由f(x)=f(4-x),可得f(2+x)=f(2-x), 所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, 令g(x)=3|sin πx|-f(x)=0, 则f(x)=3|sin πx|, 且y=3|sin πx|的图象也关于直线x=2对称, 作出y=f(x)与y=3|sin πx|的图象, 由此可得两函数在[-1,5]上一共有10个交点,且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称, 所以g(x)在区间[-1,5]上的所有零点的和是20. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 7.(2024·恩施模拟)已知函数f(x)=xex-ax-1,则关于 f(x)零点叙述不正确的是(　　) A.当a=0时,函数f(x)有两个零点 B.函数f(x)必有一个零点是正数 C.当a<0时,函数f(x)有两个零点 D.当a>0时,函数f(x)只有一个零点 答案　ACD 解析　f(0)=-1,令f(x)=0,即ex=a+ 在同一直角坐标系中作出y=ex与y=的图象, 由图可知, 当a=0时,函数f(x)有一个零点； 当a<0时,函数f(x)有一个零点； 当a>0时,函数f(x)有两个零点, 则函数f(x)必有一个零点是正数. 8.(2024·吉林模拟)已知x1是函数f(x)=x+1-ln(x+2)的零点,x2是函数g(x)=x2-2ax+4a+4的零点,且满足≤1,则实数a的取值可能是(　　) A.-1 B.-2 C.2-2 D.4-4 答案　AC 解析　由f(x)=x+1-ln(x+2),x>-2, ∴f'(x)=1-= 当-2<x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又f(-1)=0, 则函数f(x)存在唯一零点,即x1=-1, ∵≤1,∴-2≤x2≤0,即g(x)在[-2,0]上有零点, ①若Δ=4a2-4(4a+4)=0,即a=2±2 此时g(x)的零点为a,显然a=2-2符合题意； ②若Δ=4a2-4(4a+4)>0,即a<2-2或a>2+2 (ⅰ)若g(x)在[-2,0]上只有一个零点, 则g(-2)g(0)≤0,∴a=-1； (ⅱ)若g(x)在[-2,0]上有两个零点, 则 解得-1≤a<2-2 综上所述,实数a的取值范围为[-1,2-2]. 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　.  答案　-1和4 解析　依题意或 得函数f(x)的零点是x=-1和x=4. 10.已知f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　令t=f(x),画出f(x)的图象,如图, 要使函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点, 即函数h(t)=t2-at-1有两个零点t1,t2,其中-1<t1≤2,t2=-1或-1<t1≤2,t2>2, 当-1<t1≤2,t2=-1时,即h(-1)=a=0,所以h(t)=t2-1=0有两根-1和1,符合题意； 当-1<t1≤2,t2>2时,又因为h(0)=-1, 所以解得a>. 综上所述,实数a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15练　函数零点问题 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 2.函数y=(x-2)(x-4)-1有两个零点x1,x2,且x1<x2,下列关于x1,x2的关系中正确的是(　　) A.x1<2且2<x2<4 B.x1>2且x2>4 C.x1<2且x2>4 D.2<x1<4且x2>4 3.(2024·无锡模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,y=[x]也被称为“高斯函数”,例如[2.1]=2,[3]=3,[-1.5]=-2,设x0为函数f(x)=log3x-的零点,则[x0]等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 4.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.<a< B.a<- C.-<a<- D.a<- 5.(2024·安庆模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|x2-kx|恰有3个零点,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-1]∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪[1,+∞) 6.若f(x)为R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1,5]上的所有零点的和是(　　) A.20 B.18 C.16 D.14 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 7.(2024·恩施模拟)已知函数f(x)=xex-ax-1,则关于 f(x)零点叙述不正确的是(　　) A.当a=0时,函数f(x)有两个零点 B.函数f(x)必有一个零点是正数 C.当a<0时,函数f(x)有两个零点 D.当a>0时,函数f(x)只有一个零点 8.(2024·吉林模拟)已知x1是函数f(x)=x+1-ln(x+2)的零点,x2是函数g(x)=x2-2ax+4a+4的零点,且满足≤1,则实数a的取值可能是(　　) A.-1 B.-2 C.2-2 D.4-4 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　.  10.已知f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$